Ch3.4(角動量定理和角動量守恒定律)

復(fù)習(xí)：上一節(jié)的內(nèi)容動量定理及動量守恒定律

1.動量定理2.動量守恒定律§3.4

沖量矩角動量定理和角動量守恒定律我們引入了描述物體運動狀態(tài)的量——動量。本節(jié)引入新的狀態(tài)量——角動量

為什么地球受太陽的引力而不會落到太陽上去？地球為什么能以一定的角速度運轉(zhuǎn)?

引入角動量是為了研究轉(zhuǎn)動，但角動量本身不限于轉(zhuǎn)動，運動的質(zhì)點也有角動量。在粒子物理中角動量具有更重要的意義，角動量守恒定律的應(yīng)用比經(jīng)典物理中還廣泛。

本節(jié)討論質(zhì)點、質(zhì)點系的角動量，介紹外界作用量——沖量矩（角沖量），建立角動量原理和角動量守恒定律。（一）質(zhì)點的角動量對O點的徑矢為，則它對O點的角動量(動量矩)為

1.定義：某一質(zhì)點，動量注意：（1）大?。悍较颍河糜沂致菪▌t確定。（2）相對性①對不同的參考系，矢徑不同，動量不同，角動量也不同。②參考點不同，矢徑不同，角動量也不同。一、角動量3.

當(dāng)θ＝0，π時，L=0；θ＝π/2，L最大。4.

把P分解成徑向分量Pcosθ和橫向分量Psinθ。

則只有橫向分量對L有貢獻。5.

L的直角分量式6.SI中單位：kg·m2/s。（二）作圓周運動質(zhì)點的角動量質(zhì)點m繞圓心O作半徑為r的圓周運動，故質(zhì)點對圓心

O的角動量（三）作直線運動的質(zhì)點的角動量③

若不變，則：

，即勻速直線運動的質(zhì)點對同一參考點的角動量守恒。④

當(dāng)?shù)姆较蛘弥赶蚧虮畴x參考點時，質(zhì)點的角動量為零。討論：②

對不同參考點的角動量一般不同。①

作直線運動的質(zhì)點，和可能逐點變化，但保持不變。解：解：質(zhì)點相對原點的角動量[例題2]如圖，一個質(zhì)量為m的質(zhì)點以恒定的速度沿著一條直線運動。該直線到原點的垂直距離為b，求該質(zhì)點對原點的角動量。[例題1]地球繞太陽的運動可以近似看作勻速圓周運動，求地球?qū)μ柕慕莿恿康拇笮?。（四）質(zhì)點系的角動量設(shè)有

n

個質(zhì)點，各個質(zhì)點對同一參考點的角動量之和二、質(zhì)點的角動量原理引入力矩：（一）力矩及其計算1)大?。篗=rFsinθ

方向：由右手螺旋定則確定。3)

在直角坐標(biāo)系中：單位：?！っ祝∟·m）為合外力F

對參考點O的矢徑r的力矩表示為：2)相對性：依賴于O點的選取。rsin

為“力臂”。3)作用于質(zhì)點上所有力矩的矢量和，等于合力的力矩。力矩滿足疊加原理——質(zhì)點的角動量原理即：質(zhì)點所受的合外力矩等于它的角動量的變化率。（力矩和角動量是對慣性系中同一參考點而言的）積分關(guān)系此即為角動量原理：質(zhì)點角動量的增量等于質(zhì)點受到的角沖量。（二）質(zhì)點的角動量原理（三）質(zhì)點的角動量守恒定律角動量守恒定律

—若對某一參考點，質(zhì)點所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點對該參考點的角動量將保持不變。

即有心力作用的質(zhì)點相對力心的角動量守恒。例：①行星對太陽的角動量守恒（忽略行星之間作用）；

②氫原子中電子對原子核的角動量守恒。討論：條件：結(jié)論：

[例題1]質(zhì)量為m、線長為l的單擺，可繞點O在豎直平面內(nèi)擺動，初始時刻擺線被拉至水平，然后自由放下，求：①擺線與水平線成θ角時，擺球所受到的力矩及擺球?qū)cO的角動量；②擺球到達點B時，角速度的大小。解：受力：重力；張力。重力對O點的力矩為M=mglcosθ，力矩的方向垂直于屏幕向里，大小隨θ變化。由角動量原理作變換瞬時角動量L=ml2ωθABlmO

[例題2]利用角動量守恒定律證明開普勒第二定律：行星相對太陽的徑矢在單位時間內(nèi)掃過的面積(面積速率)是常量。

解：如圖，行星在太陽引力作用下沿橢圓軌道運動，Δt時間內(nèi)行星徑矢掃過的面積面積速率：★★

開普勒定律大師思路

天文學(xué)先于物理學(xué)。物理學(xué)的發(fā)端始于揭開行星運行之謎。開普勒定律和萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，堪稱一部揭示物理學(xué)規(guī)律簡潔美、普適美的壯麗史詩。約公元150年，古希臘的托勒密（C.Ptolemy）發(fā)表巨著《天文學(xué)大成》，共13卷。建立了宇宙的地心體系。他以地球為中心，確定了一年的持續(xù)時間。給出了計算日蝕和月蝕的方法，說明了進動。編制了1028個星體的星表。

一千多年后，波蘭的哥白尼（N.Copernicus）(1473-1543)大膽擯棄了統(tǒng)治了1000多年的托勒密的地心說，革命性地創(chuàng)建了日心說。根據(jù)簡單的天體繞太陽的轉(zhuǎn)動和地球的自轉(zhuǎn)規(guī)律推導(dǎo)出行星的表觀運動。他寫出了偉大的著作《天體運行論》，直到1543年，在他臨終前才得以問世。哥白尼的思想把科學(xué)從神學(xué)和經(jīng)驗哲學(xué)中解放出來，是自然科學(xué)的一次偉大的革命。1616年，他的著作被羅馬教廷列為“禁書”。為宣傳和發(fā)展他的思想，意大利的布魯諾（G.Bruno）(1548-1600)被宗教裁判所活活燒死。

1632年，意大利的伽利略（G.Galileo）發(fā)表名著《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》，繼續(xù)捍衛(wèi)和發(fā)展哥白尼的學(xué)說，受到羅馬教會的迫害，被軟禁。

人們把這段歷史，豪邁地形容為：

“哥白尼攔住了太陽，推動了地球”。

丹麥的天文學(xué)家第谷（B.Tycho）認(rèn)為地球太笨重了，不可能繞太陽運轉(zhuǎn)。但是，他二十年如一日，精確測定了行星的位置，繪制了上千顆恒星的星圖。

第谷的學(xué)生開普勒

(J.Keplker

德國，1571-1630)，善于理論研究。在第谷死后，開普勒全力以赴整理第谷的觀測數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)哥白尼的行星運行的圓形軌道有問題，與第谷的數(shù)據(jù)不合。他放棄了“勻速圓周運動”這個一向為人們所鐘愛的古老的完美觀念。他著手用各種卵形線去擬合行星軌道，經(jīng)過大量的仔細計算后，終于成功地發(fā)現(xiàn)了他最重要的成果：行星的軌道是橢圓形的，太陽位于其一焦點上。經(jīng)過長年深入的思考和艱苦的計算，他終于完成了行星運動三定律?！铩?/p>

開普勒（J.Kepler1571-1630）行星運動三定律第一定律（軌道定律）（1609年）

——行星沿橢圓軌道運行，太陽位于橢圓的一個焦點上。第二定律（面積速度定律）（1609年）

——行星相對太陽的徑矢在單位時間內(nèi)掃過的面積是常量。第三定律（周期定律）（1619年）

——行星繞太陽運動的周期的平方與軌道橢圓半長軸的立方成正比。

開普勒第一、二定律發(fā)表在他的著作《新天文學(xué)》（1609年版）中，第三定律發(fā)表在《宇宙和諧論》（1619年版）中。在《宇宙和諧論》中，他描述了宇宙交響曲。認(rèn)為宇宙是建立在美學(xué)基礎(chǔ)上的，宇宙是最和諧、最完美的。他還寫出《哥白尼天文學(xué)概要》、《宇宙的神秘》、《論彗星》、《稀奇的1631年天象》、《魯?shù)婪蛐潜怼贰ⅰ墩酃鈱W(xué)》、《天文光學(xué)》等等大量科學(xué)著作。他還寫了一本科幻小說《一個夢——月球的天文學(xué)》于1634年在他死后出版。他的著作全集1-18卷，于1937-1969年在慕尼黑出版。

開普勒對光學(xué)有很大貢獻。制成由兩個雙凸透鏡組成的望遠鏡——開普勒望遠鏡。建立了幾何成象理論，表述了照度與至光源距離的平方成反比的定律。還表述了近似的折射定律和全反射現(xiàn)象，給出了透鏡公式和視覺條件。開普勒當(dāng)時已具有了“引力”的思想，認(rèn)為海洋的潮汐來源于月球的作用。他還提出“力”是“加速度”的原因。在開普勒三定律的基礎(chǔ)上，牛頓發(fā)現(xiàn)了“萬有引力定律”。

前沿思考

太陽系是否有第十大行星？（1）水星（Mercury）傳信神（掌管商業(yè)、道路、通訊）（2）金星（Venus）愛和美的女神（維納斯）（3）地球（Earth）（4）火星（Mars）戰(zhàn)神（5）木星（Jupiter）主神（6）土星（Saturn）農(nóng)神（7）天王星（Uranus）天神、天王（1781年W.Herschel發(fā)現(xiàn)）（8）海王星（Neptune）海神（1846年Adams和LeVerrier計算出新星軌道參數(shù),柏林天文臺C.Galle發(fā)現(xiàn)）（9）冥王星（Pluto）陰間神、冥王（1930年W.Tambaugh

計算并發(fā)現(xiàn)）1.一對作用力與反作用力的力矩之和（一）質(zhì)點系的角動量原理方向⊙

三、質(zhì)點系的角動量原理和角動量守恒定律2.質(zhì)點系的角動量原理推廣得：

Om1m2討論：外力矩的矢量和非合外力的力矩質(zhì)點系的角動量原理：質(zhì)點系所受的合外力矩等于系統(tǒng)總角動量的時間變化率。對比牛頓第二定律：

外力矩對時間的累積作用

=

角動量的增量積分形式角動量原理：動量原理：對比：（二）質(zhì)點系的角動量守恒定律對比動量守恒定律：1.孤立系統(tǒng)2.在有心力的作用下，對力心有心力：力的作用線始終通過空間一固定點。注:主要有以下情況：例題：m

質(zhì)點，做初r，v運動角速度隨r如何變化？★★

注意：“外力矩的矢量和”與“外力的矢量和”的區(qū)別

當(dāng)作用于質(zhì)點系的兩個外力大小相等，反向平行但不作用在同一直線上時，它們的矢量和為零，但它們力矩的矢量和不為零。r

[例題]如圖,兩人質(zhì)量相等,位于同一高度,各由繩子一端開始爬繩,繩子與輪的質(zhì)量不計,軸無摩擦.他們那個先達頂?