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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(其中),求得的回歸方程是,則下列說法正確的是()A.至少有一個樣本點落在回歸直線上B.若所有樣本點都在回歸直線上,則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C.對所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關(guān)2.已知集合,則()A. B. C. D.3.關(guān)于函數(shù),有下述三個結(jié)論:①函數(shù)的一個周期為;②函數(shù)在上單調(diào)遞增;③函數(shù)的值域為.其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①② B.② C.②③ D.③4.若函數(shù)的圖象過點,則它的一條對稱軸方程可能是()A. B. C. D.5.已知數(shù)列滿足:)若正整數(shù)使得成立,則()A.16 B.17 C.18 D.196.設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入,則輸出屬于()A. B. C. D.8.不等式的解集記為,有下面四個命題:;;;.其中的真命題是()A. B. C. D.9.設(shè),其中a,b是實數(shù),則()A.1 B.2 C. D.10.下列不等式正確的是()A. B.C. D.11.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.如圖,在底面邊長為1,高為2的正四棱柱中,點是平面內(nèi)一點,則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為()A.2 B.3 C.4 D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓的左、右焦點分別為、,過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于點、.則內(nèi)切圓面積的最大值是_________.14.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,過點作傾斜角為的直線,已知直線與圓相交于兩點,則弦的長等于____________.15.已知,分別是橢圓:()的左、右焦點,過左焦點的直線與橢圓交于、兩點,且,,則橢圓的離心率為__________.16.直線(,)過圓:的圓心,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,設(shè)點為橢圓的右焦點,圓過且斜率為的直線交圓于兩點,交橢圓于點兩點,已知當(dāng)時,(1)求橢圓的方程.(2)當(dāng)時,求的面積.18.(12分)設(shè)函數(shù),其中.(Ⅰ)當(dāng)為偶函數(shù)時,求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,求的取值范圍.19.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,是棱中點.(1)已知點在棱上,且平面平面,試確定點的位置并說明理由;(2)設(shè)點是線段上的動點,當(dāng)點在何處時,直線與平面所成角最大?并求最大角的正弦值.20.(12分)已知,函數(shù),(是自然對數(shù)的底數(shù)).(Ⅰ)討論函數(shù)極值點的個數(shù);(Ⅱ)若,且命題“,”是假命題,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)(為實常數(shù)).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的零點;(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點,求證:;(3)若,且不等式對一切正實數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點,但樣本點可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤;所有樣本點都在回歸直線上,則變量間的相關(guān)系數(shù)為,故B錯誤;若所有的樣本點都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯誤;相關(guān)系數(shù)r與符號相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點分布應(yīng)從左到右是上升的,則變量x與y正相關(guān),故D正確.故選D.【點睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì),意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、B【解析】
計算,再計算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù),故.故選:.【點睛】本題考查了集合的交集,意在考查學(xué)生的計算能力.3、C【解析】
①用周期函數(shù)的定義驗證.②當(dāng)時,,,再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換,函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域,而,當(dāng)時,再求值域.【詳解】因為,故①錯誤;當(dāng)時,,所以,所以在上單調(diào)遞增,故②正確;函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域,易知,故當(dāng)時,,故③正確.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì),還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于中檔題.4、B【解析】
把已知點坐標(biāo)代入求出,然后驗證各選項.【詳解】由題意,,或,,不妨取或,若,則函數(shù)為,四個選項都不合題意,若,則函數(shù)為,只有時,,即是對稱軸.故選:B.【點睛】本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對稱軸,掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.5、B【解析】
計算,故,解得答案.【詳解】當(dāng)時,,即,且.故,,故.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計算,意在考查學(xué)生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.6、D【解析】
利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點睛】本小題主要考查函數(shù)值的計算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
由題意,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,求解即得解.【詳解】由題意可知,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,當(dāng);當(dāng)綜上:.故選:B【點睛】本題考查了條件分支的程序框圖,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
作出不等式組表示的可行域,然后對四個選項一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示,當(dāng)時,,即的取值范圍為,所以為真命題;為真命題;為假命題.故選:A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關(guān)鍵,屬于中檔題.9、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計算,考驗計算,屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】
根據(jù),利用排除法,即可求解.【詳解】由,可排除A、B、C選項,又由,所以.故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及對數(shù)的比較大小問題,其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
由共軛復(fù)數(shù)的定義得到,通過三角函數(shù)值的正負(fù),以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解【詳解】由題意得,因為,,所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.故選:B【點睛】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀,結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知,三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形,其面積都是,正視圖與側(cè)視圖的面積之和為,故選:A.【點睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和,解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀,考查空間想象能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】令直線:,與橢圓方程聯(lián)立消去得,可設(shè),則,.可知,又,故.三角形周長與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角形面積的二倍,則內(nèi)切圓半徑,其面積最大值為.故本題應(yīng)填.點睛:圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種:(1)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決,這就是幾何法.(2)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù),則可首先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,求函數(shù)最值的常用方法有配方法,判別式法,重要不等式及函數(shù)的單調(diào)性法等.14、【解析】
方法一:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡得,解得或,從而得或,則.方法二:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡得,設(shè),則,故.方法三:將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離,則.15、【解析】
設(shè),則,,由知,,,作,垂足為C,則C為的中點,在和中分別求出,進(jìn)而求出的關(guān)系式,即可求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,設(shè),則,,由橢圓定義知,,因為,所以,,作,垂足為C,則C為的中點,在中,因為,所以,在中,由余弦定理可得,,即,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:【點睛】本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關(guān)系;利用橢圓的定義,結(jié)合焦點三角形和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.16、;【解析】
求出圓心坐標(biāo),代入直線方程得的關(guān)系,再由基本不等式求得題中最小值.【詳解】圓:的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,由題意,即,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,故答案為:.【點睛】本題考查用基本不等式求最值,考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解題方法是配方法求圓心坐標(biāo),“1”的代換法求最小值,目的是湊配出基本不等式中所需的“定值”.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)先求出圓心到直線的距離為,再根據(jù)得到,解之即得a的值,再根據(jù)c=1求出b的值得到橢圓的方程.(2)先求出,,再求得的面積.【詳解】(1)因為直線過點,且斜率.所以直線的方程為,即,所以圓心到直線的距離為,又因為,圓的半徑為,所以,即,解之得,或(舍去).所以,所以所示橢圓的方程為.(2)由(1)得,橢圓的右準(zhǔn)線方程為,離心率,則點到右準(zhǔn)線的距離為,所以,即,把代入橢圓方程得,,因為直線的斜率,所以,因為直線經(jīng)過和,所以直線的方程為,聯(lián)立方程組得,解得或,所以,所以的面積.【點睛】本題主要考查直線和圓、橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓的方程的求法,考查三角形面積的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.18、(Ⅰ)極小值,極大值;(Ⅱ)或【解析】
(Ⅰ)根據(jù)偶函數(shù)定義列方程,解得.再求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律,即得極值,(Ⅱ)先分離變量,轉(zhuǎn)化研究函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性與圖象,最后根據(jù)圖象確定滿足條件的的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)由函數(shù)是偶函數(shù),得,即對于任意實數(shù)都成立,所以.此時,則.由,解得.當(dāng)x變化時,與的變化情況如下表所示:00↘極小值↗極大值↘所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以有極小值,有極大值.(Ⅱ)由,得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線,有且只有兩個公共點”.對函數(shù)求導(dǎo),得.由,解得,.當(dāng)x變化時,與的變化情況如下表所示:00↘極小值↗極大值↘所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又因為,,,,所以當(dāng)或時,直線與曲線,有且只有兩個公共點.即當(dāng)或時,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.19、(1)為中點,理由見解析;(2)當(dāng)點在線段靠近的三等分點時,直線與平面所成角最大,最大角的正弦值.【解析】
(1)為中點,可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明,,從而證明平面平面;(2)以A為原點,分別以,,所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出當(dāng)點在線段靠近的三等分點時,直線與平面所成角最大,并可求出最大角的正弦值.【詳解】(1)為中點,證明如下:分別為中點,又平面平面平面又,且四邊形為平行四邊形,同理,平面,又平面平面(2)以A為原點,分別以,,所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系則,設(shè)直線與平面所成角為,則取平面的法向量為則令,則所以當(dāng)時,等號成立即當(dāng)點在線段靠近的三等分點時,直線與平面所成角最大,最大角的正弦值.【點睛】本題主要考查了平面與平面的平行,直線與平面所成角的求解,考查了學(xué)生的直觀想象與運算求解能力.20、(1)當(dāng)時,沒有極值點,當(dāng)時,有一個極小值點.(2)【解析】試題分析:(1),分,討論,當(dāng)時,對,,當(dāng)時,解得,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)。所以,當(dāng)時,沒有極值點,當(dāng)時,有一個極小值點.(2)原命題為假命題,則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內(nèi)有解。設(shè),所以,設(shè),則,且是增函數(shù),所以。所以分和k>1討論。試題解析:(Ⅰ)因為,所以,當(dāng)時,對,,所以在是減函數(shù),此時函數(shù)不存在極值,所以函數(shù)沒有極值點;當(dāng)時,,令,解得,若,則,所以在上是減函數(shù),若,則,所以在上是增函數(shù),當(dāng)時,取得極小值為,函數(shù)有且僅有一個極小值點,所以當(dāng)時,沒有極值點,當(dāng)時,有一個極小值點.(Ⅱ)命題“,”是假命題,則“,”是真命題,即不等式在區(qū)間內(nèi)有解.若,則設(shè),所以,設(shè),則,且是增函數(shù),所以當(dāng)時,,所以在上是增函數(shù),,即,所以在上是增函數(shù),所以,即在上恒成立.當(dāng)時,因為在是增函數(shù),因為,,所以在上存在唯一零點,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,從而,即,所以在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,,即.所以不等式在區(qū)間內(nèi)有解綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.21、(1)見解析(2)【解析】
(1)分類討論的值,利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可;(2)利用導(dǎo)數(shù)分別得出,,時,的最小值,即可得出實數(shù)的取
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