Chapt-2-復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)變函數(shù)積分理論是復(fù)變函數(shù)的核心內(nèi)容，關(guān)于復(fù)變函數(shù)的許多結(jié)論都是通過積分來討論的，更重要的是我們要討論解析函數(shù)積分的性質(zhì)，并給出解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式，這些性質(zhì)是解析函數(shù)理論的基礎(chǔ)，我們還將得到解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這個重要的結(jié)論。§2.1復(fù)變函數(shù)的積分討論復(fù)變函數(shù)積分時，要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的：(1)曲線l是開口弧段，若規(guī)定端點A為起點，B為終點，則沿曲線l從A到B的方向為曲線的正方向，記為l或l+

；而由B到A的為的負(fù)方向，記為l-。(2)如果

l是區(qū)域上的簡單閉曲線，通常規(guī)定逆時針方向為正方向，順時針方向為負(fù)方向。(3)如果l

是復(fù)連通域的邊界線，則這樣規(guī)定l的正方向：當(dāng)沿曲線l行走時，區(qū)域左側(cè)。因此外部邊界取逆時針方向，而內(nèi)部邊界曲線取順時針為正方向。ABl+A

?xyo?Bz0znlz1zk-1zk?

k設(shè)l是z平面上一分段光滑的曲線，一、復(fù)變函數(shù)積分的定義“大化小,常代變,近似和,求極限”

若通過對l

的任意分割上的一個有界函數(shù)。函數(shù)f(z)是定義在l和對局部的任意取點，下列“乘積和式極限”都存在，則稱此極限為函數(shù)f(z)沿曲線l從A到B的路積分。f(z)稱為被積函數(shù)，l稱為積分路徑。記作如果l

是閉曲線,則記為二、路積分的計算法基本思路:計算實變函數(shù)的線積分轉(zhuǎn)化求路積分因為f(z)=u(x,y)+iv(x,y),

dz=dx+idy所以則

如果曲線l

是參數(shù)方程z=z(t)=x(t)+iy(t)還可以在積分中標(biāo)出環(huán)路積分的方向沿逆時針方向積分順時針方向積分oxy11+ii例1

計算積分l1l1解：l2可見，這個被積函數(shù)為解析函數(shù)的積分沿不同路徑積分，積分值一樣。oxy11+ii例2

計算積分可以看出，這個被積函數(shù)在全平面都不解析的函數(shù)積分沿不同路徑積分的結(jié)果不同。l1l1l2l2解：例3

計算積分其中：l為圓周x=acost,y=asint解：得由1.常數(shù)因子可以移到積分號之外三、復(fù)變函數(shù)積分性質(zhì)2.函數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的和3.反轉(zhuǎn)積分路徑，積分值變號4.全路徑上的積分等于各分段上的積分之和,即如果

l=l1+l2+……+ln5.積分的模不大于被積表達(dá)式模的積分6.積分估值定理

其中M

是|f(z)|在l上的最大值，L

是l

的弧長。四、復(fù)變函數(shù)環(huán)路積分的物理意義復(fù)變函數(shù)論中,復(fù)變函數(shù)的積分尤其是閉合環(huán)路積分是很重要的概念?，F(xiàn)簡要介紹其物理意義。設(shè)復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi)，l為D內(nèi)一條光滑有向曲線。設(shè)二維向量P對應(yīng)f(z)的共軛[f(z)]*=u(x,y)-iv(x,y)，所以P可以寫為xyolzk-1?dxdyzk

?而且dz與弧微分ds切向量有對應(yīng)關(guān)系-idz與弧微分法向量有對應(yīng)關(guān)系所以故復(fù)變函數(shù)的環(huán)路積分由場論知識可知，閉合環(huán)路積分的物理意義為：

實部表示向量場沿l曲線的環(huán)量；虛部表示向量場沿l曲線的通量．

通過§2.1的例1我們發(fā)現(xiàn)，被積函數(shù)f(z)=z在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的，它沿連接起點及終點的不同路徑的積分值相同，換句話說，積分與路徑無關(guān)；例2中的被積函數(shù)是不解析的，沿不同路徑積分值不同。那么函數(shù)f(z)在什么條件下，積分僅與起點和終點有關(guān)，而與積分路徑無關(guān)呢？下面給出積分的重要定理定理——柯西定理?！?.2柯西(Cauchy)定理（一）單連通域上的Cauchy定理

xyo如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域中單則沿中任一分段光滑lL由路積分的計算法

f(z)在上解析，從而在上連續(xù)。證明單值且解析，的閉合曲線l(也可以是的邊界L),函數(shù)的積分為零，即對實部虛部線積分分別應(yīng)用格林公式因為u、v滿足C-R條件，即故將閉合曲線l的積分化成面積分這個定理是柯西(Cauchy)于1825年發(fā)表的，古薩(Goursat)于1900年提出了修改，故又稱為柯西－古薩定理。根據(jù)第一章，函數(shù)在閉區(qū)域上解析，即函數(shù)在單連通區(qū)域B內(nèi)及邊界閉曲線L上解析，因此應(yīng)理解為函數(shù)在比邊界稍大一些的區(qū)域內(nèi)部也是解析的。修改后的柯西－古薩積分定理成立的條件可以弱化為函數(shù)在開區(qū)域B內(nèi)解析，在區(qū)域邊界上連續(xù)(證明略)。以后使用中，當(dāng)滿足此條件時柯西積分定理仍然成立。例1證明xyo1-1-1+i-1-i證明：被積函數(shù)有兩個奇點-1+i、-1-i，除此之外，函數(shù)在其它地方都是解析的。因此在|z|=1的閉區(qū)域上被積函數(shù)是解析的。根據(jù)柯西定理，故命題成立。如果區(qū)域B內(nèi)存在函數(shù)f(z)的（二）復(fù)連通域上的Cauchy定理

一般言，在區(qū)域內(nèi)，只要有一個簡單的閉合圍線其內(nèi)有不屬于該區(qū)域的點，區(qū)域便稱為復(fù)連通域。

l1l2l3lBxyo

（1）奇點；（2）不連續(xù)線段；（3）無定義區(qū)為了把這些奇異部分排除在外，需要作適當(dāng)?shù)膰纋1、l2、l3把它們分隔開來，形成帶孔的區(qū)域-復(fù)連通區(qū)域。區(qū)域邊界線的正向當(dāng)觀察者沿著這個方向前進(jìn)時，區(qū)域總是在觀察者的左邊。如果f(z)是閉復(fù)連通區(qū)域中的單值解析函數(shù)，則l為外邊界線,li為內(nèi)邊界線,積分沿邊界線正向進(jìn)行.證：復(fù)連通區(qū)域的Cauchy定理：ll2l1ABB’A’D’CDC’作割線連接內(nèi)外邊界線對閉復(fù)連通區(qū)域則復(fù)連通區(qū)域變成了以內(nèi)外邊根據(jù)柯西定理，沿此單連通區(qū)域外邊界線的積分界線及割線構(gòu)成的單連通區(qū)域。ll2l1ABB’A’D’CDC’由于沿同一割線兩邊緣的積分值相互抵消，于是即或者就是說沿內(nèi)外邊界線同方向積分相等。(1)在閉單連通區(qū)域中的解析函數(shù)，沿邊界線或區(qū)域內(nèi)任一閉合曲線的積分為零；(三)柯西定理總結(jié)：(2)在閉復(fù)連通區(qū)域中的解析函數(shù)，沿所有邊界線的正方向（即外邊界取逆時針方向，內(nèi)邊界取順時針方向）的積分為零；(3)在閉復(fù)連通區(qū)域中的解析函數(shù)，按逆時針方向沿外邊界的積分等于按逆時針方向沿所有內(nèi)邊界的積分之和．由Cauchy定理可推出，在閉單連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域中解析的函數(shù)f(z)，其路積分值只依賴于起點和終點，而與積分路徑無關(guān)。ABl2l1證明：由圖可知其中表示l2的反方向。所以

只要起點和終點固定不變，當(dāng)積分路徑連續(xù)變形時（不橫穿過“孔”）時，函數(shù)的路積分值不變。由積分的基本性質(zhì)可得：(四)函數(shù)f(z)的積分與積分路徑無關(guān)的條件D(五)閉路變形原理在區(qū)域D內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變積分的值，只要在變形的過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)不解析的點。

l1l2l3即下面分析這一原理將兩條閉曲線之間的區(qū)域進(jìn)行分割，取其中的一小塊區(qū)域abcd，其邊界構(gòu)成閉合曲線，在其內(nèi)部函數(shù)解析，根據(jù)柯西定理，有abcdl1l2當(dāng)分區(qū)無限多時，直線ab、cd無限接近，且方向相反。根據(jù)積分性質(zhì)，有故得到即綜合考慮各個小區(qū)域，自然得到解：例2.計算積分故函數(shù)ezsinz

在復(fù)平面上處處解析，由Cauchy定理知此題若用復(fù)積分的計算公式，則非常復(fù)雜，甚至可能得不到結(jié)果！例3.計算積分xyo2-21解:被積函數(shù)在積分回路內(nèi)有兩個奇點0、1，“挖去”奇點則構(gòu)成復(fù)通區(qū)域上的積分。根據(jù)柯西定理··解析解析令則所以解法2:由閉路變形原理例4.計算積分(n

為整數(shù))l?

RC按柯西定理，I=0;解：(1)如果l

不包含點，被積函數(shù)總解析,(2)如果l

包含點,又要分兩種情況：(a)n0,因被積函數(shù)解析，故I=0;(b)n<0,被積函數(shù)在l

內(nèi)有奇點由閉路變形原理，用半徑為R

的圓周C

包圍

點,則令所以當(dāng)n-1時當(dāng)n=-1時歸納起來，積分結(jié)果是(l

不包含

;或l包含,但n-1)(l包含)這個積分很有用，由其可以引出§1.4的柯西公式和§4.1的留數(shù)定理?；蛘摺?.3不定積分根據(jù)Cauchy定理，若函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域B上解析，則沿B上任一分段光滑曲線l的積分只與起點和終點有關(guān)，而與路徑無關(guān)。因此如果固定起點z0而變化終點z,這個變上限積分便定義了一個單值函數(shù)F(z):對F(z)，有以下的定理如果f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析，則F(z)在B內(nèi)也解析，并且(一)復(fù)變函數(shù)的不定積分【證明】令則所以同樣可得因此的實部和虛部可微并且滿足C-R條件，所以F(z)在區(qū)域B內(nèi)解析。與實函數(shù)原函數(shù)的概念一樣，復(fù)變函數(shù)也可以定義原函數(shù)。的證明見課本P27，此處不重復(fù)。(二)原函數(shù)就是f(z)的一個原函數(shù)。任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。原函數(shù)的一般表達(dá)式F(z)+C(其中C

是任意常數(shù))被稱為函數(shù)f(z)的不定積分，記作若函數(shù)F(z)在單連通域D內(nèi)處處解析，且為f(z)的一個原函數(shù)，那么其中z1、z2為D中任意兩點．上式稱為復(fù)積分的牛頓－萊布尼茲公式。例1.計算積分解：被積函數(shù)zsinz2在全平面解析，而是其一個原函數(shù)，所以例2.

計算積分（2）當(dāng)n=-1時，z-1

的原函數(shù)是ln(z),故因為z=0是1/z

的一個奇點，此積分與路徑有關(guān)系，也就是積分是多值的。一般如果被積函數(shù)有奇點，則由不定積分給出的函數(shù)可能是多值的。被積函數(shù)的奇點，可能是該函數(shù)的支點。解：（1）當(dāng)n-1時，zn

的原函數(shù)是,故(一)單連通域上的Cauchy公式

解析函數(shù)是一類具特殊性質(zhì)的函數(shù)，特殊性表現(xiàn)之一是，在解析區(qū)域各處的函數(shù)值并不相互獨立，而是密切相關(guān)，這種關(guān)聯(lián)的表現(xiàn)之一就是

Cauchy積分公式。若f(z)在閉單通區(qū)域上單值解析；l為的邊界線，為內(nèi)的任一點，則有Cauchy積分公式§2.4柯西(Cauchy)公式由于f(z)在α處連續(xù)，任意給定ε>0，必有一個δ(ε)>0，當(dāng)|z-α|<δ時，|f(z)-f(α)|<ε。設(shè)以α為圓心，R為半徑的圓C，且|z-α|=R全部在B內(nèi)部，且R<δ，根據(jù)閉路變形原理因為l包圍α?xí)r(§2.2例4)證明：?lC?αR所以由積分不等式因ε是任意的，所以當(dāng)ε→0時，必有于是因為α是任取的，所以可以把α改記為z，所以柯西積分公式表明：對于解析函數(shù)，只要知道了它在區(qū)域邊界上各處的值f(ζ)，那么通過上述積分公式，區(qū)域內(nèi)部點z處的值f(z)就完全確定了．

從柯西積分公式，還可以得到另外一個重要的結(jié)論：如果兩個解析函數(shù)在區(qū)域的邊界上處處相等，則它們在整個區(qū)域上也相等．例1.計算積分C2解：x3yo-3被積函數(shù)在積分環(huán)路內(nèi)有三個奇點0、i、-i，根據(jù)柯西定理?i??-iC1C3由柯西公式(二)復(fù)連通域上的Cauchy積分公式設(shè)B是由l

,l1,l2,…,ln圍成的多連通區(qū)域(其中l(wèi)是外邊界線，lk是內(nèi)邊界線)，函數(shù)f(z)在B內(nèi)解析，在上連續(xù)，則對B內(nèi)任一點z，有（根據(jù)復(fù)通域上的Cauchy定理很容易證明）(三）無窮域上的Cauchy積分公式設(shè)f(z)在簡單閉合曲線l上及l(fā)外解析，以z=0為圓心，以充分大的半徑R作圓CR，使閉路l包含于CR內(nèi)，于是f(z)在l和CR所圍的復(fù)聯(lián)通區(qū)域上解析，應(yīng)用復(fù)聯(lián)通區(qū)域上的Chauchy公式來計算積分oCRR式中z是位于閉曲線l外和CR圓之間的一點。式子右邊第一項沿l的積分值容易求出，下面求右邊第二項沿CR的積分值。由于f(ζ)在無限遠(yuǎn)處連續(xù)，對任給ε>0，總存在R1，使得|ζ|>R1時，有|f(ζ)-f(∞)|<ε，其中f(∞)有界，于是只要R>R1，則有因ε是任意的，所以當(dāng)ε→0，R→∞時即所以如果f(z)在簡單閉合曲線C上及C外解析，且當(dāng)|z|→∞，f(z)→0時，則有注意這一公式和有界區(qū)域柯西積分公式的區(qū)別：（1）有界區(qū)域中柯西積分公式中的z是閉合曲線l內(nèi)部的一點，而無界區(qū)域柯西積分公式中的z為l外部的一點；（2）應(yīng)用有界柯西積分公式的條件是f(z)在l內(nèi)部解析，而無界區(qū)域柯西積分公式的條件是在l外部解析；（3）應(yīng)用有界區(qū)域公式的積分沿著逆時針方向進(jìn)行，而無界區(qū)域的公式積分沿順時針方向進(jìn)行（兩種情況下都是正方向，即為沿此方向環(huán)行時，所討論的區(qū)域在左手邊）。例2計算積分，積分路徑沿逆時針方向因為f(z)=1/z，且z→∞時，f(z)→0，考慮到積分路徑的方向，所以例3計算積分，積分路徑沿逆時針方向因為f(z)=e1/z，考慮到積分路徑的方向，所以解：解：(四)柯西積分公式的幾個重要推論設(shè)

f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，在上連續(xù)，則f(z)在B內(nèi)任一點z，有各階導(dǎo)數(shù)，且1.解析函數(shù)的無限次可微性（高階導(dǎo)數(shù)公式）作為柯西積分公式的推廣，可以證明一個解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍為解析函數(shù)，從而可以證明解析函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)．這一點和實函數(shù)完全不一樣，一個實函數(shù)有一階導(dǎo)數(shù)，不一定有二階或更高階導(dǎo)數(shù)存在．證明：根據(jù)柯西公式則……例4.計算積分解：而在內(nèi)是解析的，所以因為2.最大模原理

若函數(shù)f(z)在閉區(qū)域上解析，則它的模|f(z)|只能在區(qū)域的邊界上達(dá)到最大值。

證明：函數(shù)f(z)在區(qū)域上解析，則函數(shù)[f(z)]n在閉區(qū)域上解析,根據(jù)柯西公式,有其中l(wèi)是解析區(qū)域的邊界線．若|f(ζ)|在邊界l的極大值為M，|ζ

–z|的極小值為δ,l的弧長為s，根據(jù)積分不等式，有即因為當(dāng)n→∞時，所以當(dāng)f(z)為常數(shù)時等號成立。3.劉維爾(Liouwille)定理若f(z)是全平面上解析有界函數(shù)，即|f(z)|<N，則f(z)必為常數(shù)。證明：根據(jù)柯西公式取路徑l為圓心在z,半徑為R的圓，則由積分不等式，得由于R是任選的，不妨令R→∞，于是因此f(z)必為常數(shù)。4.解析函數(shù)的平均值公式若函數(shù)f(z)在圓|z–z0|<R內(nèi)及其圓周C上解析，則即f(z)在圓心z0的值等于它在圓周上值的算術(shù)平均值。證明：圓周C上的點可以寫成由柯西積分公式，有5.莫勒納(Morera)定理