chp2-單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)-2s

機(jī)械工程學(xué)院機(jī)械裝備與控制工程系緒論單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)《機(jī)械振動(dòng)》講授內(nèi)容

第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

2.1振動(dòng)系統(tǒng)模型及其簡(jiǎn)化

2.2無阻尼的自由振動(dòng)2.3有阻尼的自由振動(dòng)2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.1無阻尼自由振動(dòng)的微分方程不考慮恒力和及由其引起的靜變形，將坐標(biāo)原點(diǎn)選在靜平衡位置，可以得到無阻尼自由振動(dòng)的一般微分方程：0mx靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置0x靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置m微幅擺動(dòng)m30o說明：如果將m、k稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則角振動(dòng)與直線振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述完全相同。2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.1無阻尼自由振動(dòng)的微分方程2.2.1無阻尼自由振動(dòng)的微分方程方程的通解：特征值為純虛根：?jiǎn)挝唬夯《?秒（rad/s）固有圓頻率周期單位：秒（s）頻率單位：次/秒（1/s;Hz）2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.1無阻尼自由振動(dòng)的微分方程振動(dòng)位移：振動(dòng)速度：初始條件振幅初相位角單位：米（m）單位：弧度（rad）則初始條件下系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)：2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.2固有頻率的計(jì)算0mx靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置在靜平衡位置：則有：對(duì)于不易得到m和k

的系統(tǒng)，若能測(cè)出靜變形，則用該式計(jì)算較為方便（靜變形法）方法一：公式法2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.2固有頻率的計(jì)算例：如圖示復(fù)擺，剛體質(zhì)量m，重心C，對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(dòng)時(shí)的微分方程和固有頻率。

a0C解：由牛頓定律得運(yùn)動(dòng)微分方程為固有圓頻率：【應(yīng)用】：實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)方法。工程中：由已測(cè)的固有頻率求出繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

再由移軸定理得出繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.2固有頻率的計(jì)算方法二：能量法(保守系統(tǒng))Lagrange函數(shù)：?jiǎn)巫杂啥缺Ｊ叵到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：方法一：公式法能量法（Lagrange方程）也廣泛用于確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.2固有頻率的計(jì)算例題：如圖所示是測(cè)量低頻振幅用傳感器的無定向擺，搖桿質(zhì)量不計(jì)，一端鉸接，另一端裝敏感質(zhì)量m，并在搖桿上連接剛度為k的兩彈簧以保持?jǐn)[在垂直方向的穩(wěn)定位置，求系統(tǒng)的固有圓頻率。lmakk2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.2固有頻率的計(jì)算解：零勢(shì)能位置lmakk廣義坐標(biāo)動(dòng)能勢(shì)能選取零勢(shì)能位置。固有圓頻率：思考：試寫出運(yùn)動(dòng)微分方程？牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律Lagrange方程2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.3無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以固有圓頻率為振動(dòng)圓頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且永無休止。因此，初始條件是外界能量輸入的一種方式：初始位移即輸入了勢(shì)能初始速度即輸入了動(dòng)能2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.3無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性初始條件：固有圓頻率從左到右：時(shí)間位置2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)【MATLAB】調(diào)用ex_1,sol_ex12.2.3無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)是等幅諧波振動(dòng)；自由振動(dòng)的固有頻率僅由系統(tǒng)本身的參數(shù)確定，與外界激勵(lì)和初始條件無關(guān)；對(duì)于確定的系統(tǒng)，自由振動(dòng)的振幅和初相位角由初始條件所決定；兩種特殊的初始擾動(dòng)形式：在平衡位置給初速度推離平衡位置，不給初速度2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.3無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性例題：如圖所示提升機(jī)系統(tǒng)重物重量重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時(shí)：重物的振動(dòng)圓頻率；鋼絲繩中的最大張力。Wv鋼絲繩的彈簧剛度2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.3無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性解：W靜平衡位置kxWv振動(dòng)圓頻率若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時(shí)重物所在位置，即穩(wěn)態(tài)靜平衡位置。

則t=0時(shí)，有：振動(dòng)解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和：【思考】：為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)采取什么措施？2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.3無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性例題：mh0l/2l/2重物落下，與簡(jiǎn)支梁做完全非彈性碰撞，梁長(zhǎng)l

，質(zhì)量不計(jì)，抗彎剛度EI。求：1.梁的自由振動(dòng)頻率

2.梁的最大撓度。2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.3無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性解：以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系mh0l/2l/2x靜平衡位置計(jì)算靜變形：固有圓頻率為：撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，t=0

時(shí)，有：則自由振動(dòng)振幅為：梁的最大擾度：2.2無阻尼的自由振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.2.1無阻尼自由振動(dòng)的微分方程2.2.2固有頻率的計(jì)算2.2