chp2-單自由度系統(tǒng)的自由振動-2s

機械工程學(xué)院機械裝備與控制工程系緒論單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的強迫振動兩自由度系統(tǒng)的自由振動兩自由度系統(tǒng)的強迫振動《機械振動》講授內(nèi)容

第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動

2.1振動系統(tǒng)模型及其簡化

2.2無阻尼的自由振動2.3有阻尼的自由振動2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.1無阻尼自由振動的微分方程不考慮恒力和及由其引起的靜變形，將坐標原點選在靜平衡位置，可以得到無阻尼自由振動的一般微分方程：0mx靜平衡位置彈簧原長位置0x靜平衡位置彈簧原長位置m微幅擺動m30o說明：如果將m、k稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則角振動與直線振動的數(shù)學(xué)描述完全相同。2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.1無阻尼自由振動的微分方程2.2.1無阻尼自由振動的微分方程方程的通解：特征值為純虛根：單位：弧度/秒（rad/s）固有圓頻率周期單位：秒（s）頻率單位：次/秒（1/s;Hz）2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.1無阻尼自由振動的微分方程振動位移：振動速度：初始條件振幅初相位角單位：米（m）單位：弧度（rad）則初始條件下系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)：2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.2固有頻率的計算0mx靜平衡位置彈簧原長位置在靜平衡位置：則有：對于不易得到m和k

的系統(tǒng)，若能測出靜變形，則用該式計算較為方便（靜變形法）方法一：公式法2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.2固有頻率的計算例：如圖示復(fù)擺，剛體質(zhì)量m，重心C，對懸點的轉(zhuǎn)動慣量為求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率。

a0C解：由牛頓定律得運動微分方程為固有圓頻率：【應(yīng)用】：實驗確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法。工程中：由已測的固有頻率求出繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量

再由移軸定理得出繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.2固有頻率的計算方法二：能量法(保守系統(tǒng))Lagrange函數(shù)：單自由度保守系統(tǒng)的運動微分方程：方法一：公式法能量法（Lagrange方程）也廣泛用于確定系統(tǒng)的運動微分方程。2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.2固有頻率的計算例題：如圖所示是測量低頻振幅用傳感器的無定向擺，搖桿質(zhì)量不計，一端鉸接，另一端裝敏感質(zhì)量m，并在搖桿上連接剛度為k的兩彈簧以保持擺在垂直方向的穩(wěn)定位置，求系統(tǒng)的固有圓頻率。lmakk2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.2固有頻率的計算解：零勢能位置lmakk廣義坐標動能勢能選取零勢能位置。固有圓頻率：思考：試寫出運動微分方程？牛頓第二運動定律Lagrange方程2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以固有圓頻率為振動圓頻率的簡諧振動，并且永無休止。因此，初始條件是外界能量輸入的一種方式：初始位移即輸入了勢能初始速度即輸入了動能2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性初始條件：固有圓頻率從左到右：時間位置2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動【MATLAB】調(diào)用ex_1,sol_ex12.2.3無阻尼自由振動的運動特性單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動是等幅諧波振動；自由振動的固有頻率僅由系統(tǒng)本身的參數(shù)確定，與外界激勵和初始條件無關(guān)；對于確定的系統(tǒng)，自由振動的振幅和初相位角由初始條件所決定；兩種特殊的初始擾動形式：在平衡位置給初速度推離平衡位置，不給初速度2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性例題：如圖所示提升機系統(tǒng)重物重量重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時：重物的振動圓頻率；鋼絲繩中的最大張力。Wv鋼絲繩的彈簧剛度2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性解：W靜平衡位置kxWv振動圓頻率若將坐標原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置，即穩(wěn)態(tài)靜平衡位置。

則t=0時，有：振動解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和：【思考】：為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當采取什么措施？2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性例題：mh0l/2l/2重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞，梁長l

，質(zhì)量不計，抗彎剛度EI。求：1.梁的自由振動頻率

2.梁的最大撓度。2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.3無阻尼自由振動的運動特性解：以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點建立坐標系mh0l/2l/2x靜平衡位置計算靜變形：固有圓頻率為：撞擊時刻為零時刻，t=0

時，有：則自由振動振幅為：梁的最大擾度：2.2無阻尼的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2.1無阻尼自由振動的微分方程2.2.2固有頻率的計算2.2