2022年秋新教材高中數(shù)學課時跟蹤檢測四十古典概型新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE6古典概型層級(一)“四基”落實練1．下列試驗是古典概型的是 ()A．口袋中有2個白球和3個黑球，從中任取一球，樣本點為{取中白球}和{取中黑球}B．在區(qū)間[－1,5]上任取一個實數(shù)x，使x2－3x＋2＞0C．拋一枚質地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶解析：選C根據古典概型的兩個特征進行判斷．A項中兩個樣本點不是等可能的，B項中樣本點的個數(shù)是無限的，D項中“中靶”與“不中靶”不是等可能的，C項符合古典概型的兩個特征．2．從甲、乙、丙三人中任選兩人擔任課代表，甲被選中的概率為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．1解析：選C從甲、乙、丙三人中任選兩人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3種情況．其中，甲被選中的情況有2種，故甲被選中的概率為P＝eq\f(2,3).3.五行學說是華夏民族創(chuàng)造的哲學思想，是華夏文明的重要組成部分．古人認為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成．如圖是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關系圖．若從5類元素中任選2類元素，則2類元素相生的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：選A從金、木、水、火、土中任選兩類，樣本空間Ω＝{金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土}，共有10個樣本點，其中兩類元素相生的有金水，水木，木火，火土，土金，共5個樣本點，所以2類元素相生的概率為P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，故選A.4．同時拋擲三枚均勻的硬幣，出現(xiàn)一枚正面、二枚反面的概率等于 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,2)解析：選C試驗的樣本空間Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，共8種，出現(xiàn)一枚正面、二枚反面的樣本點有3種，故概率為P＝eq\f(3,8).5．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如40＝3＋37.在不超過11的素數(shù)中，隨機選取2個不同的數(shù)，其和小于等于10的概率是 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：選A根據題意，不超過11的素數(shù)有2,3,5,7,11，共5個，從中任選2個，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共10種取法．其中，和小于等于10的取法有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,5)，(3,7)，共5種，則取出的兩個數(shù)和小于等于10的概率P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).6．從3男3女共6名學生中任選2名(每名同學被選中的概率均相等)，則2名都是女同學的概率等于________．解析：用A，B，C表示3名男同學，用a，b，c表示3名女同學，則從6名學生中選出2人的樣本空間Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同學”包含的樣本點的個數(shù)為3，故所求的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)7.如圖，在四棱錐D-OABC中，底面OABC為正方形，OD⊥底面OABC，以O為起點，再從A，B，C，D四個點中任取兩點分別為終點，得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為M，則事件“M＝0”的概率為________．解析：記事件A＝“這兩個向量的數(shù)量積M＝0”，樣本點總數(shù)n(Ω)＝6，其中，事件A＝{eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OD,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OD,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OD,\s\up7(→))}，n(A)＝4，∴P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．某種飲料每箱裝6聽，如果其中有2聽不合格，質檢人員依次不放回地從某箱中隨機抽出2聽，求檢測出不合格產品的概率．解：只要檢測的2聽中有1聽不合格，就表示查出了不合格產品．分為兩種情況：1聽不合格和2聽都不合格．設合格飲料為1,2,3,4，不合格飲料為5,6，則從6聽中選2聽試驗的樣本空間為Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15個樣本點．有1聽不合格的樣本點有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8個；有2聽不合格的樣本點有(5,6)，共1個，所以檢測出不合格產品的概率為eq\f(8＋1,15)＝eq\f(3,5).9．先后拋擲兩枚質地均勻的正方體骰子，它們的六個面分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6，記骰子的點數(shù)分別為x，y，向量a＝(x－1,1)，b＝(10－2y,2)，求兩向量平行的概率．解：記事件A＝“兩向量平行”，n(Ω)＝6×6＝36，∵a∥b，∴10－2y－2(x－1)＝0，解得x＋y＝6，∴A＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}，n(A)＝5，∴兩向量平行的概率是P＝eq\f(5,36).層級(二)能力提升練1．(2019·全國卷Ⅱ)生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標．若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為 ()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：選B設5只兔子中測量過某項指標的3只為a1，a2，a3，未測量過該項指標的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測量過該指標的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測量過該指標的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).2．2019年慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式彰顯了中華民族從站起來、富起來邁向強起來的雄心壯志．閱兵式規(guī)模之大、類型之全均創(chuàng)歷史之最，編組之新、要素之全彰顯強軍成就．裝備方陣堪稱“強軍利刃”“強國之盾”，見證著人民軍隊邁向世界一流軍隊的堅定步伐．此次大閱兵不僅得到了全中國人的關注，還得到了無數(shù)外國人的關注．某單位有6位外國人，其中關注此次大閱兵的有5位，若從這6位外國人中任意選取2位做一次采訪，則被采訪者都關注了此次大閱兵的概率為 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,5)解析：選C這6位外國人分別記為a，A，B，C，D，E，其中a未關注此次大閱兵，從這6位外國人中任意選取2位做一次采訪，樣本空間Ω＝{(a，A)，(a，B)，(a，C)，(a，D)，(a，E)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，n(Ω)＝15，記事件A＝“被采訪者都關注了此次大閱兵”，n(A)＝10，故被采訪者都關注了此次大閱兵的概率為P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).3．中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一．直角三角形最短的邊稱為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦，其三邊長組成的一組數(shù)據稱為勾股數(shù)．現(xiàn)從1～5這5個數(shù)中隨機選取3個不同的數(shù)，這三個數(shù)為勾股數(shù)的概率為________．解析：現(xiàn)從1～5這5個數(shù)中隨機選取3個不同的數(shù)，樣本點總數(shù)n＝10，這三個數(shù)為勾股數(shù)包含的樣本點有：(3,4,5)，共1個，∴這三個數(shù)為勾股數(shù)的概率為P＝eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)4．從一批蘋果中，隨機抽取50個作為樣本，其重量(單位：克)的頻數(shù)分布表如下：重量/克[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)頻數(shù)/個5102015(1)根據頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在[90,95)的頻率．(2)用分層抽樣的方法從重量在[80,85)和[95,100)的蘋果中共抽取4個，其中重量在[80,85)的有幾個？(3)在(2)中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1個的概率．解：(1)蘋果的重量在[90,95)的頻率為eq\f(20,50)＝0.4.(2)重量在[80,85)的有4×eq\f(5,5＋15)＝1個．(3)設這4個蘋果中[80,85)分段的為1，[95,100)分段的為2,3,4，從中任取兩個，可能的情況有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種.“任取2個蘋果，重量在[80,85)和[95,100)中各有1個”記為事件A，則事件A包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3種，故P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).層級(三)素養(yǎng)培優(yōu)練1．(多選)某市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組[20,25)，第2組[25,30)，第3組[30,35)，第4組[35,40)，第5組[40,45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．若從第3,4,5組中用分層隨機抽樣的方法抽取6名志愿者參與廣場的宣傳活動，該市決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經驗，則下列結論正確的是()A．應從第3,4,5組中分別抽取3人、2人、1人B．第4組志愿者恰有一人被抽中的概率為eq\f(8,15)C．第5組志愿者被抽中的概率為eq\f(1,3)D．第3組志愿者至少有一人被抽中的概率為eq\f(2,3)解析：選ABC第3組的人數(shù)為0.06×5×100＝30，第4組的人數(shù)為0.04×5×100＝20，第5組的人數(shù)為0.02×5×100＝10.因為第3,4,5組共有60名志愿者，利用分層隨機抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，抽樣比為eq\f(1,10)，所以應從第3,4,5組中分別抽取3人、2人、1人．故A正確．記第3組的3名志愿者分別為A1，A2，A3，第4組的2名志愿者分別為B1，B2，第5組的1名志愿者為C，則從6名志愿者中抽取2名志愿者的樣本空間Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)}，共有15個樣本點．第4組的2名志愿者恰有一人被抽中，所含的樣本點個數(shù)為8，所以第4組志愿者恰有一人被抽中的概率為eq\f(8,15)，故B正確．第5組的志愿者恰好被抽中，所含的樣本點個數(shù)為5，所以第5組志愿者被抽中的概率為eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)，故C正確．第3組志愿者至少有一人被抽中，所含的樣本點個數(shù)為12，所以第3組志愿者至少有一人被抽中的概率為eq\f(12,15)＝eq\f(4,5)，故D不正確．綜上，應選