彩票方案的優(yōu)化

彩票的科學分析作者:梁彤彤指導老師:周韶林摘要:本文首先將介紹彩票中的排列組合,隨機分布,中獎概率,然后用相應的數學理論來客觀地分析彩票.最后給出一些彩票的方案,通過建立模型對給出的方案進行優(yōu)劣排序和方案優(yōu)化.關鍵詞:排列組合;隨機分布;中獎概率;優(yōu)劣排序;方案優(yōu)化ScientificanalysisoflotteryAuthor:LiangTongtongInstructor:ZhouShaolinAbstract:thesepapersfirstdescribesthelotterypermutationsandcombinations,randomdistribution,theprobabilityofwinning,andthenusetheappropriatemathematicaltheorytoanalyzeobjectivelyFinally,someofthelotterylotteryprogram,throughtheestablishmentofmodelprogramsweregiventhemeritsofthesort.andprogramoptimization.Keywords:permutationsandcombinations;randomdistribution;winningprobability;meritsofthesort;Optimization引言近年來,我國的彩票市場蓬勃發(fā)展,運營機制日趨成熟,彩票作為一種建立在機會均等基礎上的娛樂游戲,愈來愈得到廣大市民的支持與參與,逐漸成為市民生活的一部分.目前在全國內地31個省都有彩票發(fā)行,可以說彩票遍布中華大地,涉及全國千家萬戶,相關的信息也是全國各地方媒體如電視,電臺,報紙和網站關注的熱點新聞之一,從國家到到地方都有專門的管理機構和專職人員,各地方也都有了專門的網站和報紙.作為一種物質利益與社會公益相結合的資金籌搭形式,彩票緩解了政府的財政壓力,成為資助體育,福利等社會公益事業(yè)發(fā)展的重要途徑,并隨著社會的發(fā)展而發(fā)展.時至今日,彩票已成為世界第六大產業(yè).據統(tǒng)計2012年中國福利彩票發(fā)行銷售再創(chuàng)歷史新高,年銷量達到1510.32億元,為國家籌集公益金數量達到464億多元.隨著福利彩票發(fā)行規(guī)模的擴大,為國家籌集公益金的數量也同步增長.在國際上許多國家和地區(qū)也都有相應的彩票發(fā)行.對有些人來說,博彩已成為生活的一部分,影響之大不言而喻.概率統(tǒng)計作為一門研究隨機現象數量規(guī)律性的數學學科,它廣泛應用于自然科學,技術科學,社會科學和人文科學的各個方面,為了更準確地預測結果,就要依靠一定得數據積累分析,然后算出其出現某種結果的可能性.而概率分析就是一些復雜的計算,將一些出現概率較小的數字組合刪除,從而提高中獎機會.理論上,一個彩民購買彩票的特等獎中獎率,可以用公式來計算.我們認為時尚沒有無規(guī)律的事情,即使對于彩票而言,雖然規(guī)律性不是很強,但并不是沒有規(guī)律可循.只要經過大量的觀察,根據統(tǒng)計學的知識,就能進行統(tǒng)計預測,提高中獎的幾率.比如,通過分析0-9這10個數字當中有90%的概率出現0、2、4這三個數字,那么你買0、2、4猜對的機會是你買全10個號碼的90%,即花了的錢,就可以得到的收獲.如今彩票論壇林立,研究方法繁多.到底什么樣的方法是科學的,可靠的？隨著彩票研究的進步,玄機這種偽科學將逐漸退出研究舞臺,單雙,生肖,波色,尾數的數理預測成了研究的熱門課題.但是也有些研究的方法既不科學,也不系統(tǒng).通過長期的跟蹤實踐,經過血與火的洗禮,彩票研究的真諦,歸根結底就是數學問題與統(tǒng)計問題,真正值得信賴的是基于數學與統(tǒng)計之上的科學分析.彩票中的數學2.1彩票中的排列組合從純數學的角度看,每一個0-9的回置式抽樣選7的排列組合共有種,也就是說每次“10選6+1”搖號后所產生的結果有種可能,每個購買當期彩票的彩民的中特等獎的概率都大于或等于.不少數學家認為概率低于就可以定義為小概率事件,其出現幾率是可以忽略不計的,顯然“10選6+1”要中特等獎是十分艱難的.然而同時從純數學角度看,任何一個小概率事件,當它的極限n取無窮大時,也可以是成為一個必然事件的.也就是說在同一條件下無限制地進行這項隨機實驗,這個微小概率結果也將必然出現,即它可能出現的概率p=1.的確不少彩民采取守號的原則,每期都買同一個號,守株待兔.這種方法雖然有一定的道理,卻不盡科學.試想一個有種排列組合結果的隨機事件,要使每一種結果都出現至少一遍,至少需要104166年.由此看來我們的概率分析在彩票中似乎是滄海一粟,這也是很多專家認為彩票無分析無科學的王牌根據.中特等獎用概率分析目前確實不行,但不要忘記一點,按照彩票的兌獎規(guī)則,并不需要每位都才對才中獎,只要猜對2位或3位就能得獎,就能享受中獎的喜悅..同樣的我們可以計算雙色球的所有可能結果,有種不同的排列,即若每月開13期,一年開156期,需要至少8189637年,這簡直是不能完成的事件.有人曾經企圖全面圍剿中獎號碼,最后傾家蕩產,這只能說明他們的概率知識太淺薄,要知道他的區(qū)區(qū)幾注,幾十注,幾百注甚至上千注彩票,只不過是龐大概率數字組合中的滄海一粟.排列組合不僅對中獎的分析起了一定的作用,而且對彩票的中獎規(guī)則也起了不可估量的作用.下面我們以傳統(tǒng)型和樂透型來具體說明.“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”方案:先從6組0-9號球中搖出6個基本號碼,每組搖出一個,然后從0-4號球中搖出一個特別號碼,構成一注,根據單注號碼與中獎號碼相符的個數多少及順序確定中獎等級.如表一表一:“傳統(tǒng)型”彩票中獎說明中獎等級10選6+1（6+1/10）基本號碼特別號碼說明一等獎abcdefg選7中（6+1）二等獎abcdef選7中（6）三等獎abcdeXXbcdef選7中（5）四等獎abcdXXXbcdeXXXcdef選7中（4）五等獎abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef選7中（3）六等獎abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef選7中（2）“樂透型”有多種不同的形式,以“33選7”,“36選6+1”以及“雙色球”為例.“33選7”方案:先從1-33個號碼球中一個一個地搖出7個基本號碼,再從剩余的26個號碼球中搖出一個特別號碼.投注者從1-33個號碼中任選7個組成一注（不可重復）,根據單注號碼與中獎號碼相符的個數多少確定中獎等級,不考慮號碼順序,如表二;又如“36選6+1”方案:先從1-36個號碼球中一個一個地搖出6個基本號碼,再從剩余的30個號碼球中搖出一個特別號碼.投注者從1-36個號碼中任選7個組成一注（不可重復）,根據單注號碼與中獎號碼相符的個數多少確定中獎等級,不考慮號碼順序,如表三;“雙色球”每注投注由6個紅色球號碼和一個藍色球號碼組成,紅色球號碼從1-33中選擇,藍色球號碼從1-16中選擇.具體情況如表四表二:“33選7”中獎說明中獎等級33選7（7/33）基本號碼特別號碼說明一等獎●●●●●●●選7中（7）二等獎●●●●●●○★選7中（6+1）三等獎●●●●●●○選7中（6）四等獎●●●●●○○★選7中（5+1）五等獎●●●●●○○選7中（5）六等獎●●●●○○○★選7中（4+1）七等獎●●●●○○○選7中（4）表三:“36選6+1”中獎說明中獎等級36選6+1（6+1/36）基本號碼特別號碼說明一等獎●●●●●●●★選7中（6+1）二等獎●●●●●●●選7中（6）三等獎●●●●●●○★選7中（5+1）四等獎●●●●●●○選7中（5）五等獎●●●●●○○★選7中（4+1）六等獎●●●●●○○選7中（4）七等獎●●●●○○○★選7中（4）

（備注:順序不限,其中●表示選中的基本號碼,○表示未選中的基本號碼,★表示選中的特別號碼）表四:“雙色球”中獎說明中獎等級36選6+1（6+1/36）基本號碼說明一等獎●●●●●●★選7中（6個紅球+1個藍球）二等獎●●●●●●○選7中（6個紅球）三等獎●●●●●○★選7中（5個紅球+1個藍球）四等獎●●●●●○○●●●●○○★選7中（5個紅球）選7中（4個紅球+1個藍球）五等獎●●●●○○○●●●○○○★選7中（4個紅球）選7中（3個紅球+1個藍球）六等獎●●○○○○★●○○○○○★○○○○○○★選7中（1個藍球）（備注:順序不限,其中●表示選中的紅色球,○表示未選中的紅色球,★表示選中的藍色球）2.2彩票中的概率在搖出中獎號碼的過程中,中獎號碼發(fā)生的事件,以及各種號碼出現的概率是相互獨立的,是等概率的,這是一個古典概型的問題.由古典概型得知,中獎概率=該等獎中獎號碼個數/所有可能的號碼個數.下面以上面的幾種模式為例,來探討其單注彩票的中獎概率.2.2.1“傳統(tǒng)型”彩票的中獎概率傳統(tǒng)型彩票“10選6+1”特等獎中一等獎中二等獎中三等獎中四等獎中五等獎中中獎率2.2.2“樂透型”彩票中獎概率“33選7“中獎概率一等獎中二等獎中三等獎中四等獎中五等獎中六等獎中七等獎中中獎率“36選6+1“中獎概率一等獎中二等獎中三等獎中四等獎中五等獎中六等獎中七等獎中中獎率雙色球中獎概率一等獎中6紅+1藍:二等獎中6紅:三等獎中5紅+1藍:四等獎中5紅/中4紅+1藍:五等獎中4紅/中3紅+1藍:六等獎中1藍:中獎率通過計算,以上幾種形式的彩票,每期開獎中獎機會分別為,每一千個人中分別有46,26,16,67人能中獎.“雙色球”中獎的概率最大,所以“雙色球”是當前比較流行的一種“樂透型”福利彩票.“雙色球“中獎概率高完全是由于藍球產生的,因為六等獎只需中藍球,而它的概率高達5.887%,從而提高了”雙色球“整體的中獎概率.但是“雙色球”一等獎中獎概率遠遠低于其他“樂透型”彩票中獎率,其一等獎中獎概率為,是普通樂透型彩票“36選6+1”一等獎中獎概率的0.471,連一半都不到.總體來說,靠彩票發(fā)家是不可能的,彩民們要以良好的心態(tài)來購買彩票,同時為國家的慈善機構做貢獻.2.3彩票中的隨機分布隨機變量是指在同一組條件下,如果每次實驗可能出現這樣那樣的結果,并把所有的結果列舉出來,即把x的可能值都列舉出來;而且其可能值有確定額概率;則x叫隨機變量,P(x)叫隨機變量x的概率函數.由于彩票每個位次上號碼的所有值都能列舉出來,因此我們可以將它看成是一個離散型隨機變量.離散型隨機變量有許多種分布形態(tài),與彩票最有關聯的是均勻分布,二項分布和超幾何分布.2.3.1均勻分布均勻分布式每種結果都能列舉出來,而且每種結果出現的概率是相等的.均勻分布是彩票號碼分析中最重要的一個分布,它告訴我們這樣一個事實:如果保證足夠的樣本容量,每個號碼的出現機會大致是相同的.例如“10選6+1”各個位次上出現某個數碼的概率都是.2.3.2二項分布首先闡述一下什么叫貝努里實驗,貝努里實驗是指具有下列特征的n次獨立重復實驗:ⅰ）實驗中包含了n個相同的實驗.彩票中的各期號碼出現都是在同一種機器中搖出來的,可以看做是n次反復實驗.ⅱ）每一次實驗只有兩種結果,“成功”或“失敗”,這里的“成功”或“失敗”是廣義的,意思是彩票的每個位次上猜中數碼就是“成功”,猜不中就是“失敗”.ⅲ）出現成功的概率p每次是相同的,失敗的概率q也是固定不變的.如“傳統(tǒng)型”彩票“10選6+1”每個位次上成功的概率是,失敗的概率是,容易看出.ⅳ)試驗是相互獨立的,每次搖完后號球都放回,本期結果不影響下期結果.ⅴ）試驗“成功”或“失敗”可以計數,即試驗結果對應于一個離散型的隨機變量.在貝努里試驗中,以表示次重復獨立試驗中事件出現的次數,不難得出:其中注意到其中正好是二項式的展開式中的第項,故我們稱此隨機變量服從二項分布,參數為和,并記作顯然,數學型彩票抽樣只要不換搖獎機,就完全符合貝努里試驗的要求.用二項分布來分析合情合理.2.3.3超幾何分布對于樂透型,雖然每次開獎結果不影響下次搖獎,即期與期之間是獨立事件,但在同一期內先開出的號球并不放入搖號機,在概率學上稱作“無放回”的抽樣,則必然會對下面的號碼產生影響.此時,其試驗條件就已經不同了,故不能直接套用二項分布.在時機情況中,真正在完全相同的條件下進行的實驗室相當少的.對于抽樣問題來說,只要滿足一定的樣本容量,無放回可當做有放回處理.況且,“無放回”的抽樣只是在同一期內而言,期與期之間是獨立事件.在分析樂透型的中獎號碼時,仍以二項分布和均勻分布為主,兼顧超幾何分布的一些特點.彩票方案的分析及優(yōu)化表五彩票的常見銷售規(guī)則及相應獎金設置方案獎項獎項方案一等獎比例二等獎比例三等獎比例四等獎金額五等獎金額六等獎金額七等獎備注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%30020按序46+1/1070%15%15%30020按序57/2960%20%20%3003066+1/2960%25%15%2002077/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%50050102187/3468%12%20%300505197/3570%15%10%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%500100105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030【問題描述】⑴據上面方案的描述,綜合分析各獎項出現的可能性,獎項和獎金額的設置以及對彩民的吸引力等因素評價彩票方案的合理性.⑵設計一種更好的方案及相應的算法以便求出對于不同注數應選擇的最優(yōu)方案.【模型假設】⑴每注彩票只兌付最高獎級獎金,不可兼得;⑵假設彩票的規(guī)則是以公平合理為原則;⑶假設彩票的發(fā)行費用不計,彩票總獎金比例一般為銷售總額的50%;⑷獎金取決于當期彩票投注額的多少,投注額越多,獎金越高;⑸假設彩民大都有博彩心理;【符號說明】⑴表示等獎是否被取走,即或1.⑵表示k等獎中獎注數.⑶表示i等獎的獎金額.⑷n表示當期已售出的彩票注數.⑸表示每注彩票第i獎項的獎金額.⑹表示取走的獎金額.⑺表示一注中獎彩票被取走的獎金比率,即單注彩票的平均收益率.⑻表示第i等獎的中獎概率.⑼表示第i等獎的獎金分配的百分比.⑽表示博彩心理函數.⑾s表示低獎項獎金額在總獎項中所占的比例.⑿f表示判別方案合理性的判別函數.【問題分析】⑴求兩種類型彩票每注中各獎項的概率.設彩票有7等獎,對某一方案而言,每注彩票中各等獎的概率是可求得,由古典概率問題求得傳統(tǒng)型和樂透型概率如下:①傳統(tǒng)型.單注總數為.各獎項的單注數分別為一等獎:1二等獎:三等獎:四等獎:五等獎:六等獎:由概率的定義可得中等獎的概率.②樂透型.在型的彩票中,選中個基本號當中的個的可能性,可以通過超幾何分布得出.則選中個基本號加特別號的可能性為則選中個基本號不加特別號的可能性為.⑵設當期銷售注彩票,研究沒住彩票的收益.由于當期彩票的總獎金與售出彩票注數有關,注彩票中,獲得第等獎的中獎注數是隨機變量,且服從二項分布即.由伯努里大數定理可知,當足夠大時,近似服從正態(tài)分布,其期望與方差分別為.記由的獨立性,=高項獎的第等獎的獎金額,由案件中給出的計算方法得若表示等獎是否被取走,則服從兩點分布.表示等獎沒被取走,其分布律為若表示取走的獎金總額,它是一個隨機變量,則表示單注彩票的收益率.基于彩票的總獎金比例一般為銷售總額的50%,單注彩票金額為2元,首先分析的數學期望E():取n=100萬,150萬,200萬,300萬,利用上式,求出了表五中給出的29中方案在不同n下每注彩票的平均收益,從運算結果看,隨著n的增大,平均收益率趨于穩(wěn)定值1.⑶從公平因素出發(fā)進行分析利用公平原則確定獎金在各個獎項中的分配情況,中獎的概率Pi與第i項獎單注中獎金額xi具有相關性,即中獎可能性越小,獎金額越高.再者中獎幾率和成本有直接關系,假設中一等的概率是0.001,中二等獎的概率是0.01,則一等獎平均抽1000注（需2000元）才能中一次,而二等獎需要100注（需200元）,可見中獎收益和中獎概率應成反比,最理想的情況為中獎概率和獎金額乘積等于常數.我們把總獎金額分成低項、高項兩部分,在每項內部考慮公平因素,若考慮獎項為1到7等獎的方案為常數這里稱該公式為公平尺度.若低項獎的百分比為s,則高項獎的百分比為（1-s）,由低項獎內部公平尺度有以下公式:由高項獎內部公平尺度有以下公式:則（當n是定值時,其值是常數）.以反映了高項獎的公平程度,由此當且僅當時,最大.同理反映了低項獎的公平程度.我們可取作為衡量公平程度的數學表達式,但由于遠小于1,所以很小,設,記為總公平因子.⑷博彩心理的因素分析彩民的興趣大小與單注收益率,公平度相關.對一個方案,彩民的看法主要是由收益決定的我們用這個量的某個函數來衡量該方案對彩民的吸引力,而彩民的看法是一個心理因素,是一個很難準確衡量的量.根據心理學的知識,人的心理因素的變化可用博彩心理函數來近似刻畫,博彩心理與單注的收益有關,取博彩心理函數為其中,表示銷售注數.【模型的建立與求解】綜合以上分析,我們用影響方案合理性的三個因子.收益期望,公平因素,博彩因素,來構造給定方案合理性的評判函數,并且通過求解這個函數的值來判斷各個方案的優(yōu)劣.⑴評價函數的構造方案的吸引力函數博彩因子公平因子,即根據彩票目前開獎的有關資料,以及題目中對單注一等獎獎金的約束,取彩票銷售注數n=200萬進行計算.以29個方案的的有關數據代入判別函數中,求出的值,通過比較值得大小,就可以確定給定的各種方案的優(yōu)劣.由此得到對29個方案的優(yōu)劣排序:9,5,11,8,7,19,20,16,24,10,6,22,18,25,12,26,13,14,23,15,17,21,29,2,27,3,28,4,1⑵問題（2）的模型及解答.由問題（1）的求解結果可以看出,傳統(tǒng)型和無特別號（23號）的方案已不可能列入最優(yōu)方案中,