山東省青島市開發(fā)區(qū)致遠(yuǎn)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

山東省青島市開發(fā)區(qū)致遠(yuǎn)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.橢圓與的關(guān)系為（

）A、有相等的長、短軸

B、有相等的焦距C、有相同的焦點

D、有相等的離心率參考答案：B略2.設(shè)正方體的棱長為2，動點在棱上，動點P,Q分別在棱AD,CD上，若EF=1,則下列結(jié)論錯誤的是（

）A.B.二面角P-EF-Q所成的角最大值為C.三棱錐P-EFQ的體積與的變化無關(guān)，與的變化有關(guān)D.異面直線EQ和所成的角大小與變化無關(guān)參考答案：C3.下列說法正確的是A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”B．若命題，則命題C．命題“若，則”的逆否命題為真命題D．“”是“”的必要不充分條件參考答案：C略4.已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=（x2+）（x+a），若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，則a的取值范圍是（）A． B．C． D．參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，則f'（x）=0有實數(shù)解，從而可求a的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=x3+ax+x+a，∴f′（x）=3x2+2ax+，∵函數(shù)f（x）的圖象上存在與x軸平行的切線，∴f'（x）=0有實數(shù)解，∴△=4a2﹣4×3×≥0，∴a2≥，解得a≤﹣或a，因此，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣]∪[，+∞），故選D．5.在空間直角坐標(biāo)系中，平面α內(nèi)有M（m，﹣2，1）和N（0，m，3）兩點，平面α的一個法向量為=（3，1，2），則m等于（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3參考答案：C【考點】平面的法向量．【分析】先求出=（﹣m，m+2，2），由題意得，從而利用=0，能求出m的值．【解答】解：∵平面α內(nèi)有M（m，﹣2，1）和N（0，m，3）兩點，平面α的一個法向量為=（3，1，2），∴=（﹣m，m+2，2），由題意得，則=﹣3m+m+2+4=0，解得m=3．故選：C．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運用．6.學(xué)校舉行“好聲音”歌曲演唱比賽，五位評委為學(xué)生甲打出的演唱分?jǐn)?shù)莖葉圖如圖所示，已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不可能為（

）． A． B． C． D．參考答案：A由題意，當(dāng)時，平均數(shù)為，當(dāng)時，平均數(shù)為，即平均數(shù)在區(qū)間內(nèi)，項排除．故選．7.下列命題是假命題的是(

)A.若,則

B.5≥3

C.若M=N則D.”若sinα=sinβ,則α=β”的的逆命題.參考答案：C8.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線A1D與D1C所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點】異面直線及其所成的角．【專題】空間角．【分析】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是異面直線A1D與D1C所成的角，由此能求出結(jié)果．【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是異面直線A1D與D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等邊三角形，∴∠DA1B=60°，∴異面直線A1D與D1C所成的角是60°．故選：C．【點評】本題考查異面直線所成的角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．9.如圖：已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，若PA⊥平面ABCD，在BC邊上取點E，使PE⊥DE，則滿足條件的E點有兩個時，的取值范圍是（

）＞4

≥4

0＜＜4

0＜≤4參考答案：A略10.早上從起床到出門需要洗臉?biāo)⒀?5min)、刷水壺(2min)、燒水(8min)、泡面(3min)、吃飯(10min)、聽廣播(8min)幾個步驟、從下列選項中選最好的一種算法（）A．S1洗臉?biāo)⒀馈2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽廣播B．刷水壺、S2燒水同時洗臉?biāo)⒀?、S3泡面、S4吃飯、S5

聽廣播C．刷水壺、S2燒水同時洗臉?biāo)⒀?、S3泡面、S4吃飯同時聽廣播D．吃飯同時聽廣播、S2泡面、S3燒水同時洗臉?biāo)⒀?、S4刷水壺參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓的半徑為，、為該圓的兩條切線，、為兩切點，那么

的最小值為________．參考答案：略12.函數(shù)f(x)=－x+在[－2，]上的最大值是．參考答案：【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得f（x）在上遞減，計算即可得到所求最大值．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=﹣1﹣，在上f′（x）＜0，可得f（x）在上遞減，可得f（x）的最大值為f（﹣2）=2﹣=．故答案為：．13.設(shè)函數(shù)，集合，，若PM，則實數(shù)a的取值構(gòu)成的集合是______.參考答案：{0,1}【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由求得或，結(jié)合分類討論．【詳解】由題意，令得或，若，則滿足題意；時，首先有，即，，則，由PM得，解得或（舍去）．∴的取值集合是．故答案為：．【點睛】本題結(jié)合導(dǎo)數(shù)，考查集合之間的包含關(guān)系．考查學(xué)生的推理論證能力和運算求解能力．14.已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則|z|＝________.參考答案：15.已知函數(shù)f（x）=在R上單調(diào)遞減，且方程|f（x）|=2有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：[，]【考點】54：根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】由減函數(shù)可知f（x）在兩段上均為減函數(shù)，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，根據(jù)交點個數(shù)判斷3a與2的大小關(guān)系，列出不等式組解出．【解答】解：∵f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，∴y=x2+（2﹣4a）x+3a在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，y=loga（x+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．∴，解得≤a≤1．∵方程|f（x）|=2有兩個不相等的實數(shù)根，∴3a≤2，即a≤．綜上，≤a≤．故答案為[，]．【點評】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點的個數(shù)判斷，判斷端點值的大小是關(guān)鍵，屬于中檔題．16.★★★★★★．參考答案：略17.如圖所示壇內(nèi)有五個花池，有五種不同顏色的花可供栽種，每個花池內(nèi)只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，最多的栽種方案

參考答案：420三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，E為PD的中點，AP=1，AD=．（I）證明：PB∥平面AEC；（II）求二面角P﹣CD﹣B的大??；（Ⅲ）設(shè)三棱錐P﹣ABD的體積V=，求A到平面PBC的距離．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）連接AC、BD相交于G，連接EG．由三角形中位線定理可得EG∥PB，再由線面平行的判定得PB∥平面AEC；（II）由PA⊥面ABCD，可得平面PAD⊥平面ABCD，結(jié)合CD⊥AD，得CD⊥面PAD，則∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，求解直角三角形得答案；（Ⅲ）由已知求得AB，再由等積法求得A到平面PBC的距離．【解答】（I）證明：連接AC、BD相交于G，連接EG．∵E為PD的中點，∴EG∥PB，又EG?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；（II）解：∵PA⊥面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又CD⊥AD，∴CD⊥面PAD，則∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，在Rt△PAD中，∵AP=1，AD=，∴tan∠PDA=，則∠PDA=30°；（Ⅲ）解：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，則PA是三棱錐P﹣ABD的高，設(shè)AB=x，A到平面PBC的距離為h，∵，∴．由VP﹣ABC=VA﹣PBC，得，解得h=．19.（本小題滿分14分）已知四棱錐C-ABDE中，平面ABDE⊥平面ABC，底面ABDE是正方形，AB=1,CD=，AB⊥BC，（Ⅰ）求證：平面ACE⊥平面ABC；（Ⅱ）求CD與平面BCE所成角的正弦值.參考答案：證明：（Ⅰ）在正方形ABDE中，EA⊥AB，

又AB=平面ABDE∩平面ABC，平面ABDE⊥平面ABC

所以，EA⊥平面ABC，

………………4分

又EA在平面ACE內(nèi)，所以，平面ACE⊥平面ABC。…………7分

（Ⅱ）同理，由AB⊥BC可知：BC⊥平面ABDE，進(jìn)而知，BC⊥AD在正方形ABDE中，AD⊥BE，又BC∩BE=B，知AD⊥平面BCE?！?0分`設(shè)BE∩AD=O，連結(jié)OC，則CD與平面BCE所成的角就是∠DCO，………12分且DO⊥CO在正方形ABDE中，由AB=1知，DO=，在直角三角形CDO中，依前知，sin∠DCO=，即CD與平面BCE所成角的正弦值是

…………

14分

略20.設(shè)A是單位圓O和x軸正半軸的交點，P，Q是圓O上兩點，O為坐標(biāo)原點，∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0，]．（1）若Q（，），求cos（α﹣）的值；（2）設(shè)函數(shù)f（α）=sinα?（?），求f（α）的值域．參考答案：【分析】（1）利用差角的余弦公式計算；（2）利用三角恒等變換化簡f（α），再利用α的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（α）的最值．【解答】解：（1）由已知得cosα=，sinα=，∴cos（）=+×=．（2）=（，），=（cosα，sinα），∴=cosα+sinα，∴f（α）=sinαcosα+sin2α=sin2α﹣cos2α+=sin（2α﹣）+．∵α∈[0，]，∴2α﹣∈[﹣，]，∴當(dāng)2α﹣=﹣時，f（α）取得最小值+=0，當(dāng)2α﹣=時，f（α）取得最大值=．∴f（α）的值域是[0，]．21.已知成等差數(shù)列.又?jǐn)?shù)列此數(shù)列的前n項的和（）對所有大于1的正整數(shù)n都有.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若的等比中項，且為的前n項和，求.參考答案：解：（1）成等差數(shù)列，∴∴∵，∴Ks5u∴{}是以為公差的等差數(shù)列.∵，∴

∴當(dāng)時，

當(dāng)