2020-2021學(xué)年天津市南開區(qū)高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2020-2021學(xué)年天市南開區(qū)一上學(xué)期末考試數(shù)學(xué)試題一、選題：本大題10小，每小3，共30分．在每小給出的個(gè)選項(xiàng)中，有一個(gè)是合題目要求．1設(shè)集合U={n|n∈N*

且n，B={1則∪B中元素個(gè)數(shù)（）UA．4B．5C．6D．72．與α=+2kπ（k∈Z）終邊相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣

πD．π3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=）A．﹣B．﹣C．D．4．下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（）A．y=x+sinxB．y=|x|﹣cosxC．y=xsinxD．y=|x|cosx5．已知cosθ＞0，tan（A．第一象限B．第二象限

）=，則θ在（）C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限6．函數(shù)f（x）=logx+x的零點(diǎn)在區(qū)間為（）2A，1）B，2）C，3）D，4）7．若偶函數(shù)f（x）在[0∞）上單調(diào)遞減，設(shè)a=f（1（log3（log30.52則（）A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜a＜cC＜c＜aD．c＜a＜b8．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，從某時(shí)刻起，將線段AB，BC，CD，DA分別繞點(diǎn)A，B，C，D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同角度＜α＜=（）

旋轉(zhuǎn)后的四條線段所圍成的封閉圖形面積為則αA．

或B．

或C．

或D．

或

9．函數(shù)f（x）=Asinφ）的單調(diào)遞減區(qū)間為[k﹣法錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)f（﹣x）的最小正周期為π

，kπ+]∈Z則下列說B．函數(shù)f（﹣x）圖象的對(duì)稱軸方程為C．函數(shù)f（﹣x）圖象的對(duì)稱中心為（+

+（k∈Z），0∈Z）D．函數(shù)f（﹣x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

，kπ+

]（k∈Z）10．設(shè)函數(shù)f（x）=①若a≤0，則f（f（a﹣a；②若f（f（a﹣a，則≤0；③若a≥1，則f（f（a；④若f（f（a，則a．

，則下列說法正確的是（）A．①③B．②④

C．①②③D．①③④二、填題：本大題5小題，每小分，共20）11．函數(shù)f（x）=

的定義域?yàn)椋?2．函數(shù)f（x）=2cosx?tanx+cos2x的最小正周期為；最大值為．13．如果將函數(shù)f（x）=sin2x圖象向左平移φ（φ）個(gè)單位，函數(shù)g（2x﹣圖象向右平移φ個(gè)長(zhǎng)度單位后，二者能夠完全重合，則φ的最小值為．

）14如圖所示知A是單位圓上兩點(diǎn)且|AB|=β=∠OCB，則sinαsinαcosβ=．

設(shè)AB與x軸正半軸交于點(diǎn)α=∠AOC，

15．設(shè)函數(shù)（x）=

，若關(guān)于方程f（x）﹣a=0有三個(gè)不等實(shí)根x，x，x，且x+x+x=﹣，則a=．123123三、解題：本大題5小題，共50．解寫出文說明、證明程或演過程．16．已知集合A={x|2x﹣6

﹣2x

≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）寫出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．已知函數(shù)f（x）=cos﹣）﹣sin（x﹣（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給出證明；（Ⅱ）若θ為第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．設(shè)函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，已知當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=﹣（x+1）2

．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2

+2m）+f（m）＞0，求m的取值范圍．19．設(shè)某等腰三角形的底角為α，頂角為β，且β=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=tanx[﹣

，α]上的值域與函數(shù)g（x）=2sin（2x）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范圍．20．函數(shù)（xωx?cos（）+1（ω＞0圖象上有兩點(diǎn)，t（s+2π，t其中﹣2＜t＜2，線段與函數(shù)圖象有五個(gè)交點(diǎn)．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[x，x]和[x，x]單調(diào)遞增，在x，x]上單調(diào)遞減，且滿足等式x123423

4﹣x=x﹣x=（x﹣x求、x有可能取值．3213214

2020-2021學(xué)年天市南開區(qū)一上學(xué)期末考試數(shù)學(xué)試題參答案一、選題：本大題10小，每小3，共30分．在每小給出的個(gè)選項(xiàng)中，有一個(gè)是合題目要求．1設(shè)集合U={n|n∈N*

且n，B={1則?∪B中元素個(gè)數(shù)（）UA．4B．5C．6D．7【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】根據(jù)已知中集合∈N*

且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}結(jié)合集合并集，補(bǔ)集的定義，可得答案．【解答】解：∵A={2，5}，2，4，5}，∴A∪B={1，2，4，5}，又∵集合U={n|n∈N*

且n，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴?（A∪B）={3，6，7，9}，U故?（A∪B）共有5個(gè)元素，U故選：B．2．與α=+2kπ（k∈Z）終邊相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣【考點(diǎn)】終邊相同的角．

πD．π【分析】把

化成15°，再根據(jù)終邊相同的角之間相差周角的整數(shù)倍，即可得答案．【解答】解：由α=

+2kπ（k∈Z得與角α終邊相同的角是：

，360°+15°=375°．故選：B．3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=）A．﹣B．﹣C．D．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．

【分析】直接由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可得答案．【解答】解：=

．故選：C．4．下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（）A．y=x+sinxB．y=|x|﹣cosxC．y=xsinxD．y=|x|cosx【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】運(yùn)用奇偶性的定義，即可判斷出奇函數(shù)的函數(shù)．【解答】解：A，y=x+sinx有f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x奇函數(shù)；B，y=|x|﹣cosx，f（﹣x﹣x|﹣cos（﹣x）=f（x偶函數(shù)；C，y=xsinx，f（﹣x）=（）sin（﹣x）=xsinx=f（x偶函數(shù)；D，y=|x|cosx，f（﹣x）=|（﹣x）=f（x為偶函數(shù)．故選：A．5．已知cosθ＞0，tan（A．第一象限B．第二象限

）=，則θ在（）C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切函數(shù)．【分析】由兩角和的正切公式化簡(jiǎn)tan（值的符號(hào)判斷出θ所在的象限．【解答】解：由題意得，tanθ+）=，所以=，即，解得tanθ=＜0，則θ在第二或四象限，由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，所以θ在第四象限，故選：D．

）=，求出θ的值，結(jié)合條件和三角函數(shù)

6．函數(shù)f（x）=logx+x的零點(diǎn)在區(qū)間為（）2A，1）B，2）C，3）D，4）【考點(diǎn)】二分法的定義．【分析】判斷（x）=logx+x﹣4，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得2出答案．【解答】解：f（x）=log﹣4，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．2∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0（3）=log3﹣1＞02∴根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得出：f（x）的零點(diǎn)在（2，3）區(qū)間內(nèi)∴函數(shù)f（x）=logx+x﹣4零點(diǎn)所在的區(qū)間為（2，32故選：C．7．若偶函數(shù)f（x）在[0∞）上單調(diào)遞減，設(shè)a=f（1（log3（log30.52則（）A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜a＜cC＜c＜aD．c＜a＜b【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】（x）在（﹣∞0]上調(diào)遞增，log3=0.5

＜=﹣1，log322∈（0，1求出結(jié)果．【解答】解：∵偶函數(shù)f）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，∴f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞增，∵log3=＜=﹣1，log3﹣1=log1.5（0，10.522a=f（1（log3（log30.52∴b＜a＜c．故選：B．8．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，從某時(shí)刻起，將線段AB，BC，CD，DA分別繞點(diǎn)A，B，C，D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同角度＜α＜=（）

旋轉(zhuǎn)后的四條線段所圍成的封閉圖形面積為則α

A．

或B．

或C．

或D．

或【考點(diǎn)】扇形面積公式．【分析】由題意可得旋轉(zhuǎn)后的四條線段所圍成的封閉圖形為正方形，邊長(zhǎng)為cosαα，得α﹣sinα）

=，進(jìn)而解得cosα﹣sinα=±

，cosα+sinα=，聯(lián)立解得cosα=，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得解．【解答】解：如圖所示，旋轉(zhuǎn)后的四條線段所圍成的封閉圖形為正方形，邊長(zhǎng)為cosα﹣sinα，由題意可得α﹣sinα2

=，可得：cosα﹣sinα=±

①，2sinαcosα=又0＜α＜

，可得：cosα=

=，②所以：由①②可得：cos

．故α=

或．故選：A．9．函數(shù)f（x）=Asinφ）的單調(diào)遞減區(qū)間為[k﹣法錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)f（﹣x）的最小正周期為π

，kπ+]∈Z則下列說

B．函數(shù)f（﹣x）圖象的對(duì)稱軸方程為C．函數(shù)f（﹣x）圖象的對(duì)稱中心為（+D．函數(shù)f（﹣x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．

+（k∈Z），0∈Z），kπ+]（k∈Z）【分析】由題意，ω=2，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的周期為π，φ=（﹣2x+再進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，ω=2函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的周期為π，

，f（﹣x）=Asinφ=

，f（﹣x）=Asin（﹣2x+

x=+

，﹣2x+=k

，f（﹣x）=Asin（﹣2x+

）≠0，故選C．10．設(shè)函數(shù)f（x）=

，則下列說法正確的是（）①若a≤0，則f（f（a﹣a；②若f（f（a﹣a，則≤0；③若a≥1，則f（f（a；④若f（f（a，則a．A．①③B．②④C．①②③D．①③④【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析根據(jù)已知中函數(shù)（x=【解答】解：當(dāng)a≤0時(shí)，則f（f（a

逐一分析給定四個(gè)結(jié)論的真假可得答案．=﹣a，故①正確；當(dāng)a≥1時(shí)，f（f（a=，故③正確；當(dāng)0＜a＜1，f（f（a（loga）∈R，0.50.5故此時(shí)存在0＜a＜1，使得f（f（a﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f，

故②④錯(cuò)誤；故選：A二、填題：本大題5小題，每小分，共20）11．函數(shù)f（x）=

的定義域?yàn)椋ī?，0）∪（0，+∞）．【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及分母不為0，求出函數(shù)的定義域即可．【解答】解：由題意得：，解得：x＞﹣1且x≠0，故函數(shù)的定義域是（﹣1）∪（0，+∞故答案為，0）∪，+∞12．函數(shù)f（x）=2cos2

x?tanx+cos2x的最小正周期為π；最大值為

．【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式再利用正弦函數(shù)的周期性以及最大值得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)f（x2

x?tanx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）的最小正周期為故答案為：π，

=π，最大值為，13．如果將函數(shù)f（x）=sin2x圖象向左平移φ（φ）個(gè)單位，函數(shù)g（2x﹣

）圖象向右平移φ個(gè)長(zhǎng)度單位后，二者能夠完全重合，則φ的最小值為

．【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（φ）的圖象變換．【分析】首先對(duì)函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行平移變換，然后利用對(duì)應(yīng)相等求出結(jié)果．【解答解將函數(shù)圖象向左平移（φ＞0個(gè)單位得到y(tǒng)=sin[2（x+φ（2x+2φ）的圖象，

將函數(shù)g（x）=cos（2x﹣

）圖象向右平移φ個(gè)長(zhǎng)度單位后，可得函數(shù)y=cos[2﹣φ）﹣]=cos﹣2φ﹣

﹣（2x﹣2φ﹣（φφ+）的圖象，二者能夠完全重合，由題意可得，即：2x+2φ=2x﹣2φ+

+2kπ，k∈Z，解得：φ=kπ+當(dāng)k=0時(shí)，φ=min

）．故答案為：

．14如圖所示知A是單位圓上兩點(diǎn)且|AB|=β=∠OCB，則sinαsinαcosβ=．

設(shè)AB與x軸正半軸交于點(diǎn)α=∠AOC，【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】利用差角的余弦公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，∠OAC=﹣α，∵A，B是單位圓上兩點(diǎn)且AB|=，∴sinαsinβ+cosαcos（β﹣α）=cos∠OAC=

=，故答案為

．15．設(shè)函數(shù)（x）=

，若關(guān)于方程f（x）﹣a=0有三個(gè)不等實(shí)根

x，x，x，且x+x+x=﹣，則a=．123123【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析圖所示出函數(shù)圖象妨設(shè)＜x＜xx+x=2×12312

x+x+x=123﹣，可得x，代入a3

即可得出a．【解答】解：如圖所示，畫出函數(shù)f（x）的圖象，不妨設(shè)x＜x＜x，則x+x12312又x+x+x=﹣，123∴x=．3∴a==．故答案為：．

=﹣3，三、解題：本大題5小題，共50．解寫出文說明、證明程或演過程．16．已知集合A={x|2x﹣6

﹣2x

≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）寫出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；子集與真子集．【分析Ⅰ）根據(jù)題意，解2x﹣6≤2﹣2x≤1可得集合A，又由B={x|x∈A∩N}即可得集合B，進(jìn)而由子集的定義可得集合B的子集；（Ⅱ）根據(jù)題意，分析可得C是A的子集，進(jìn)而有：，解可得a的取值范圍．【解答】解Ⅰ）對(duì)于集合A，因?yàn)?x﹣6

≤2﹣2x

≤1，則x﹣6≤﹣2x≤0，解可得：0≤x≤2．

即A={x|0≤x≤2}，又由B={x|x∈A∩N}，則B={0，2}；故B的子集有、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，則C是的子集，則必有：，解可得：0≤a≤1，即a的取值范圍是：[0，1]17．已知函數(shù)f（x）=cos﹣）﹣sin（x﹣（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給出證明；（Ⅱ）若θ為第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值；正弦函數(shù)的圖象．【分析）結(jié)論：函數(shù)f（x）為定義R的偶函數(shù)，由函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求出f（x）和（﹣x）即可證得結(jié)論；（Ⅱ）由已知條件求出，再由θ為第一象限角，求出，然后利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可得答案．【解答】解Ⅰ）結(jié)論：函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)．證明：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）=cos（x﹣f（﹣x）=

）﹣sin﹣）=．因此，函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)；（Ⅱ）∵f（θ+∴

）=．

，由于θ為第一象限角，故

，∴cos（2θ+

）==

=．

18．設(shè)函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，已知當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=﹣（x+1）2

．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2

+2m）+f（m）＞0，求m的取值范圍．【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．（Ⅱ）根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解Ⅰ）∵函數(shù)（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，若x＜0，則﹣x＞0，∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=﹣）2

．∴當(dāng)﹣x＞0時(shí)，f（﹣x﹣（﹣x+1）2

=﹣（x﹣1）2

．∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2

=（x則f（x）=（x﹣1）2

，x，則函數(shù)f（x）的解析式f）=；（Ⅱ）若f（m2

+2m）+f（m）＞0，則f（m2

+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=﹣（x+12減函數(shù)，且f（x）＜﹣1＜f（0當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x）2

為減函數(shù)，且f（x）＞1＞f（0則函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，則m2

+2m＜﹣m，即m2+3m＜0，則﹣3＜m＜0，即m的取值范圍是（﹣319．設(shè)某等腰三角形的底角為α，頂角為β，且β=．

（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=tanx[﹣上的值域相同，求m的取值范圍．【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．

，α]上的值域與函數(shù)g（x）=2sin（2x）在[0，m]【分析Ⅰ）由題意，π﹣2α，利用cosβ==﹣cos2α=2sin2

α﹣1求sinα的值；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）