湖州師范學(xué)院2015高等數(shù)學(xué)考試出題參考

高等數(shù)學(xué)A（下）總復(fù)習(xí)第十二章無窮級(jí)數(shù)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別部分和極限(比較審斂法)設(shè)。若級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且

(比較審斂法的極限形式)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且

兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

(1)當(dāng)0<l<∞

時(shí),則

常用比較級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù)：調(diào)和級(jí)數(shù)：P-級(jí)數(shù)：發(fā)散。3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz審斂法:若且則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。概念:若收斂,稱絕對(duì)收斂若發(fā)散,稱條件收斂P328題6.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:提示:(1)p>1

時(shí),絕對(duì)收斂;0<p≤1

時(shí),條件收斂;p≤0

時(shí),發(fā)散.(2)故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.但單調(diào)遞減,且由于所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂

.由Leibniz審斂法知級(jí)數(shù)收斂;由比較審斂法知級(jí)數(shù)發(fā)散;因所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.三、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法?

標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù):再討論?非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性.注意收斂區(qū)間和收斂域的區(qū)別先求收斂半徑R:例：求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:解該級(jí)數(shù)收斂;該級(jí)數(shù)發(fā)散.所以收斂半徑當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)成為當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)成為從而所求收斂域?yàn)槔呵笙铝袃缂?jí)數(shù)的收斂域:解令原級(jí)數(shù)化為因?yàn)樗允諗堪霃绞諗繀^(qū)間為即該級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)成為當(dāng)該級(jí)數(shù)收斂.從而所求收斂時(shí),級(jí)數(shù)成為域?yàn)榈诎苏孪蛄看鷶?shù)

與空間解析幾何一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖向量代數(shù)定義定義與運(yùn)算的幾何表達(dá)在直角坐標(biāo)系下的表示向量有大小、有方向.記作

或

模向量

的模記作

方向余弦設(shè)

與

軸的夾角分別為

，則方向余弦分別為

點(diǎn)乘（數(shù)量積）

，

為向量a與b的夾角叉乘（向量積）

向量

c與a，b都垂直定理與公式垂直平行交角余弦兩向量夾角余弦

投影向量

在非零向量

上的投影幾何表達(dá)在直角坐標(biāo)系下的表示平面直線法向量

點(diǎn)

方向向量

點(diǎn)

方程名稱方程形式及特征方程名稱方程形式及特征點(diǎn)法式點(diǎn)向式截距式參數(shù)式面面垂直線線垂直面面平行線線平行面面夾角線線夾角

空間曲線

：切向量切“線”方程：

法平“面”方程：空間曲面法向量切平“面”方程：法“線“方程：或切平“面”方程：法“線“方程：旋轉(zhuǎn)曲面繞誰(shuí)誰(shuí)不變?nèi)鄙毒脱a(bǔ)啥例1.

設(shè)一平面平行于已知直線且垂直于已知平面求該平面法線的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量所求為二、例題例2.

求旋轉(zhuǎn)拋物面上點(diǎn)（3，-1，0）處的切平面方程。解:令則點(diǎn)（3，-1，0）則點(diǎn)（3，-1，0）處的切平面為即處的法向量為例3.

證明：曲面上任意點(diǎn)。

證明：將曲面改寫為則，曲面上任意點(diǎn)的切平面為

或，于是四面體的體積的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的四面體的體積是常數(shù)第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、微分與方向?qū)?shù)多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)的極值和最值一.多元函數(shù)的基本概念1.多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)

定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)律

判斷極限不存在及求極限的方法

函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)注1：多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)極限的差異為：一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充要條件是左右極限存在且相等；而多元函數(shù)必須是點(diǎn)P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨近于P0時(shí)；f(P)都有極限，且相等。注2：函數(shù)解:原式例1.求二.多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、微分與方向?qū)?shù)1.多元函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)

求fx

(x,y)時(shí),只須將y

看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可.求fy

(x,y)時(shí),只須將x

看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可.2.求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求:先求后代:利用定義:例如：分段函數(shù)分段點(diǎn)例如：初等函數(shù)定義區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)例如：上述兩種例子情況均可、函數(shù)式復(fù)雜（了解即可）例.

求解法1解法2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).先求后代先代后求（了解）3.

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法注:混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下相等.例.

求函數(shù)解

:的二階偏導(dǎo)數(shù)例.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:4.微分5.方向?qū)?shù)與梯度?

三元函數(shù)在點(diǎn)方向?qū)?shù)為:?

二元函數(shù)在點(diǎn)梯度為:方向?qū)?shù)為:梯度為:?

關(guān)系:沿方向l(方向角沿方向l(方向角為這說明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：例1.求函數(shù)

在點(diǎn)

P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).解:

向量

l

的方向余弦為6.重要關(guān)系:偏導(dǎo)存在函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在?可微三.多元函數(shù)微分法1.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2.隱函數(shù)微分法自變量個(gè)數(shù)=變量總個(gè)數(shù)–方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定注:一定要分清楚誰(shuí)是自變量1.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(1).根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)的示意圖分析復(fù)合結(jié)構(gòu),確定自變量、中間變量及其關(guān)系(2).正確使用鏈?zhǔn)椒▌t,寫出求導(dǎo)公式“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”(3).注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)

例.設(shè)解:例.設(shè)

為可導(dǎo)函數(shù)，驗(yàn)證解:隱函數(shù)求導(dǎo)方法：方法1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則方程兩邊直接關(guān)于自變量求導(dǎo),要把因變量看成自變量的函數(shù)方法2.利用隱函數(shù)定理的求導(dǎo)公式3.隱函數(shù)微分法注：兩種求導(dǎo)方法中方程所確立的隱函數(shù)中因變量的地位是不一樣的例.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對(duì)x

求導(dǎo)解法2

利用公式設(shè)則兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)例.

設(shè)解:方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求由題設(shè)故有1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).例如對(duì)二元函數(shù)五.多元函數(shù)的極值和最值2.最值應(yīng)用問題

最值可疑點(diǎn):

駐點(diǎn)和邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)第二步根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值:唯一的駐點(diǎn)一定是最值點(diǎn)第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)實(shí)際問題的最值:3.函數(shù)的條件極值問題(1)簡(jiǎn)單問題用代入法轉(zhuǎn)化為無條件極值問題.(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法求一元函數(shù)的無條件極值問題求法：引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.拉格朗日乘數(shù)法.例如,例.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問題為求x,y,令解方程組解:

設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長(zhǎng)方體開口水箱,試問得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為一定要合理轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù):

非負(fù)可平方、可取倒數(shù)等要注意解方程組的技巧：一般先得出自變量的關(guān)系再代入約束條件使用拉格朗日乘數(shù)法特別要注意：第十章重積分

二重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算重積分的運(yùn)用一.二重積分的計(jì)算1.二重積分的性質(zhì)則2).若在D上例.設(shè)D

是第二象限的一個(gè)有界閉域,且0<y<1,則的大小順序?yàn)?)提示:因0<y<1,故故在D上有例.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它在與x軸的交點(diǎn)(1,0)處與直線從而而域D位于直線的上方,故在D上2.二重積分的計(jì)算(1)利用二重積分的基本性質(zhì)（幾何意義、對(duì)積分區(qū)域可加性、對(duì)稱性質(zhì)、坐標(biāo)輪換性質(zhì)）對(duì)稱性質(zhì):當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)關(guān)于x有奇偶性時(shí),仍有類似結(jié)果.(2)利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分若D為

X–型區(qū)域

則若D為Y–型區(qū)域則(3)利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分注：若積分區(qū)域?yàn)閳A域、扇形域、環(huán)形域、或由極坐標(biāo)曲線圍成的區(qū)域，可考慮選擇極坐標(biāo);例1.

計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X-型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y-型區(qū)域,

則例2.計(jì)算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式故二.三重積分的計(jì)算1、投影法(“先單后重”“先一后二”)2、截面法(“先重后單”“先二后一”)3、柱坐標(biāo)代換4、利用三重積分的對(duì)稱性關(guān)鍵：正確的判斷上、下曲面;找對(duì)投影區(qū)域.1、投影法

(“先單后重”“先一后二”)方法一:根據(jù)圖形:方法二:根據(jù)方程:②投影區(qū)域可由含z的某曲面與其它曲面交線的投影曲線所圍。即：可選定一個(gè)含z的方程然后再和其它所有方程（包含柱面方程和另一個(gè)含z的方程）相交。①利用平行于z軸的直線穿曲面，穿出和穿入點(diǎn)就對(duì)應(yīng)上、下曲面，注：中間所夾立體的邊界應(yīng)為柱面。②投影點(diǎn)的全體即為投影區(qū)域。①已給邊界曲面方程中含z的若只有兩個(gè)，則其必分別為上、下曲面,其它不含z的方程必對(duì)應(yīng)柱面。例.計(jì)算積分其中由曲面法一:

積分域?yàn)樵郊捌矫嫠鶉?例.計(jì)算積分其中由曲面法二:原式及平面所圍.找上下半曲面：找投影區(qū)域：其中

為三個(gè)坐標(biāo)例.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面①柱面坐標(biāo)本質(zhì)：投影法中的二重積分利用了極坐標(biāo)計(jì)算3、柱坐標(biāo)代換②柱面坐標(biāo)適用范圍：例.

計(jì)算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=4、

利用三重積分的對(duì)稱性（了解即可）當(dāng)區(qū)域關(guān)于yoz軸對(duì)稱,函數(shù)關(guān)于x有奇偶性時(shí),當(dāng)區(qū)域關(guān)于xoz軸對(duì)稱,函數(shù)關(guān)于y有奇偶性時(shí),仍有類似結(jié)果.重積分計(jì)算的基本方法1.畫出積分區(qū)域2.選擇坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)：區(qū)域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離3.確定積分次序原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙4.確定積分限方法：圖示法先積一條線，后掃積分域5.計(jì)算要簡(jiǎn)便注意：充分利用對(duì)稱性，奇偶性——

累次積分法小結(jié)：曲線積分曲面積分：1.第一類曲線積分2.第二類曲線積分3.第一類曲面積分（曲面薄板質(zhì)量）（曲線構(gòu)件質(zhì)量）（變力作功）第十一章曲線積分與曲面積分1.第一類曲線積分的計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧利用參數(shù)方程化為定積分?對(duì)光滑曲線弧注：因此積分限必須滿足例.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)

B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)?對(duì)有向光滑弧?

對(duì)有向光滑弧2．第二類曲線積分的計(jì)算(1)利用參數(shù)方程化為定積分例.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式(2)格林公式