山西省呂梁市東會中學2022-2023學年高三數學理上學期期末試題含解析

山西省呂梁市東會中學2022-2023學年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.從集合中任取3個元素組成一個集合，記中所有元素之和被3除余數為的概率為，則的大小關系為

（

）

參考答案：B略2.已知如圖所示的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點P、Q分別在棱BB1、DD1上，且=，過點A、P、Q作截面截去該正方體的含點A1的部分，則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的主視圖的是（）參考答案：A當P、B1重合時，主視圖為選項B；當P到B點的距離比B1近時，主視圖為選項C；當P到B點的距離比B1遠時，主視圖為選項D，因此答案為A.考點：組合體的三視圖3.將函數y=3sin（x-θ）的圖象F按向量（，3）平移得到圖象F′,若F′的一條對稱軸是直線x=,則θ的一個可能取值是A.

B.

C.

D.參考答案：【標準答案】Ａ【試題解析】依題意可得圖象的解析式為,當對稱，根據選項可知A正確?！靖呖伎键c】圖象的平移和三角函數中對稱與最值?！疽族e提醒】將圖象平移錯了?！緜淇继崾尽亢瘮祱D象的平移是考生應掌握的知識點。4.一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是，繪制該四面體三視圖時,按照如下圖所示的方向畫正視圖，則得到左視圖可以為（

）參考答案：B滿足條件的四面體如左圖，依題意投影到平面為正投影，所以左（側）視方向如圖所示，所以得到左視圖效果如右圖，故答案選B．5.若，則是的（

）A．既不充分也不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．充分不必要條件參考答案：D考點：邏輯命題6.已知集合A={x∈R|f（x）=log2（x﹣2）}，B={y∈R|y=log2（x﹣2）}，則A∩B=（）A．（0，2） B．（0，2] C．[2，+∞） D．（2，+∞）參考答案：D【考點】1E：交集及其運算．【分析】求出集合的等價條件，結合交集的定義進行計算即可．【解答】解：A={x∈R|f（x）=log2（x﹣2）}={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，B={y∈R|y=log2（x﹣2）}=（﹣∞，+∞），則A∩B={x|x＞2}，故選：D7.已知，那么的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.若集合，，則的一個充分不必要條件是（

）A． B．

C．

D．參考答案：D9.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的值為A.2016

B.2

C.

D.參考答案：B10.函數的圖像大致是參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N兩點，且點M、N關于直線x+y=0對稱，則不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為．參考答案：【考點】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【分析】由M與N關于x+y=0對稱得到直線y=kx+1與x+y=0垂直，利用兩直線垂直時斜率的乘積為﹣1，得到k的值；設出M與N的坐標，然后聯立y=x+1與圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理得到兩橫坐標之和的關于m的關系式，再根據MN的中點在x+y=0上得到兩橫坐標之和等于﹣1，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式組，在數軸上畫出相應的平面區(qū)域，求出面積即可．【解答】解：∵M、N兩點，關于直線x+y=0對稱，∴k=1，又圓心在直線x+y=0上∴∴m=﹣1∴原不等式組變?yōu)樽鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域，△AOB為不等式所表示的平面區(qū)域，聯立解得B（﹣，），A（﹣1，0），所以S△AOB=×|﹣1|×|﹣|=．故答案為：．12.給出下列命題：①是冪函數②函數的零點有個③展開式的項數是6項④函數圖象與軸圍成的圖形的面積是⑤若，且，則其中真命題的序號是

（寫出所有正確命題的編號）.參考答案：⑤略13.下列說法： ①“”的否定是“”； ②若正數滿足，則的最小值為； ③命題“函數處有極值，則”的否命題是真命題； ④上的奇函數，時的解析式是，則時的解析式為 其中正確的說法是

______________參考答案：④略14.若不等式對一切非零實數均成立,記實數的取值范圍為.已知集合，集合，則集合

.參考答案：略15.曲線在點處的切線方程為_____________.參考答案：略16.設是定義在上的偶函數，對任意的，都有，且當時，，若關于的方程在區(qū)間內恰有三個不同實根，則實數的取值范圍是

.參考答案：17.關于函數f（x）=cosxsin2x，下列說法中正確的是①y=f（x）的圖象關于（π，0）中心對稱；②y=f（x）的圖象關于直線對稱③y=f（x）的最大值是；

④f（x）即是奇函數，又是周期函數．參考答案：①②④【考點】2K：命題的真假判斷與應用．【分析】①根據中心對稱的定義，驗證f（2π﹣x）+f（x）=0是否成立即可判斷其正誤；②根據軸對稱的條件，驗證f（π﹣x）=f（x）成立與否即可判斷其正誤；③可將函數解析式換為f（x）=2sinx﹣2sin3x，再換元為y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，利用導數求出函數在區(qū)間上的最值即可判斷正誤；④利用奇函數的定義與周期函數的定義直接證明．【解答】解：①∵f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴y=f（x）的圖象關于（π，0）中心對稱，∴①正確；②∵f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的圖象關于x=對稱，故②正確；③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，則y=g（t）=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，則y′=2﹣6t2，令y′＞0解得，故y=2t﹣2t3，在[]上遞增，在[﹣1，]和[]上遞減，又g（﹣1）=0，g（）=，故函數的最大值為，∴③錯誤；④∵f（﹣x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函數，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函數的周期，∴函數即是奇函數，又是周期函數，∴④正確．綜上知，說法中正確的是①②④．故答案為：①②④．【點評】本題考查與函數有關的性質的判斷，要求熟練掌握中心對稱，軸對稱性成立的條件，利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值，函數奇偶性與周期性的判定，涉及到的知識較多，綜合性強．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.平面曲線C上的點到點(0,1）的距離等于它到直線的距離。（1）求曲線C的方程；（2）點P在直線上，過點P作曲線C的切線PA、PB，A、B分別為切點，求證：A、B、F三點共線；（3）若直線PF交曲線C于D、E兩點，設求證為定值，并求這個定值。參考答案：(1)

（3分）證明：（2）設由，得上述切線方程的化簡方程為在這兩條切線上

(7分)（3）設由

由題意直線PF的斜率的存在，故PF的方程為故為定值，定值為0。（12分）19.（1）已知實數a，b，c滿足a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；（2）已知正數a，b，c滿足a+b+c=1，求證：．參考答案：【考點】基本不等式．【分析】（1）根據柯西不等式即可得出3（a2+b2+c2）≥1，并且可確定a=b=c=時取等號，這便求出了a2+b2+c2的最小值；（2）左邊展開由不等式即可得出左邊，然后可構造函數（），通過求導判斷單調性，從而求出該函數的最小值，進而得出，從而該題得證．【解答】解：（1）由柯西不等式，（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1，當且僅當時等號成立；∴a2+b2+c2的最小值為；（2）證明：左邊=≥=，構造函數，則：，函數f（x）在上單調遞減，最小值為=；∴的最小值為；∴．20.如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，AA1⊥底面ABCD，E為B1D的中點．（Ⅰ）證明：平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若AA1=AB=1，點C到平面AED的距離為，求三棱錐C﹣AED的體積．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）連接BD，設AC與BD的交點為F，連接EF，由三角形中位線定理可得EF∥BB1，進一步得到EF⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定可得平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）連接AB1，C1D，CD1，設C1D交CD1于點G，由題意知四邊形CDD1C1為正方形，求得，結合點C到平面AED的距離為，可得CD1⊥平面ADE，則CD1⊥AD，再由AD⊥DD1，可得AD⊥平面CDD1C1，即AD⊥CD，從而得到菱形ABCD為正方形，然后利用等積法求得三棱錐C﹣AED的體積．【解答】解：（Ⅰ）證明：連接BD，設AC與BD的交點為F，連接EF，∵E為B1D中點，F為BD中點，∴EF∥BB1，則EF⊥平面ABCD，又∵EF?平面ACE，∴平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）連接AB1，C1D，CD1，設C1D交CD1于點G，由題意知四邊形CDD1C1為正方形，且CD=AB=1，得，又∵點C到平面AED的距離為，∴CD1⊥平面ADE，則CD1⊥AD，又∵AD⊥DD1，∴AD⊥平面CDD1C1，∴AD⊥CD，∴菱形ABCD為正方形，由于E到平面ABCD的距離為，∴．21.已知等差數列{an}滿足an＞1，其前n項和Sn滿足6Sn=an2+3an+2 （1）求數列{an}的通項公式及前n項和Sn； （2）設數列{bn}滿足bn=，且其前n項和為Tn，證明：≤Tn＜． 參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式． 【分析】（1）當n=1、2時，解得a1．a2，利用公差d=a2﹣a1=3．可得an=a1+（n﹣1）d=3n﹣1． （2）由（1）可得an=3n﹣1．利用“裂項求和”即可得出數列{bn}的前n項和Tn． 【解答】解：（1）∵6Sn=an2+3an+2，∴6a1=a12+3a1+2，

解得a1=1或a1=2．∵an＞1，∴a1=2． 當n=2時，6S2=a22+3a2+2，即6（2+a2）=a22+3a2+2，解得a2=5或a2=﹣2（舍）． ∴等差數列{an}的公差d=a2﹣a1=3． ∴an=a1+（n﹣1）d=3n﹣1． 前n項和Sn=． （2）， 前n項和為Tn=b1+b2+b3+…+bn= = ∵bn＞0，∴，∴≤Tn＜． 【點評】本題考查了遞推式的應用、等差數列的定義與通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 22.（本小題滿分分）

如圖，在多面體中，△是等邊三角形，△是等腰直角三角形，

，平面平面，平面，點為的中點，

連接.

(Ⅰ)求證：∥平面；

(Ⅱ)若，求三棱錐的體積.參考答案：(Ⅰ)證明：∵△是等腰直角三角形，，點為的中點，

∴.

………1分

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面.………………2分

∵平面,

∴∥.………3分

∵平面,平面,

∴∥平面.………………4分(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知∥平面,

∴點到平面的距離等于點到平面的距離.

…5分

過作，垂足為點，

∵平面,平面,

∴.

………6分

∵平面,平面,，

∴平面.

………7分

∵，△是等邊三角形，

∴，，.………………9分

∴

………10分