山西省呂梁市東土峪中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

山西省呂梁市東土峪中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)A，B是函數(shù)f（x）=sin|ωx|與y=﹣1的圖象的相鄰兩個交點(diǎn)，若|AB|min=2π，則正實(shí)數(shù)ω=（）A． B．1 C． D．2參考答案：B【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)，得出|AB|min=T，從而求出ω的值．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin|ωx|=，ω為正數(shù)，∴f（x）的最小值是﹣1，如圖所示；設(shè)A，B是函數(shù)f（x）=sin|ωx|與y=﹣1的圖象的相鄰兩個交點(diǎn)，且|AB|min=T==2π，解得ω=1．故選：B．2.若偶函數(shù)滿足，則不等式的解集是A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.若a∈{1,2,3,5}，b∈{1,2,3,5}，則方程y＝x表示的不同直線條數(shù)為()A．11

B．12 C．13

D．14參考答案：C4.函數(shù)y=sin3x在（，0）處的切線斜率為（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】對應(yīng)思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，可得切線的斜率．【解答】解：函數(shù)y=sin3x的導(dǎo)數(shù)為y′=3cos3x，可得在（，0）處的切線斜率為3cosπ=﹣3，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)數(shù)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，則P到BC的距離是（）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.已知a，b，c，d是空間中的四條直線，若a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么()A．a(chǎn)∥b或c∥d

B．a(chǎn)，b，c，d中任意兩條都有可能平行C．a(chǎn)∥b，且c∥d

D．a(chǎn)，b，c，d中至多有兩條平行參考答案：A7.方程表示的曲線是(

)A.兩條射線和一個圓

B.一條直線和一個圓

C.一條射線和一個半圓

D.兩條射線和一個半圓參考答案：A略8.在等差數(shù)列{an}中，若a1+a2=4，a3+a4=12，則a5+a6=(

)A．12 B．16 C．20 D．24參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知結(jié)合（a1+a2），（a3+a4），（a5+a6）成等差數(shù)列求解．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，由a1+a2=4，a3+a4=12，得2（a3+a4）=（a1+a2）+（a5+a6），即2×12=4+（a5+a6），∴a5+a6=20．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計算題．9.已知，則下列不等式中正確的是A．

B．C．

D．參考答案：A10.曲線與直線圍成的平面圖形的面積為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】先作出直線與曲線圍成的平面圖形的簡圖，聯(lián)立直線與曲線方程，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)定積分即可求出結(jié)果.【詳解】作出曲線與直線圍成的平面圖形如下：由解得：或，所以曲線與直線圍成的平面圖形的面積為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的應(yīng)用，求圍成圖形的面積只需轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的定積分問題求解即可，屬于?？碱}型.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，向量在由單位長度為1的正方形組成的網(wǎng)格中則

▲

.參考答案：312.設(shè)銳角的面積為2，邊的中點(diǎn)分別為，為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為_____________．參考答案：13.定義：曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值稱為曲線到點(diǎn)的距離。已知曲線到點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的值為___________．參考答案：或

14.點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則到直線的距離的最小值是__.參考答案：15.函數(shù)的定義域?yàn)椋魸M足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在，使在上的值域?yàn)?

那么叫做閉函數(shù)，現(xiàn)有是閉函數(shù)，那么的取值范圍是

。參考答案：略16.甲、乙兩隊(duì)各有n個隊(duì)員，已知甲隊(duì)的每個隊(duì)員分別與乙隊(duì)的每個隊(duì)員各握手一次（同隊(duì)的隊(duì)員之間不握手），從這n2次的握手中任意取兩次．記事件A：兩次握手中恰有3個隊(duì)員參與．若事件A發(fā)生的概率P＜，則n的最小值是_____________．參考答案：2017.數(shù)列的前項(xiàng)組成集合(),從集合中任取個數(shù),其所有可能的個數(shù)的乘積的和為(若只取一個數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記.例如:當(dāng)時,.當(dāng)時,.則:(1)

;(2)的通項(xiàng)公式是

.參考答案：(1)63;(2).(1)當(dāng)時,,

,所以;(2)法一

不完全歸納法

由(1)問及題設(shè)知,,又易知,故;;

;;

所以26+196+496+315=1023,…觀察發(fā)現(xiàn),顯然其指數(shù)1,3,6,10,…,的通項(xiàng)為,故猜測.法二

歸納遞推法(其中為時可能的個數(shù)的乘積的和為).即,即.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，l為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)D在l上。（1）求證：“如果A、O、D三點(diǎn)共線，則直線DB與x軸平行”；（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.參考答案：（1）證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，y0），則直線OA的方程為

（y0≠0）

①

拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－

②聯(lián)立①②，可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為y＝－

③

（3分）因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)是（，0），所以直線AF的方程為y＝(x－)

④其中y≠p2.聯(lián)立y2＝2px與④，可得點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y＝－

⑤由③⑤可知，DB∥x軸.

當(dāng)y＝p2時，結(jié)論顯然成立.所以，直線DB平行于拋物線的對稱軸.（6分）（2）逆命題：如果DB與x軸平行，則A、O、D三點(diǎn)共線它是真命題，證明如下（8分）因?yàn)閽佄锞€y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（，0），所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x＝my＋.代入拋物線方程，得y2－2pmy－p2＝0.若記A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2是該方程的兩個根，所以y1y2＝－p2.（10分）因?yàn)镈B∥x軸，且點(diǎn)D在準(zhǔn)線x＝－上，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－，y2），故直線DO的斜率為k＝，即k也是直線OA的斜率，所以直線AD經(jīng)過原點(diǎn)O，即A、O、D三點(diǎn)共線.（12分）略19.把一個正方體的表面涂上紅色，在它的長、寬、高上等距離地各切三刀，則大正方體被分割成64個大小相等的小正方體，將這些小正方體均勻地攪混在一起，如果從中任取1個，求下列事件的概率（1）事件A＝“這個小正方體各個面都沒有涂紅色”（2）事件B＝“這個小正方體只有1個面涂紅色”（3）事件C＝“這個小正方體至少2個面涂紅色”參考答案：解：（1）在大正方體表面的小正方體沒有涂紅色共8個

3分

5分（2）在大正方體表面且不在棱上及頂點(diǎn)的小正方體只有1個面涂紅色，共24個

8分

10分（3）

13分20.（本小題滿分16分）如圖，橢圓與橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)均在軸上，且離心率相同．橢圓的長軸長為，且橢圓的左準(zhǔn)線被橢圓截得的線段長為，已知點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)．⑴求橢圓與橢圓的方程；⑵設(shè)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，若直線剛好平分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)滿足，則直線與直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．參考答案：⑴設(shè)橢圓方程為，橢圓方程為，則，∴，又其左準(zhǔn)線，∴，則∴橢圓方程為，其離心率為，

……3分∴橢圓中，由線段的長為，得,代入橢圓，得，∴，橢圓方程為；

……6分⑵，則中點(diǎn)為，∴直線為，……7分由，得或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

……10分⑶設(shè)，，則，，由題意，∴

……12分∴……14分∴，∴，即，∴直線與直線的斜率之積為定值，且定值為．

……16分21.已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．參考答案：（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用將所證不等式可變?yōu)樽C明：，利用基本不等式可證得，從而得到結(jié)論；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可將式轉(zhuǎn)化為，在取等條件一致的情況下，可得結(jié)論.【詳解】（1）

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即：（2），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號又，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號同時成立）又

【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式進(jìn)行不等式證明問題，考查學(xué)生對于基本不等式的變形和應(yīng)用能力，需要注意的是在利用基本不等式時需注意取等條件能否成立.22.（本題滿分14分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，離心率為，橢圓上的動點(diǎn)到直線的最小距離為2，延長至使得，線段上存在異于的點(diǎn)滿足.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅲ）求證：過直線上任意一點(diǎn)必可以作兩條直線與的軌跡相切，并且過兩切點(diǎn)的直線經(jīng)過定點(diǎn).參考答案：（1）依題意得，

…………………2分解得，∴……3分橢圓的方程為…………4分（2）解法1：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)重合時，點(diǎn)坐標(biāo)為和點(diǎn)，…5分當(dāng)不重合時，由，得.………6分由及橢圓的定義，，……7分所以為線段的垂直平分線，為線段的中點(diǎn)在中，，…………8分所以有.綜上所述，點(diǎn)的軌跡的方程是.………………9分解法2：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)重