山西省呂梁市積翠中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省呂梁市積翠中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，則下列各式正確的是A

B

C

D參考答案：D略2.已知，則sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B．C．﹣2D．2參考答案：A【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【分析】由由已知條件求出tanα

值，化簡sin2α﹣sinαcosα=，把tanα值代入運(yùn)算．【解答】解：∵，∴，∴tanα=2．∴sin2α﹣sinαcosα====，故選A．3.已知全集，，，則為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A,是不包括0,2的整數(shù)集,所以

.綜上所述,答案選擇A.4.在公差為4的正項(xiàng)等差數(shù)列中，與2的算術(shù)平均值等于與2的幾何平均值，其中

表示數(shù)列的前三項(xiàng)和，則為

（

）

A．38

B．40

C．42

D．44參考答案：A5.方程的兩根的等比中項(xiàng)是（

）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.已知向量則（）A.23

B.57

C.63

D.83參考答案：D7.設(shè)a=，則a，b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)=b D．不能確定參考答案：B【考點(diǎn)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．【解答】解：∵a=，∴0＜，，∴a＜b．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．8.若函數(shù)，則的值是(A)9

(B)7

(C)5

(D)3

參考答案：C略9.在△ABC中，已知，則C=（

）A.300

B.1500

C.450

D.1350參考答案：C10.在△ABC中，若，，，則b等于（

）A.3 B.4 C.5 D.6參考答案：D【分析】直接運(yùn)用正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理可知中：，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=2x﹣2﹣x，若對(duì)任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

．參考答案：（﹣3，+∞）

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】通過判定函數(shù)f（x）=2x﹣2﹣x）=2x﹣x在R上單調(diào)遞增、奇函數(shù)，脫掉”f“，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，分離參數(shù)求解．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=2x﹣2﹣x）=2x﹣x在R上單調(diào)遞增，又∵f（﹣x）=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函數(shù)，若對(duì)任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＞0恒成立，?對(duì)任意的x∈[1，3]，不等式f（x2+tx）＞f（﹣4+x）恒成立，?對(duì)任意的x∈[1，3]，x2+（t﹣1）x+4＞0?（t﹣1）x＞﹣x2﹣4?t﹣1＞﹣（x+，∵，∴t﹣1＞﹣4，即t＞﹣3．故答案為：（﹣3．+∞）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)，恒成立問題，分離參數(shù)法，屬于中檔題．12.在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC且AD=AA′=2BC．過A′，C，D三點(diǎn)的平面與BB′交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為CC′，A′D′的中點(diǎn)（如圖所示）給出以下判斷：①E為BB′的中點(diǎn)；②直線A′E和直線FG是異面直線；③直線FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，則平面ABF⊥平面A′CD；⑤幾何體EBC﹣A′AD是棱臺(tái)．其中正確的結(jié)論是．（將正確的結(jié)論的序號(hào)全填上）參考答案：①③④⑤【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】利用四棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面關(guān)系、面面關(guān)系定理對(duì)選項(xiàng)分別分析解答．【解答】解：對(duì)于①，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，∴平面EBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD與面EBC、平面A1D1DA的交線平行，∴EC∥A1D∴△EBC∽△A1AD，∴，∴E為BB1的中點(diǎn)；故①正確；對(duì)于②，因?yàn)镋，F(xiàn)都是棱的中點(diǎn)，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，所以EF∥A'D'，所以A'E，F(xiàn)G都在平面EFD'A'中；故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由②可得EF∥A'G，EF=A'G，所以四邊形A'EFG是平行四邊形，所以FG∥A'E，又A'E?平面A'CD中，F(xiàn)G?平面A'CD，所以直線FG∥平面A′CD正確；對(duì)于④，連接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四點(diǎn)共面，因?yàn)锳D⊥CD，AD'在底面的射影為AD，所以CD⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，BF?平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正確；對(duì)于⑤，由④得到，AB與D'F，DC交于一點(diǎn)，所以幾何體EBC﹣A′AD是棱臺(tái)．故⑤正確；故答案為：①③④⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三棱柱的性質(zhì)的運(yùn)用以及其中的線面關(guān)系和面面關(guān)系的判斷，比較綜合．13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．參考答案：函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．故答案為：．14.已知角θ的終邊在射線y=2x（x≤0）上，則sinθ+cosθ=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】G9：任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，直接求出sinθ和cosθ【解答】解：在射線y=2x（x≤0）上任取一點(diǎn)（﹣1，﹣2），∴r==，∴sinθ==，cosθ==，∴sinθ+cosθ=﹣，故答案為：．15.已知_______________參考答案：16.若2a=5b=10，則=．參考答案：1【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】首先分析題目已知2a=5b=10，求的值，故考慮到把a(bǔ)和b用對(duì)數(shù)的形式表達(dá)出來代入，再根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)以及同底對(duì)數(shù)和的求法解得，即可得到答案．【解答】解：因?yàn)?a=5b=10，故a=log210，b=log510=1故答案為1．17.三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐P－ABC的體積等于________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.根據(jù)條件求下列各函數(shù)的解析式：（1）已知f（x）是二次函數(shù)，若f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）．（2）已知，求f（x）（3）若f（x）滿足，求f（x）．參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】求函數(shù)解析式（1）若已知函數(shù)f（x）的類型，常采用待定系數(shù)法；（2）若已知f表達(dá)式，常采用換元法或采用湊合法；（3）若為抽象函數(shù)，常采用代換后消參法．【解答】解：（1）設(shè)f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），由于f（0）=0，得：f（x）=ax2+bx，又由f（x+1）=f（x）+x+1，∴a（x+1）2+b（x+1）=ax2+bx+x+1即ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1，∴，∴f（x）=；（2）設(shè)，∴f（u）=（u﹣1）2+2（u﹣1）=u2﹣1，（u≥1），∴f（x）=x2﹣1（x≥1）（3）用代x可得：，與聯(lián)列可消去得：f（x）=．【點(diǎn)評(píng)】抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了其他一些條件（如：定義域、經(jīng)過的特殊的點(diǎn)、解析遞推式、部分圖象特征等），它是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是與大學(xué)的一個(gè)銜接點(diǎn)．因無具體解析式，理解研究起來往往很困難．但利用函數(shù)模型往往能幫我們理清題意，尋找解題思路，從而方便快捷的解決問題．19.數(shù)列{滿足：

證明：（1）對(duì)任意為正整數(shù)；（2）對(duì)任意為完全平方數(shù).參考答案：證明：（1）由題設(shè)得且{嚴(yán)格單調(diào)遞增，將條件式變形得，

兩邊平方整理得

①

②

①－②得

③

由③式及可知，對(duì)任意為正整數(shù).……10分（2）將①兩邊配方，得。

④

記從而④式成立.

是完全平方數(shù).……20分20.已知設(shè)函數(shù)f（x）=loga（1+2x）﹣loga（1﹣2x）（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定義域；（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；（3）求使f（x）＞0的x的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)的定義域及其求法．【專題】定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于0列不等式組求解定義域．（2）利用定義判斷函數(shù)的奇偶性．（3）f（x）＞0，即loga（1+2x）﹣loga（1﹣2x）＞0，對(duì)底數(shù)a討論，求解x的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=loga（1+2x）﹣（loga（1﹣2x）（a＞0，a≠1）．其定義域滿足，解得：故得f（x）的定義域?yàn)閧x|}（2）由（1）可知f（x）的定義域?yàn)閧x|}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又∵f（﹣x）=loga（1﹣2x）﹣（loga（1+2x）=﹣f（x）∴f（x）為奇函數(shù)．（3）f（x）＞0，即loga（1+2x）﹣loga（1﹣2x）＞0，?loga（1+2x）＞loga（1﹣2x）當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式等價(jià)為：1+2x＞1﹣2x，解得：x＞0．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式等價(jià)為：1+2x＜1﹣2x，解得：x＜0．又∵f（x）的定義域?yàn)椋?，）．所以使f（x）＞0的x的取值范圍，當(dāng)a＞1時(shí)為（0，）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)為（，0）；【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的求法和奇偶性的運(yùn)用，比較基礎(chǔ)．21.解下列不等式：（1）（2）參考答案：（1）解：先將最高次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)：方程的根為不等式的解集為

……………5分（2）不等式等價(jià)于解得：

不等式的解集為

……………10分22.商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數(shù)是羊毛衫標(biāo)價(jià)的一次函數(shù)，標(biāo)價(jià)越高，購買人數(shù)越少．把購買人數(shù)為零時(shí)的最低標(biāo)價(jià)稱為無效價(jià)格，已知無效價(jià)格為每件300元．現(xiàn)在這種羊毛衫的成本價(jià)是100元/件，商場以高于成本價(jià)的價(jià)格（標(biāo)價(jià)）出售．問：（1）商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元？（2）通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結(jié)果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件多少元？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；一元二次不等式的應(yīng)用．【分析】（1）先設(shè)購買人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤為y元，列出函數(shù)y的解析式，最后利用二次函數(shù)的最值即可求得商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元即可；（2）由題意得出關(guān)于x的方程式，解得x值，從而即可解決商場要獲取最大利潤的75%，每件標(biāo)價(jià)為多少元．【