山西省呂梁市羅村中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山西省呂梁市羅村中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的值等于（

）A．54

B．45

C．36

D．27參考答案：A略2.如果,那么下列不等式成立的是

（）A． B． C． D．參考答案：D略3.已知函數(shù)f（x）=x﹣存在單調(diào)遞減區(qū)間，且y=f（x）的圖象在x=0處的切線l與曲線y=ex相切，符合情況的切線l（）A．有3條 B．有2條 C．有1條 D．不存在參考答案：D【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，討論a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切線l的方程，再假設(shè)l與曲線y=ex相切，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得x0﹣﹣1=0，設(shè)h（x）=exx﹣ex﹣1，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判斷不存在．【解答】解：函數(shù)f（x）=x﹣的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1﹣e，依題意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0時(shí)，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）無(wú)解，不符合題意；②a＞0時(shí)，f′（x）＞0即a＞e，lna＞，x＜alna符合題意，則a＞0．易知，曲線y=f（x）在x=0處的切線l的方程為y=（1﹣）x﹣1．假設(shè)l與曲線y=ex相切，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得，設(shè)h（x）=exx﹣ex﹣1，則h′（x）=exx，令h′（x）＞0，則x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，則，而a＞0時(shí)，，與矛盾，所以不存在．故選：D．4.設(shè)，，，則（）．A．B．C．D．參考答案：D略5.已知α，β是相異兩平面，m，n是相異兩直線，則下列命題中不正確的是（）A．若m∥n，m⊥α，則n⊥α B．若m⊥α，m⊥β，則α∥βC．若m∥α，α∩β=n，則m∥n D．若m⊥α，m?β，則α⊥β參考答案：C【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】在A中，由直線與平面垂直的判定定理得n⊥α；在B中，由平面與平面平行的判定定理得α∥β；在C中，m與n平行或異面；在D中，由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：∵在A中：若m∥n，m⊥α，則由直線與平面垂直的判定定理得n⊥α，故A正確；在B中：若m⊥α，m⊥β，則由平面與平面平行的判定定理得α∥β，故B正確；在C中：若m∥α，α∩β=n，則m與n平行或異面，故C錯(cuò)誤；在D中：若m⊥α，m∩β，則由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．6.在下列命題中：①若、共線,則、所在的直線平行；②若、所在的直線是異面直線,則、一定不共面；③若、、三向量?jī)蓛晒裁?則、、三向量一定也共面；④已知三向量、、,則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為=x+y+z.其中真命題的個(gè)數(shù)為

(

)A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：A7.某班級(jí)有50名學(xué)生，現(xiàn)采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學(xué)生中抽出10名，將這50名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)1～50號(hào)，并分組，第一組1～5號(hào)，第二組6～10號(hào)，，第十組46～50號(hào)，若在第三組中抽得號(hào)碼為12號(hào)的學(xué)生，則在第八組中抽得號(hào)碼為______的學(xué)生.A.36

B.37

C.41

D.42參考答案：B8.函數(shù)f(x)=log2(1?x)的圖象為參考答案：A9.，為平面向量，已知，，則，夾角的余弦值等于（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入即可求得夾角的余弦值?！驹斀狻扛鶕?jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，設(shè)，向量的夾角為則所以選A【點(diǎn)睛】本題考查了利用坐標(biāo)求平面向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題。10.將參數(shù)方程化為普通方程為（

）A

B

C

D

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在計(jì)算時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫第項(xiàng)：，由此得，.相加得.類比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算，其結(jié)果為

▲

．參考答案：略12.如圖6：兩個(gè)等圓外切于點(diǎn)C，O1A，O1B切⊙O2于A、B兩點(diǎn)，則∠AO1B=

。參考答案：60°略13.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是___

__(寫出所有正確命題的編號(hào)).①當(dāng)時(shí),S為四邊形;②當(dāng)時(shí),S為六邊形;③當(dāng)時(shí),S與的交點(diǎn)R滿足;④當(dāng)時(shí),S為等腰梯形;⑤當(dāng)時(shí),S的面積為.參考答案：略14.設(shè)橢圓(a＞b＞0)恒過(guò)定點(diǎn)A(1，2)，則橢圓的中心到準(zhǔn)線距離的最小值是

．參考答案：略15.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，若z=x+y的最小值是﹣3，則z的最大值為

．參考答案：6【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求得最小值，得到k值，再把最大值時(shí)最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（k，k），聯(lián)立，解得B（﹣2k，k），由z=x+y，得y=﹣x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=﹣x+z過(guò)B（﹣2k，k）時(shí)，直線在y軸上的截距最小為﹣k=﹣3，則k=3．當(dāng)直線y=﹣x+z過(guò)A（k，k）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為2k=6．故答案為：6．16.過(guò)點(diǎn)、的直線的斜率為______________．參考答案：2略17.設(shè)復(fù)數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若的實(shí)部為2，則的虛部為

_.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2+xsinx+cosx+1（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（a，f（a））處的切線是y=b，求a與b的值；（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程即可得到a=0，b=2；（Ⅱ）求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，由題意可得b＞2．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x2+xsinx+cosx+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+sinx+xcosx﹣sinx=2x+xcosx，即有在點(diǎn)（a，f（a））處的切線斜率為2a+acosa，由切線為y=b，可得2a+acosa=0，a2+asina+cosa+1=b，解得a=0，b=2；（Ⅱ）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+xcosx=x（2+cosx），當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有x=0處取得極小值，且為最小值2．曲線y=f（x）與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可得b＞2．即為b的取值范圍是（2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19.已知函數(shù)，，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：，恒成立.參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【分析】（1）可求得，分別在、、、四種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為：，令，，利用導(dǎo)數(shù)求得和，可證得，從而證得結(jié)論.【詳解】（1），①當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減②當(dāng)時(shí)，和時(shí)，；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減③當(dāng)時(shí)，在上恒成立在上單調(diào)遞增④當(dāng)時(shí)，和時(shí)，；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）對(duì)，恒成立即為：，等價(jià)于：令，則時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增令，則時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上可得：，即在上恒成立對(duì)，恒成立【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的求解.解決本題中的恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺C不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)之間最值的比較，通過(guò)最小值與最大值的大小關(guān)系得到結(jié)論.20.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）、B（1，﹣），且圓心C在直線y=x上．（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)（1，）的直線l截圓所得弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】（1）求出圓心坐標(biāo)與半徑，即可求圓C的方程；（2）設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離以及半徑半弦長(zhǎng)求解即可．【解答】解：（1）AB的中點(diǎn)坐標(biāo)（，），AB的斜率為．可得AB垂直平分線為x+6y=0，與x﹣y=0的交點(diǎn)為（0，0），圓心坐標(biāo)（0，0），半徑為2，所以圓C的方程為x2+y2=4；（2）直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，又直線l過(guò)（1，），∴直線l的方程為y﹣=k（x﹣1），即y=kx+﹣k，則圓心（0，0）到直線的距離d=，又圓的半徑r=2，截得的弦長(zhǎng)為2，則有，解得：k=﹣，則直線l的方程為y=﹣x+．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，滿足題意．直線l的方程：x=1或y=﹣x+．21.已知過(guò)點(diǎn)A(1,1)且斜率為-m（m>0）的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q,過(guò)P、Q作直線2x+y=0的垂線，垂足為R、S,求四邊形PRSQ面積的最小值。參考答案：22.某化工廠擬建一個(gè)下部為圓柱，上部為半球的容器（如圖，圓柱高為h，半徑為r，不計(jì)厚度，單位：米），按計(jì)劃容積為72π立方米，且h≥2r，假設(shè)其建造費(fèi)用僅與表面積有關(guān)（圓柱底部不計(jì)），已知圓柱部分每平方米的費(fèi)用為2千元，半球部分每平方米4千元，設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元．（Ⅰ）求y關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系，并求其定義域