李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定

4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性引言經(jīng)典控制中的穩(wěn)定性即判據(jù)適用于線性時(shí)不變系統(tǒng)李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性，內(nèi)部穩(wěn)定，還可用系統(tǒng)綜合1892年Lyapunov適用于各類系統(tǒng):線性,非線性李亞普諾夫穩(wěn)定性理論基本內(nèi)容第一法（間接法）第二法（直接法）為什么要引入李穩(wěn)定性？（有哪些特點(diǎn)）它的主要內(nèi)容有哪些？4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性第一方法(間接法)：

對(duì)線性系統(tǒng)求解特征方程對(duì)非線性系統(tǒng)，首先線性化，在求解特征方程第二方法(直接法)：

不求解特征方程，直接根據(jù)李氏函數(shù)進(jìn)行判斷李雅普諾夫函數(shù)最優(yōu)系統(tǒng)設(shè)計(jì)最優(yōu)濾波自適應(yīng)控制4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性分類①穩(wěn)定②漸近穩(wěn)定③大范圍漸近穩(wěn)定④不穩(wěn)定范數(shù)，平衡狀態(tài)4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性范數(shù)（2范數(shù)）定義：狀態(tài)空間中兩個(gè)向量的距離x范數(shù)狀態(tài)空間幾何意義4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性平衡狀態(tài)齊次狀態(tài)方程一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)

平衡狀態(tài)線性系統(tǒng)4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性例如：求下列系統(tǒng)的平衡狀態(tài)唯一平衡狀態(tài),系統(tǒng)的穩(wěn)定性

平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性1穩(wěn)定（1）定義對(duì)于給定的系統(tǒng)，如任意給定實(shí)數(shù)ε>0，都存在另一依賴于ε

和t0的實(shí)數(shù)δ(ε,t0)>0，使當(dāng)||x0-xe||≤δ時(shí)，從任意初態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)Φ(t;x0,t0)都能滿足不等式：

||Φ(t;x0,t0)-xe||≤ε,

那么系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。（2）幾何含義εδxex0（3）一致穩(wěn)定

若對(duì)取自時(shí)間定義區(qū)間的任一初始時(shí)刻t0,對(duì)任給實(shí)數(shù)ε>0都存在與初始時(shí)刻t0

無關(guān)的實(shí)數(shù)δ（ε）>0,使相應(yīng)受擾運(yùn)動(dòng)Φ(t;x0,t0)

滿足||Φ(t;x0,t0)-xe||≤ε，則稱平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下的一致穩(wěn)定。（4）時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定屬性對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，不管線性系統(tǒng)還是非線性系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)還是離散系統(tǒng)，李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定和一致穩(wěn)定必為等價(jià)。也即時(shí)不變系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定，則xe必為李雅普諾夫意義下一致穩(wěn)定。2漸近穩(wěn)定（1）定義對(duì)于給定的系統(tǒng)，如任意給定實(shí)數(shù)ε>0，都存在另一實(shí)數(shù)δ(ε,t0)>0和任給實(shí)數(shù)，都對(duì)應(yīng)地存在實(shí)數(shù)，使當(dāng)||x0-xe||≤δ

時(shí)，從任意初態(tài)出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)Φ(t;x0,t0)都能滿足：

||Φ(t;x0,t0)-xe||≤ε且

||Φ(t;x0,t0)-xe||≤

μ

那么系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。（2）幾何含義εδxex0（3）漸近穩(wěn)定的等價(jià)定義（i）由任一初始狀態(tài)x0

滿足||x0–xe||≤δ出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)Φ(t;x0,t0)相對(duì)于平衡狀態(tài)xe=0，對(duì)所有均為有界。（ii）受擾運(yùn)動(dòng)相對(duì)于平衡狀態(tài)xe=0滿足漸近性,當(dāng)u趨近于零，即成立（4）一致漸近穩(wěn)定若對(duì)取自時(shí)間定義區(qū)間的任意初始時(shí)刻t0，由任給實(shí)數(shù)ε>0都存在與初始時(shí)刻t0無關(guān)的實(shí)數(shù)δ(ε)>0，由實(shí)數(shù)δ(ε)和任給實(shí)數(shù)都存在與初始時(shí)刻t0無關(guān)的實(shí)數(shù),使得相應(yīng)受擾運(yùn)動(dòng)相對(duì)于平衡狀態(tài)為有界且滿足

則稱平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定。(5)時(shí)不變系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定屬性對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，不管線性系統(tǒng)還是非線性系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)還是離散系統(tǒng)，平衡狀態(tài)xe的漸近穩(wěn)定和一致漸近穩(wěn)定為等價(jià)。必要條件是在整個(gè)狀態(tài)空間只有一個(gè)平衡狀態(tài).對(duì)于線性系統(tǒng),不管是時(shí)不變系統(tǒng)還是時(shí)變系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)還是離散系統(tǒng)，如果平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的,則必然也是大范圍漸近穩(wěn)定.當(dāng)系統(tǒng)滿足漸近穩(wěn)定,而且從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸近穩(wěn)定性,則這種平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定.3大范圍漸近穩(wěn)定4不穩(wěn)定（1）定義對(duì)于給定的系統(tǒng)，如任意給定實(shí)數(shù)ε>0，都存在另一實(shí)數(shù)δ(ε,t0)>0，使當(dāng)||x0-xe||≤δ

時(shí)，總存在一個(gè)從初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)Φ(t;x0,t0)滿足

||Φ(t;x0,t0)-xe||>ε

那么系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。（2）幾何含義εδxex0應(yīng)注意的幾個(gè)問題對(duì)線性系統(tǒng)來講，任意一個(gè)孤立的平衡狀態(tài)都可以通過坐標(biāo)變化轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。因此分析坐標(biāo)原點(diǎn)的穩(wěn)定性具有代表意義。對(duì)非線性系統(tǒng)來講，如果具有多個(gè)平衡狀態(tài)，各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性有可能不同。因此