根軌跡分析法

4根軌跡分析法根軌跡法是一種圖解方法，它是古典控制理論中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一。由于根軌跡圖直觀地描述了系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)）在s平面上的分布，因此，用根軌跡法分析自動(dòng)控制系統(tǒng)十分方便，在工程實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用。14根軌跡法分析

4.1概述

4.2繪制根軌跡的基本法則

4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

4.3廣義根軌跡24.1概述1.根軌跡的概念2.閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系3.根軌跡方程34.1概述1.根軌跡的概念R(s)C(s)-圖4.1系統(tǒng)方框圖例已知二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4.1所示，試分析開環(huán)增益K的變化對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的影響。特征方程式：閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征根：44.1概述1.根軌跡K=0時(shí)，s1=0，s2=－1，對(duì)應(yīng)開環(huán)極點(diǎn)。

0<K<1/4時(shí)，s1、s2都是負(fù)實(shí)根，如s1=－0.25，s2=－0.75。

K=1/4時(shí)，s1=s2=－1/2，兩個(gè)相等負(fù)實(shí)根。K：0→∞0-1j0.5jωσK=0-j0.5圖4-2根軌跡K=0.1875K=0.25K=0.5

根軌跡：它是指系統(tǒng)中某一參數(shù)在可能的取值范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的變化軌跡。

1/4<K<∞時(shí)，s1,s2為一對(duì)共軛復(fù)根；K=1/2時(shí)，s1,2=－1/2±j0.5。54.1概述G(s)H(s)R(s)C(s)-圖4.3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2.閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系64.1概述

2.閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系閉環(huán)零點(diǎn)由前向通道的零點(diǎn)和反饋通道的極點(diǎn)構(gòu)成。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)及開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益有關(guān)。根軌跡增益與開環(huán)放大倍數(shù)相差一個(gè)比例系數(shù)。74.1概述

3.根軌跡方程----繪制根軌跡的依據(jù)特征方程根軌跡方程開環(huán)傳遞函數(shù)幅值條件相角條件k為整數(shù)G(s)H(s)R(s)C(s)-圖4.3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖84.1概述

3.根軌跡方程幅值條件相角條件相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充要條件。利用相角條件確定根軌跡上某點(diǎn)的位置；利用幅值條件確定根軌跡上某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根軌跡增益。滿足根軌跡方程的s值為閉環(huán)極點(diǎn)，必然在根軌跡上；滿足相角條件的點(diǎn)必然在根軌跡上。94.2繪制根軌跡的基本法則法則一起始點(diǎn)、終止點(diǎn)及分支數(shù)法則二根軌跡的對(duì)稱性法則三實(shí)軸上的根軌跡法則四根軌跡的漸進(jìn)線法則五根軌跡的分離點(diǎn)法則六根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角)法則七根軌跡的分離角與會(huì)合角法則八根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及臨界增益值法則九閉環(huán)極點(diǎn)的和(180o根軌跡，K*：0→∞)104.2繪制根軌跡的基本法則法則一起始點(diǎn)、終止點(diǎn)及分支數(shù)若系統(tǒng)有n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)、m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，則根軌跡的分支數(shù)有n條。它們起始于開環(huán)極點(diǎn)，有m條終止于開環(huán)零點(diǎn)，尚有(n-m)條終止于無窮遠(yuǎn)處零點(diǎn)。根軌跡方程起始點(diǎn)K*→0s

→pi(n個(gè)開環(huán)極點(diǎn))終止點(diǎn)K*→∞s

→zj(m個(gè)開環(huán)零點(diǎn))(n-m個(gè)無窮大零點(diǎn))114.2繪制根軌跡的基本法則法則二根軌跡的對(duì)稱性根軌跡是連續(xù)的且對(duì)稱于實(shí)軸。當(dāng)根軌跡增益從0→∞連續(xù)變化時(shí)，特征方程的根也將連續(xù)改變，故系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的。由于閉環(huán)傳遞函數(shù)為有理分式函數(shù)，所以閉環(huán)極點(diǎn)只有實(shí)根和共軛復(fù)根兩類，這些極點(diǎn)在s平面上的分布是對(duì)稱于實(shí)軸的。實(shí)軸上的根軌跡只能是那些在其右側(cè)的實(shí)數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)的線段。法則三實(shí)軸上的根軌跡0jωσ圖4.5某系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖p1p2p3p4z1s1θ2θ1124.2繪制根軌跡的基本法則法則四根軌跡的漸進(jìn)線當(dāng)K*→∞時(shí)，有(n-m)條根軌跡分支沿著漸進(jìn)線趨于無窮遠(yuǎn)處。漸進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和與實(shí)軸正方向的夾角分別為：134.2繪制根軌跡的基本法則法則五根軌跡的分離點(diǎn)幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開的點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)(或會(huì)合點(diǎn)，為了簡(jiǎn)化可統(tǒng)稱為分離點(diǎn))。分離點(diǎn)的可能之處可由下列微分方程解出：(極值法)或分離點(diǎn)的坐標(biāo)d可由如下方程解出：(試探法)如果求得的解滿足特征方程或相角條件，則可判定其為分離點(diǎn)。144.2繪制根軌跡的基本法則法則五根軌跡的分離點(diǎn)確定根軌跡幾個(gè)分支的分離點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上是求閉環(huán)特征方程式的幾重根。將特征方程寫成在重根處應(yīng)滿足將K*表示成復(fù)變量s的函數(shù)154.2繪制根軌跡的基本法則例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。解：開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-1，p3=-2；無開環(huán)零點(diǎn)。實(shí)軸上的根軌跡(-∞，-2]，[-1，0]。漸進(jìn)線n=3，m=0，有三條漸進(jìn)線。交點(diǎn)相角164.2繪制根軌跡的基本法則解得分離點(diǎn)-3-210-10-1-212174.2繪制根軌跡的基本法則法則六根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角)起始角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸之間的夾角稱為起始角。

終止角：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸之間的夾角稱為終止角。184.2繪制根軌跡的基本法則法則六根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角)在pl附近的根軌跡上取一點(diǎn)s1，則s1滿足根軌跡的相角條件，即過pl和s1作割線，則割線與正實(shí)軸之間的夾角為s1→pl時(shí)，∠(s1-pl)→θpl，則0jωσ圖4.7根軌跡起始角p1plp3z1s1θpl194.2繪制根軌跡的基本法則法則七根軌跡的分離角與會(huì)合角根軌跡離開(進(jìn)入)重極點(diǎn)處的分離角(會(huì)合角)按等角性原則來確定，即分離點(diǎn)處分離與會(huì)合的根軌跡各個(gè)分支之間的夾角等于180o/l，l為分離或會(huì)合的根軌跡條數(shù)。方法一：特征方程分解法。將s=jω代入特征方程解得交點(diǎn)與臨界增益值。方法二：勞斯判據(jù)法。令勞斯表出現(xiàn)全零行，但第一列符號(hào)不變。這時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。所求出的純虛根位于根軌跡與虛軸的交點(diǎn)上。法則八根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及臨界增益值204.2繪制根軌跡的基本法則法則九閉環(huán)極點(diǎn)的和開環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)n>m時(shí)式中si為閉環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)n-m≥2時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和，且為常數(shù)。即當(dāng)K*變化時(shí)，在s平面上一部分根軌跡向左移動(dòng)，則另一部分根軌跡必然向右移動(dòng)。214.2繪制根軌跡的基本法則例4-9已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制K*從

0→∞變化時(shí)系統(tǒng)特征方程的根軌跡。解：開環(huán)極點(diǎn)：p1=0，p2=-3，p3,4=-1±j

；無開環(huán)零點(diǎn)；四條根軌跡分支。實(shí)軸上的根軌跡[-3，0]。漸進(jìn)線n=3，m=0，有三條漸進(jìn)線。交點(diǎn)相角224.2繪制根軌跡的基本法則解得那么分離點(diǎn)∠(s2-p1)+∠(s2-p2)+∠(s2-p3)+∠(s2-p4)=153.3o+9.1o-66.6o+78.6o=174.4o由于s2不滿足相角條件，故s2不是根軌跡上的點(diǎn)，不是分離點(diǎn)。0jωσS平面s2p1p2p3p49.1o153.3o-66.6o78.6o由特征方程求得234.2繪制根軌跡的基本法則在分離點(diǎn)s1處各根軌跡之間的夾角為180o/2=90o，會(huì)合角為0o、180o，故分離角為±90o。根軌跡在p3處的起始角φp3=(2k+1)π+(-135o-90o-26.6o)=-71.6o與虛軸的交點(diǎn)及臨界增益值：采用勞斯判據(jù)。閉環(huán)特征方程為或勞斯表s418K*s356s234/5K*s1(204-25K*)/34s0K*j1.1-j1.1p1

p2p3p4-1.25244.2繪制根軌跡的基本法則令勞斯表s1行的首項(xiàng)為零，求得K*=8.16，根據(jù)s2行的系數(shù)寫出輔助方程令s=jω，K*=8.16，代入上式求得ω=±1.1。與虛軸的交點(diǎn)為±j1.1，對(duì)應(yīng)的K*=8.16。j1.1-j1.1p1

p2p3p4-1.25根軌跡如右圖所示。254.3廣義根軌跡主要根軌跡：指0≤K*<∞時(shí)的根軌跡(常規(guī)根軌跡、180o根軌跡、負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡、正參數(shù)根軌跡)。輔助根軌跡：指-∞<K*≤0時(shí)的根軌跡(補(bǔ)根軌跡、0o根軌跡、正反饋系統(tǒng)根軌跡、負(fù)參數(shù)根軌跡)。參數(shù)根軌跡：系統(tǒng)中變化的不是增益，而是其它參數(shù)變化時(shí)的根軌跡。根軌跡簇：多個(gè)參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。延遲系統(tǒng)的根軌跡：具有延遲環(huán)節(jié)時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。廣義根軌跡……264.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡2.多回路系統(tǒng)根軌跡3.正反饋回路的根軌跡274.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡有時(shí)需要討論系統(tǒng)中的參數(shù)，如某個(gè)微分或積分時(shí)間常數(shù)，反饋系數(shù)或校正環(huán)節(jié)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的影響。這時(shí)，需繪制除開環(huán)增益之外的其它參數(shù)變化時(shí)的根軌跡，稱為系統(tǒng)的參變量根軌跡或參數(shù)根軌跡。

參數(shù)根軌跡的繪制：利用等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，應(yīng)用常規(guī)根軌跡的繪制法則進(jìn)行繪制。等效的含義是指與原系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)極點(diǎn)。而閉環(huán)零點(diǎn)通常則不同，必須由原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)確定。284.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡原系統(tǒng)的特征方程為則等效開環(huán)傳遞函數(shù)為將上式整理成如下形式按常規(guī)根軌跡的繪制方法，繪制出α變化時(shí)等效系統(tǒng)的根軌跡，也即原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。一般說，只要所論參數(shù)是線性地出現(xiàn)在閉環(huán)特征方程中，則總能把方程式寫成不含可變參數(shù)的多項(xiàng)式加上可變參數(shù)和另一多項(xiàng)式的乘積，然后將不含參數(shù)的多項(xiàng)式除方程式兩邊即可求等效開環(huán)傳遞函數(shù)。294.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡例4.10已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-12所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求Ta由0→∞連續(xù)變化時(shí)的閉環(huán)根軌跡。51+TasR(s)C(s)-圖4.12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖304.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡原系統(tǒng)特征方程即可改寫為新系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為式中Ta*

=Ta相當(dāng)于新系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。Ta變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。314.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡圖4.14Ta變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡∞←TaTa=0Ta=1.8

Ta變化反映了系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。當(dāng)Ta很小時(shí)，一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)離虛軸很近，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)有強(qiáng)烈的振蕩，平穩(wěn)性很差。324.3廣義根軌跡1.參數(shù)根軌跡

當(dāng)Ta加大時(shí)，兩閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸遠(yuǎn)，靠近實(shí)軸，系統(tǒng)的阻尼加強(qiáng)，振蕩減弱，提高了平穩(wěn)性。

當(dāng)Ta再加大時(shí)，兩閉環(huán)極點(diǎn)變?yōu)閷?shí)數(shù)，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)具有非周期性?！蕖鸗aTa=0Ta=1.8334.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用1.閉環(huán)零極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響2.暫態(tài)響應(yīng)性能分析3.增加開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)根軌跡形狀的影響344.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用1.閉環(huán)零極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響利用根軌跡得到閉環(huán)零極點(diǎn)在s平面的分布情況，就可以寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，進(jìn)行系統(tǒng)性能分析。下面以系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為例，考查閉環(huán)零極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律。354.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用1.閉環(huán)零極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)其中，A0、Ai取決于系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)的分布。閉環(huán)傳遞函數(shù)364.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用1.閉環(huán)零極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響(1)穩(wěn)定性欲使系統(tǒng)穩(wěn)定工作，系統(tǒng)的根軌跡必須位于s平面的左半部。(2)運(yùn)動(dòng)形態(tài)設(shè)系統(tǒng)不存在閉環(huán)偶極子，閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根軌跡位于實(shí)軸上，則對(duì)應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)一定是單調(diào)的；閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)是有振蕩的。(3)平穩(wěn)性欲使系統(tǒng)響應(yīng)平穩(wěn)，系統(tǒng)的閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的阻尼角應(yīng)盡可能地小。兼顧系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼角一般取45o左右。(4)快速性欲使系統(tǒng)具有好的響應(yīng)快速性，閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離虛軸，或用閉環(huán)零點(diǎn)與虛軸附近的閉環(huán)極點(diǎn)構(gòu)成閉環(huán)偶極子。374.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用2.暫態(tài)響應(yīng)性能分析閉環(huán)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)確定，而閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)可由根軌跡法確定。當(dāng)系統(tǒng)存在一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)時(shí)，可以用低階系統(tǒng)來近似估算高階系統(tǒng)的暫態(tài)性能。384.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用2.暫態(tài)響應(yīng)性能分析例4.15已知某天線伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4.25所示，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能。θi(t)θo(t)-圖4.25伺服系統(tǒng)方框圖KeKfGm(s)n誤差檢測(cè)裝置放大器伺服電機(jī)齒輪裝置θe(t)394.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用2.暫態(tài)響應(yīng)性能分析(1)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解作根軌跡圖如圖所示。-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β(2)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)當(dāng)Kf=80時(shí)，由根軌跡圖可得系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)。設(shè)s11=-1.53+jωdωd8.08.28.348.358.368.388.4K*66.369.671.972.072.272.672.9利用幅值條件，通過試探法求得閉環(huán)極點(diǎn)為s11=-1.53+j8.35s12=-1.53-j8.35404.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用2.暫態(tài)響應(yīng)性能分析s11=-1.53+j8.35s12=-1.53-j8.35計(jì)算出性能指標(biāo)為-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β414.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用2.暫態(tài)響應(yīng)性能分析-3.050-j2-j4-j6-j8j2j4j6j8jωσs12s11s21s22β要求阻尼比ζ=0.32，試求放大器增益與性能指標(biāo)。42sys3=tf([1],[15860]);rlocus(sys3)4.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用2.暫態(tài)響應(yīng)性能分析例設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡法，并分析K*=4時(shí)系統(tǒng)的性能。解(1)作根軌跡圖如圖所示。

(2)根據(jù)幅值條件確定系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。434.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用2.暫態(tài)響應(yīng)性能分析根據(jù)根軌跡的一些特殊點(diǎn)(如分離點(diǎn)、與虛軸交點(diǎn))確定試探范圍。s-1.8-1.9-2.0-2.1-2.2-2.3-2.4-2.5-2.6-2.7K*3.543.784.004.184.294.334.264.063.703.15當(dāng)K*=4時(shí)，用試探法求得：s1=-2s2=-2.52當(dāng)K*=4時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為負(fù)實(shí)數(shù)，而另兩個(gè)則為共軛復(fù)數(shù)。0-3-2.3(K*=4.35)444.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用2.暫態(tài)響應(yīng)性能分析

特征多項(xiàng)式為用長(zhǎng)除法得由s2+0.48s+0.79=0解得另兩個(gè)閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)為：S3,4=-0.24±j0.86(3)分析系統(tǒng)性能暫態(tài)性能s1和s2的實(shí)部分別為復(fù)數(shù)極點(diǎn)實(shí)部的8.3倍和10.5倍，則系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為由主導(dǎo)極點(diǎn)S3,4所決定的二階系統(tǒng)。454.4根軌跡在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用2.暫態(tài)響應(yīng)性能