概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第4章1節(jié)

分布函數(shù)及其密度無疑是描述隨機(jī)變量概率規(guī)律的最有力工具，尤其是它具有明確的概率含義，故運(yùn)用分布函數(shù)可方便地解決許多與隨機(jī)變量有關(guān)的概率問題.

但是，在今后的某些問題中，分布函數(shù)又表現(xiàn)出某些不足.例如：

（1）分布函數(shù)本身的分析性質(zhì)不太好，它只是一個(gè)單邊連續(xù)的有界非降函數(shù).

（2）獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布函數(shù)等于各分布函數(shù)的卷積，這在計(jì)算上帶來不少麻煩.

數(shù)字特征也只反映了概率分布的某些側(cè)面.下面介紹的特征函數(shù)，既能完全決定分布函數(shù)，又具有良好的分析性質(zhì).第四章特征函數(shù)與母函數(shù)§4.1一維特征函數(shù)的定義及其性質(zhì)特征函數(shù)是處理許多概率論問題的有力工具.它能把尋求獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換成乘法運(yùn)算.它能把求分布的各階原點(diǎn)矩(積分運(yùn)算)轉(zhuǎn)換成微分運(yùn)算.它能把尋求隨機(jī)變量序列的極限分布轉(zhuǎn)換成一般的函數(shù)極限問題.它能完全決定分布函數(shù).它具有良好的分析性質(zhì)．

為了定義特征函數(shù)，我們需要拓廣一下隨機(jī)變量的概念，引進(jìn)復(fù)隨機(jī)變量.定義如果與都是概率空間上的實(shí)值隨機(jī)變量，則稱為復(fù)隨機(jī)變量.

對(duì)復(fù)隨機(jī)變量的研究本質(zhì)上是對(duì)實(shí)二維隨機(jī)變量的研究.

如果二維隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則稱復(fù)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立.

定義復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為

對(duì)于復(fù)隨機(jī)變量，可平行地定義或得到一系列結(jié)果.例如:(2)若是相互獨(dú)立的，則又如，若是一個(gè)博雷爾可測函數(shù)，而則這里常用歐拉公式

以后，隨時(shí)引用這類結(jié)果而不再加以說明.定義若實(shí)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則稱

為的特征函數(shù)

顯然特征函數(shù)只與分布函數(shù)有關(guān)，因此又稱某一分布函數(shù)的特征函數(shù).(characteristicfunction).離散情形與連續(xù)情形下的特征函數(shù)設(shè)連續(xù)型r.v.的密度函數(shù)為

(x),則其特征函數(shù)為同時(shí)我們注意到，連續(xù)型隨機(jī)變量的特征函數(shù)

(t)是密度函數(shù)(x)的傅立葉變換.

一般情況下的特征函數(shù)可以看作是這種傅立葉變換的推廣.傅立葉變換是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具，它在許多數(shù)學(xué)分支中都起了重大作用.常見分布的特征函數(shù)【退化分布】【二項(xiàng)分布】【0-1分布】【泊松分布】【均勻分布】【標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布】即【指數(shù)分布】特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1證明性質(zhì)2證明【正態(tài)分布】證明性質(zhì)3

特征函數(shù)在(-,)上一致連續(xù).性質(zhì)4證明此性質(zhì)為特征函數(shù)的非負(fù)定性.波赫納-辛欽定理若函數(shù)連續(xù),非負(fù)定且,則必為特征函數(shù).

性質(zhì)5令t=0即可證明此性質(zhì).關(guān)于廣義積分的求導(dǎo)，這是因?yàn)樽C明應(yīng)用可以利用特征函數(shù)得到隨機(jī)變量的各階矩由上述性質(zhì)可知，特征函數(shù)(t)的泰勒展開式為：例反演