山西省呂梁市汾州中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

山西省呂梁市汾州中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某實(shí)心幾何體是用棱長(zhǎng)為1cm的正方體無(wú)縫粘合而成，其三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(

)A．

B．

C.

D．參考答案：D2.（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D，選D.3.設(shè)為等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，，則＝（

）A．10B．9C．－8D．－5參考答案：A由，得，故.4.下列各式錯(cuò)誤的是（）A．30.8＞30.7 B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1 D．lg1.6＞lg1.4參考答案：C【考點(diǎn)】不等式比較大?。緦ｎ}】計(jì)算題．【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的增減性進(jìn)行選擇．【解答】解：A、∵y=3x，在R上為增函數(shù)，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正確；B、∵y=log0.5x，在x＞0上為減函數(shù)，∵0.4＜0.6，∴l(xiāng)og0..50.4＞log0..50.6，故B正確；C、∵y=0.75x，在R上為減函數(shù)，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C錯(cuò)誤；D、∵y=lgx，在x＞0上為增函數(shù)，∵1.6＞1.4，∴l(xiāng)g1.6＞lg1.4，故D正確；故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．5.在下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小；②復(fù)數(shù)z=i﹣1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；③若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x=±1；④若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0，則z1=z2=z3．A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：A【考點(diǎn)】虛數(shù)單位i及其性質(zhì)；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】舉反例說(shuō)明①錯(cuò)誤；求出復(fù)數(shù)z=i﹣1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)說(shuō)明②錯(cuò)誤；由（x2﹣1）+（x2+3x+2）i的實(shí)部等于0且虛部不等于0說(shuō)明③錯(cuò)誤；舉反例說(shuō)明④錯(cuò)誤．【解答】解：對(duì)于①，若兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，則可以比較大小，命題①錯(cuò)誤；對(duì)于②，復(fù)數(shù)z=i﹣1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，1），位于第二象限，命題②錯(cuò)誤；對(duì)于③，（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是純虛數(shù)，則，解得x=1，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若z1﹣z2=i，z2﹣z3=1，則（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0，命題④錯(cuò)誤．∴正確命題的個(gè)數(shù)是0．故選：A．6.cos（﹣585°）的值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【分析】利用余弦函數(shù)為偶函數(shù)將所求式子化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，即可求出值．【解答】解：cos（﹣585°）=cos585°=cos=cos225°=cos=﹣cos45°=﹣故選：A7.如圖，是半圓的直徑，是弧的三等分點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，若，則的值是（A） （B）

（C） （D）參考答案：C略8.f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x)，又當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝2x－1，則等于()．A．－5

B．－6

C．－

D．－參考答案：D略9.棱長(zhǎng)為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】畫(huà)出圖形，根據(jù)題意求出八面體的中間平面面積，然后求出其體積．【解答】解：畫(huà)出圖就可以了，這個(gè)八面體是有兩個(gè)四棱錐底面合在一起組成的．一個(gè)四棱錐的底面面積是正方體的一個(gè)面的一半，就是，高為，所以八面體的體積為：．故選C．10.（5分）（2015?陜西一模）已知函數(shù)f（x）=πx和函數(shù)g（x）=sin4x，若f（x）的反函數(shù)為h（x），則h（x）與g（x）兩圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．0參考答案：【考點(diǎn)】：反函數(shù)．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：求出函數(shù)f（x）的反函數(shù)為h（x），然后畫(huà)圖求得h（x）與g（x）兩圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解：由y=f（x）=πx，得x=logπy，x，y互換得：y=logπx，即h（x）=logπx．又g（x）=sin4x，如圖，由圖可知，h（x）與g（x）兩圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了反函數(shù)，考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.點(diǎn)在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題：①三棱錐的體積不變；②∥平面；③；④平面平面.其中正確的命題序號(hào)是

.參考答案：①②④12.定義在上的函數(shù)滿足.若當(dāng)時(shí).,則當(dāng)時(shí),=________________.

參考答案：13.已知=（2，3），=（x，﹣6），若∥，則實(shí)數(shù)x的值為

．參考答案：﹣4【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量共線定理的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出．解：∵∥，∴﹣12﹣3x=0，解得x=﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量共線定理的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14.某高中有三個(gè)年級(jí)，其中高一學(xué)生有600人，若采用分層抽樣抽取一個(gè)容量為45的樣本，已知高二年級(jí)抽取20人，高三年級(jí)抽取10人，則該高中學(xué)生的總?cè)藬?shù)為_(kāi)__________。參考答案：1800

略15.一個(gè)總體分為A，B兩層，其個(gè)體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個(gè)體數(shù)是

參考答案：40略16.A、B、C三所學(xué)校共有高三學(xué)生1500人，且A、B、C三所學(xué)校的高三學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，在一次聯(lián)考后，準(zhǔn)備用分層抽樣的方法從所有高三學(xué)生中抽取容量為120的樣本，進(jìn)行成績(jī)分析，則應(yīng)從B校學(xué)生中抽取_________人．參考答案：40因?yàn)锳、B、C三所學(xué)校的高三學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，所以設(shè)三校人數(shù)為，則，所以。則在B校學(xué)生中抽取的人數(shù)為人。17.（1）在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段最短時(shí)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=的圖像在點(diǎn)P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值；(Ⅱ)設(shè)g（x）=f(x)+是的增函數(shù)。（i）求實(shí)數(shù)m的最大值；(ii)當(dāng)m取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得過(guò)點(diǎn)Q且與曲線y=g(x)相交的任意一條直線所圍成的兩個(gè)封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。參考答案：略19.已知函數(shù)f（x）=ex（x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4），其中a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）關(guān)于x的不等式f（x）＜﹣ex在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范圍；（2）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；3R：函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】（1）原不等式轉(zhuǎn)化為所以a＞﹣（x﹣2）2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出a的范圍，（2）先求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系即可判斷．【解答】解：（1）由f（x）＜﹣ex，得ex（x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4）＜﹣ex，即x3﹣6x2+（3a+12）x﹣6a﹣8＜0對(duì)任意x∈（﹣∞，2）恒成立，即（6﹣3x）a＞x3﹣6x2+12x﹣8對(duì)任意x∈（﹣∞，2）恒成立，因?yàn)閤＜2，所以a＞=﹣（x﹣2）2，記g（x）=﹣（x﹣2）2，因?yàn)間（x）在（﹣∞，2）上單調(diào)遞增，且g（2）=0，所以a≥0，即a的取值范圍為[0，+∞）；（2）由題意，可得f′（x）=ex（x3﹣x2+ax﹣a），可知f（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)或有三個(gè)極值點(diǎn)．令g（x）=x3﹣x2+ax﹣a，①若f（x）有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)g（x）的圖象必穿過(guò)x軸且只穿過(guò)一次，即g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)或者g（x）極值同號(hào)．（?。┊?dāng)g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，g′（x）=x2﹣2x+a≥0在R上恒成立，得a≥1．（ⅱ）當(dāng)g（x）極值同號(hào)時(shí)，設(shè)x1，x2為極值點(diǎn)，則g（x1）?g（x2）≥0，由g′（x）=x2﹣2x+a=0有解，得a＜1，且x12﹣2x1+a=0，x22﹣2x2+a=0，所以x1+x2=2，x1x2=a，所以g（x1）=x13﹣2x12﹣2+ax1﹣a=x1（2x1﹣a）﹣x1+ax1﹣a=﹣（2x1﹣a）﹣ax1+ax1﹣a=[（a﹣1）x1﹣a]，同理，g（x2）=[（a﹣1）x2﹣a]，所以g（x1）g（x2）=[（a﹣1）x1﹣a]?[（a﹣1）x2﹣a]≥0，化簡(jiǎn)得（a﹣1）2x1x2﹣a（a﹣1）（x1+x2）+a2≥0，所以（a﹣1）2a﹣2a（a﹣1）+a2≥0，即a≥0，所以0≤a＜1．所以，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；②若f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)g（x）的圖象必穿過(guò)x軸且穿過(guò)三次，同理可得a＜0．綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)．20.已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（1）若a+b+c=0，求a的最大值．（2）若ab+bc+ca的最大值為M，解不等式|x+1|+|x﹣1|≥3M．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）利用a2=（﹣b﹣c）2=b2+c2+2bc≤2（b2+c2）即可得出；（2）利用基本不等式的性質(zhì)可得：M=1．若不等式|x+1|+|x﹣1|≥3M對(duì)一切實(shí)數(shù)a，b，c恒成立，則|x+1|+|x﹣1|≥3，對(duì)x分類討論即可得出．【解答】解：（1）∵a2=（﹣b﹣c）2=b2+c2+2bc≤2（b2+c2）∴a2≤2（1﹣a2），∴3a2≤2，即，∴a的最大值為．（2）∵，∴M=1．若不等式|x+1|+|x﹣1|≥3M對(duì)一切實(shí)數(shù)a，b，c恒成立，則|x+1|+|x﹣1|≥3，當(dāng)x≥1時(shí)，化為2x≥3，解得，滿足x≥1，∴；當(dāng)﹣1≤x＜1時(shí)，化為x+1﹣x+1≥3，即2≥3，此時(shí)x∈?；當(dāng)x＜﹣1時(shí)，化為﹣2x≥3，解得x≤﹣，滿足x≤﹣1，∴x≤﹣．綜上可得：不等式|x+1|+|x﹣1|≥3的解集為∪．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)、含絕對(duì)值不等式的解法，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)(是常數(shù))在處的切線方程為，且.（1）求常數(shù)的值；（2）若函數(shù)()在區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明:.參考答案：（1）由題設(shè)知，的定義域?yàn)?,

……………1分因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以,且，

即,且

…………3分又

解得，，.

…………4分（2）由(1)知，因此，，

所以.

…………5分令.

（?。┊?dāng)函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)極值時(shí)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)根，即在內(nèi)有且僅有一個(gè)根，又因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，即，解得，所以有.

………7分（ⅱ）當(dāng)函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)根，即二次函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不等根，所以解得.

…………8分綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

…………9分（3）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，所以在上為減函數(shù)，因此當(dāng)時(shí),，即，即當(dāng)時(shí),，

所以對(duì)一切都成立，

…………11分所以，，，…，所以，所以.

…………14分22.已知直線l的參數(shù)