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山西省呂梁市石樓縣第三中學2021-2022學年高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.我們把離心率為e=的雙曲線(a>0,b>0)稱為黃金雙曲線.如圖,是雙曲線的實軸頂點,是虛軸的頂點,是左右焦點,在雙曲線上且過右焦點,并且軸,給出以下幾個說法:①雙曲線x2-=1是黃金雙曲線;②若b2=ac,則該雙曲線是黃金雙曲線;③如圖,若∠F1B1A2=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線;④如圖,若∠MON=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線.其中正確的是()A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①②③④參考答案:D2.函數(shù)處的切線方程是
A. B.C.
D.參考答案:D3.如圖給出的是計算1+++…+的值的一個程序框圖,則圖中執(zhí)行框中的①處和判斷框中的②處應填的語句是()A.n=n+2,i>15?
B.n=n+2,i=15?C.n=n+1,i=15?
D.n=n+1,i>15?參考答案:A略4.設a,b是非零實數(shù),且滿足,若類比兩角和的正切公式,則=A.4
B.
C.2
D.參考答案:D5.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有A.144個 B.120個 C.96個 D.72個參考答案:B試題分析:根據(jù)題意,符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個,末位數(shù)字為0、2、4中其中1個;進而對首位數(shù)字分2種情況討論,①首位數(shù)字為5時,②首位數(shù)字為4時,每種情況下分析首位、末位數(shù)字的情況,再安排剩余的三個位置,由分步計數(shù)原理可得其情況數(shù)目,進而由分類加法原理,計算可得答案.解:根據(jù)題意,符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個,末位數(shù)字為0、2、4中其中1個;分兩種情況討論:①首位數(shù)字為5時,末位數(shù)字有3種情況,在剩余的4個數(shù)中任取3個,放在剩余的3個位置上,有A43=24種情況,此時有3×24=72個,②首位數(shù)字為4時,末位數(shù)字有2種情況,在剩余的4個數(shù)中任取3個,放在剩余的3個位置上,有A43=24種情況,此時有2×24=48個,共有72+48=120個.故選B考點:排列、組合及簡單計數(shù)問題.6.如圖,過拋物線y2=2px(p>0)焦點的直線交拋物線于A、B兩點,交其準線于點C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:B略7.一個物體的運動方程為s=1﹣t+t2其中s的單位是米,t的單位是秒,那么物體在3秒末的瞬時速度是()A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒?yún)⒖即鸢福篊【考點】導數(shù)的幾何意義.【分析】求導數(shù),把t=3代入求得導數(shù)值即可.【解答】解:∵s=1﹣t+t2,∴s′=﹣1+2t,把t=3代入上式可得s′=﹣1+2×3=5由導數(shù)的意義可知物體在3秒末的瞬時速度是5米/秒,故選C8.已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個焦點在拋物線的準線上,則雙曲線的方程為A.
B.
C.
D.參考答案:A略9.不等式的解集為(
)A.[-2,1)∪[4,7) B.(-2,1]∪(4,7]C.[-2,1)∪(4,7] D.(-2,1]∪[4,7)參考答案:D試題分析:由題意得,不等式,則或,解得或,故選D.10.的展開式的第二項為(
)A.-5
B.
C.10
D.10x參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知矩形ABCD的周長為18,把它沿圖中的虛線折成正六棱柱,當這個正六棱柱的體積最大時,它的外接球的表面積為
.參考答案:13π【考點】LE:棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.【分析】正六棱柱的底面邊長為x,高為y,則6x+y=9,0<x<1.5,表示正六棱柱的體積,利用基本不等式求最值,求出正六棱柱的外接球的半徑,即可求出外接球的表面積.【解答】解:設正六棱柱的底面邊長為x,高為y,則6x+y=9,0<x<1.5,正六棱柱的體積V==≤=,當且僅當x=1時,等號成立,此時y=3,可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心連線的中點,則半徑為=,∴外接球的表面積為=13π.故答案為:13π.【點評】本題考查外接球的表面積,考查基本不等式的運用,確定正六棱柱的外接球的半徑是關鍵.12.已知集合,則用列舉法表示集合A=
。參考答案:1,2,4,5,7略13.有下列四個命題:①“若,則互為相反數(shù)”的逆命題;
②“全等三角形的面積相等”的否命題;③“若,則有實根”的逆否命題;④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”逆命題;
其中真命題為___________________.參考答案:①③略14.若,則的值為
.參考答案:試題分析:令等式中得;再令,則,所以,故應填.考點:二項式定理與賦值法的綜合運用.15.我們把1,4,9,16,25,…這些數(shù)稱為正方形數(shù),這是因為這些數(shù)目的點可以排成正方形(如圖).由此可推得第n個正方形數(shù)是.參考答案:n2【考點】歸納推理.【分析】根據(jù)12=1,22=4,32=9,可得第n個正方形數(shù).【解答】解:∵12=1,22=4,32=9,∴第n個正方形數(shù)就是n2.故答案為:n216.把數(shù)列{2n+1}依次按第一個括號一個數(shù),第二個括號兩個數(shù),第三個括號三個數(shù),第四個括號四個數(shù),第五個括號一個數(shù)……循環(huán)下去,如:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),…,則第104個括號內(nèi)各數(shù)字之和為_______。參考答案:2072
略17.把五進制數(shù)2013化為七進制數(shù)為______.參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=alnx+在x=1處有極值﹣1.(1)求實數(shù)a,b的值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.參考答案:【考點】6B:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;6D:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),計算f(1),f′(1),得到關于a,b的方程組,解出即可;(2)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【解答】解:(1)f′(x)=﹣,由f(x)在x=1處的極值是﹣1,故,解得:a=b=﹣1;(2)由(1)f(x)=﹣lnx﹣,(x>0),則f′(x)=,令f′(x)>0,解得:0<x<1,令f′(x)<0,解得:x>1,故f(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減.19.已知是二次函數(shù)圖像上兩點,且.(1)求的值;(2)求的圖像在點處切線的方程; (2)設直線與和曲線的圖像分別交于點、,求的最小值.參考答案:解:(1)由題意得:,解得…………3分
(2)由(1)可得:,
∴,則的圖像在點處切線的斜率為∴的圖像在點處切線的方程為
…………6分(3)由題意可得:
…………7分令
…………9分∴當單調(diào)減;當單調(diào)增.
…………11分∴
…………13分略20.棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分別為棱BC、DD1的中點.(1)若平面AFB1與平面BCC1B1的交線為l,l與底面AC的交點為點G,試求AG的長;(2)求點A到平面B1EF的距離.參考答案:考點:點、線、面間的距離計算.專題:空間位置關系與距離.分析:(1)過B1作FA的平行線交面ABCD于G,連接AG,在Rt△ABG中求得AG的長;(2)分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系,求出平面B1EF的一個法向量,利用向量法求得點A到平面B1EF的距離.解答: 解:(1)如圖,延長CB到G,使BG=2BC,連接B1G,則B1G所在直線為平面AFB1與平面BCC1B1的交線,連接AG,在Rt△ABG中,AB=1,BG=2,則AG2=AB2+BG2=5,∴AG=;(2)建立如圖所示空間直角坐標系,則A(1,0,0),,,設平面B1EF的一個法向量為,由,得,取x=2,得y=﹣,z=﹣1,∴.又=(0,1,1),∴點A到平面B1EF的距離d===.點評:本題考查空間中的點、線、面間的距離,考查學生的空間想象能力和思維能力,訓練了利用向量法求點到面的距離,是中檔題.21.(本題滿分10分)若,求證:.參考答案:見解析………5分
所以,原不等式得證?!?0分22.函數(shù)f(x)=ax3+bx2﹣3x在點x=1處取得極大值為2.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.參考答案:【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)f(1)=2,f′(1)=0,求出a,b的值,從而求出f(x)的解析式即可;(2)求出函數(shù)f(x)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最值即
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