概率統(tǒng)計(jì) 第七章 參數(shù)估計(jì)

第七章

參數(shù)估計(jì)§7.1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)§7.2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)§7.3區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

統(tǒng)計(jì)推斷作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本課題，可分成兩大部分，一是本章要討論的參數(shù)估計(jì)，二是下一章討論的假設(shè)檢驗(yàn)。參數(shù)估計(jì)面對(duì)這樣兩種情況：一是總體分布類型已知，需要估計(jì)的是其中若干未知參數(shù)。如，已知某門課程考試的成績(jī)X~N（，2），但未知，2，需要估計(jì)；另一類是分布類型未知，但所關(guān)心的只是總體中的某些數(shù)字特征。如某火車站上午9點(diǎn)至11點(diǎn)之間顧客流量X是一隨機(jī)變量，其分布未知，但我們只關(guān)心這一時(shí)間段的平均客流量和客流量的波動(dòng)情況，即需估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX及方差DX。通常把上面兩種需要估計(jì)的量，稱為待估參數(shù)。

參數(shù)估計(jì)就其表達(dá)形式而言有兩種類型：一類是用一個(gè)樣本函數(shù)作為待估參數(shù)的估計(jì)，這就是點(diǎn)估計(jì)；另一類是用一個(gè)或兩個(gè)樣本函數(shù)構(gòu)成的隨機(jī)區(qū)間，對(duì)待估參數(shù)作出估計(jì)，這就是區(qū)間估計(jì)。本章需要解決的問(wèn)題是：如何從總體中抽得樣本，并借助樣本提供的信息對(duì)待估參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

設(shè)為總體X分布中的未知參數(shù)，由樣本(X1，X2，…，Xn)出發(fā)構(gòu)造一個(gè)樣本函數(shù)=(X1，X2，…，Xn)來(lái)估計(jì)未知參數(shù)，稱(X1，X2，…，Xn)為的估計(jì)量；若(x1，x2，…，xn)是樣本的觀察值，稱=(x1，x2，…，xn)為的估計(jì)值。于是，尋找未知參數(shù)的估計(jì)量(X1，X2，…，Xn)或估計(jì)值(x1，x2，…，xn)，便是點(diǎn)估計(jì)要解決的問(wèn)題。在不發(fā)生誤會(huì)的情況下，通常把待估參數(shù)的估計(jì)量和估計(jì)值統(tǒng)稱為的點(diǎn)估計(jì)。

本節(jié)介紹兩種常用的點(diǎn)估計(jì)方法——矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法。

§7.1點(diǎn)估計(jì)一、矩估計(jì)法

矩估計(jì)法的方法要點(diǎn)：假設(shè)總體X中的待估參數(shù)有l(wèi)個(gè)：另設(shè)總體X的k階原點(diǎn)矩EXk存在，記為便是待估參數(shù)的矩估計(jì)量。矩是描述隨機(jī)變量的最簡(jiǎn)單的數(shù)字特征。樣本矩一定程度上也反映了總體的特征，用樣本矩來(lái)估計(jì)與之相應(yīng)的總體矩的方法，稱為矩估計(jì)法。

例1

設(shè)總體X有分布律X123

22(1－)(1-)2其中∈(0，1)為待估參數(shù)。又設(shè)(X1，X2，…，Xn)為總體X的樣本，試求的矩估計(jì)量，并就樣本值(3，1，2，2，3，2)。求的估計(jì)值。解由于

于是，待估參數(shù)的矩估計(jì)量為：對(duì)給定樣本值可得的矩估計(jì)值為：

.

本例說(shuō)明，總體均值和總體方差的矩估計(jì)與總體的分布無(wú)關(guān)。

例4

設(shè)總體X服從(a，b)上的均勻分布，其中a，b

未知。試求a，b的矩估計(jì)。解：由于故于是，由解之，得分別為a，b的矩估計(jì)。

二、極大似然估計(jì)法極大似然估計(jì)法最早由高斯（Gauss）提出，后來(lái)在1912年為費(fèi)歇爾（Fisher）重提，并進(jìn)一步完善，它是建立在極大似然原理基礎(chǔ)上的一種統(tǒng)計(jì)方法。極大似然原理：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如果有若干個(gè)可能的結(jié)果A，B，C，…；若在一次試驗(yàn)中結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)A的出現(xiàn)有利。即A出現(xiàn)的概率最大。

一般地：設(shè)連續(xù)型總體X的概率密度為

f(x,θ），(x1,x2,…,xn)為(X1,X2,…,Xn)的觀察值，為樣本的聯(lián)合分布密度。則

由定義知，求參數(shù)的極大似然估計(jì)的問(wèn)題，就是求似然函數(shù)L()的最大值問(wèn)題。當(dāng)L()關(guān)于可微時(shí)，由高等數(shù)學(xué)知識(shí)知道，要使L()最大，應(yīng)滿足

稱上式為似然方程。注意到L()與lnL()在同一處取得極值，因此為計(jì)算簡(jiǎn)便，的極大似然估計(jì)常利用下列方程

求得，稱上式為對(duì)數(shù)似然方程。

注意：矩估計(jì)法從總體的數(shù)字特征出發(fā)，數(shù)學(xué)原理簡(jiǎn)明扼要，操作方便，因而適用面較廣;但精度差。極大似然估計(jì)法以總體分布已知為前提，雖然方法很繁瑣，數(shù)學(xué)原理也不如矩估計(jì)法簡(jiǎn)明直觀，但由于似然函數(shù)集中了總體分布較充分的信息，因而得到的估計(jì)量較矩估計(jì)量有較多的優(yōu)良性，是目前應(yīng)用較為廣泛的一種估計(jì)方法。

§7-2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)兩個(gè)估計(jì)值不同時(shí)，哪一個(gè)更好呢？評(píng)判估計(jì)量有各種各樣的標(biāo)準(zhǔn)，這里介紹三種最常用的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)——無(wú)偏性、有效性、一致性。一、無(wú)偏性

設(shè)是未知參數(shù)的估計(jì)量，若，無(wú)偏估計(jì)量或稱估計(jì)量是無(wú)偏的，否則稱是參數(shù)的有偏估計(jì)量。如果滿足，則稱為的漸近無(wú)偏估計(jì)量。

〔無(wú)偏化處理〕樣本方差

〔進(jìn)一步討論方差〕

無(wú)偏估計(jì)的概率意義是：估計(jì)量作為樣本函數(shù)，它在歷次試驗(yàn)中的觀測(cè)值總是圍繞真值的兩側(cè)擺動(dòng)。即在的很多可能的取值中，有大于真值的，亦有小于真值的。無(wú)偏性只要求平均誤差為零，即。這雖是無(wú)偏估計(jì)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但也有不合理處，因?yàn)榭傉`差應(yīng)累積計(jì)算，而不能用相互抵消來(lái)度量。這就是說(shuō)，較合理的估計(jì)量還應(yīng)該要求“越小越優(yōu)”。注意到當(dāng)為的無(wú)偏估計(jì)量時(shí)，這就導(dǎo)致了下列有效性的概念。

有效性

則稱較有效。一致性注意到估計(jì)量的一致性判別只有當(dāng)樣本容量n很大時(shí)才能顯示出其優(yōu)越性，這在實(shí)際中往往難以做到。因此工程實(shí)際中往往較多使用無(wú)偏性和有效性標(biāo)準(zhǔn)。例如：樣本均值是總體均值的一致估計(jì)量；樣本方差S2及二階中心矩B2是總體方差2的一致估計(jì)量?？梢宰C明，在較弱的條件下，矩估計(jì)量與極大似然估計(jì)量都具有一致性。練習(xí)題那一個(gè)更有效？§7.3區(qū)間估計(jì)

正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

一、區(qū)間估計(jì)的概念二、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)三、兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

點(diǎn)估計(jì)：用一數(shù)（樣本值函數(shù)）來(lái)估計(jì)未知參數(shù)但是用點(diǎn)估計(jì)的方法得到的估計(jì)值與真值之間有誤差，而且點(diǎn)估計(jì)得到的參數(shù)估計(jì)值既沒(méi)有給出它與真值之間的精確程度，也沒(méi)有給出可靠程度。在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)往往需要知道參數(shù)的估計(jì)值落在其真值附近的一個(gè)范圍。為此，我們希望通過(guò)樣本構(gòu)造一個(gè)以較大的概率來(lái)包含真實(shí)參數(shù)θ的一個(gè)范圍或區(qū)間，這種帶有概率的區(qū)間稱為置信區(qū)間，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)置信區(qū)間對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的方法稱為區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)：在保證可信度的基礎(chǔ)上，用一范圍限度未知參數(shù)一、區(qū)間估計(jì)的概念置信區(qū)間的概念：

例如，估計(jì)明天上午10時(shí)的氣溫八成在26℃～30℃之間，這里(26，30)就是明天上午10時(shí)氣溫的置信區(qū)間，26為“置信下限”，30為“置信上限”，八成(即80%)就是置信度(可靠程度)，30℃－26℃=4℃為精確程度，而置信水平=1–80%=0.2。

求θ置信區(qū)間的步驟：尋求樣本函數(shù)，它僅包含待估參數(shù)，且分布已知。

上述步驟的關(guān)鍵是：這一點(diǎn)，在一般情況下，這決非易事，但對(duì)正態(tài)總體的情況，我們?cè)凇?.4的抽樣分布定理中已為此作了準(zhǔn)備；又由于正態(tài)分布是在實(shí)際中應(yīng)用最廣泛的分布，所以，下面我們將用上述方法對(duì)正態(tài)總體中參數(shù)的區(qū)間估計(jì)作較詳細(xì)的討論。二、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

設(shè)總體X～N(，2)，，＞0，(X1，X2，…，Xn)是取自總體X的一個(gè)樣本?？傮wX的末知參數(shù)可能是，也可能是2，現(xiàn)分別討論參數(shù)，2的置信區(qū)間的求法，取置信度為1–。1．均值的置信區(qū)間(1)2

已知01－

0t例1

某車間生產(chǎn)滾珠，已知滾珠直徑X～N(，2)。從某天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè)滾珠，測(cè)得直徑(單位：mm)為：14.7，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1。試在置信水平=0.05下，分別就2=0.04及2未知求該天生產(chǎn)的滾珠平均直徑的置信區(qū)間。解（1）在已知時(shí)，利用公式(3.3)知，的置信區(qū)間為因此，的以1-=95%為置信度的置信區(qū)間上、下限為：即，可以認(rèn)為該天生產(chǎn)的滾珠直徑的置信度為95%的置信區(qū)間為(14.81，15.13)。（2）由于未知，使用公式(3.4)知的置信區(qū)間為所以，的置信度為95%的置信區(qū)間的上、下限為：即(14.76，15.18)。

o

兩個(gè)正態(tài)總體N(1,12)，N(2,22)情況1－2

的置信區(qū)間

0

0t

2、雙正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間

假定1，2未知

例5

用甲、乙兩種電子儀器獨(dú)立測(cè)量?jī)蓚€(gè)測(cè)地站A、B之間的距離(單位：m)，用儀器甲獨(dú)立地測(cè)量了n1=10次，由X1，…，X10算得：，；用儀器乙獨(dú)立測(cè)量了n2=15次，由Y1，…，Y15算得：，。假定這兩種儀器的測(cè)量值都服從正態(tài)分布。試求這兩種儀器的平均測(cè)量值之差的置信度為99%的置信區(qū)間。解：（1）因題中未給出σ12與σ22是否相等的條件，為選擇合適的隨機(jī)變量對(duì)μ1－μ2作區(qū)間估計(jì)，先確定σ12與σ22是否相等。為此首先求σ12/σ22的90%的置信區(qū)間：由公式(3.11)，因?yàn)樗苑讲畋鹊闹眯哦葹?.9的置信區(qū)間為由于σ12/σ22的置信區(qū)間包含1，因此可以認(rèn)為σ12與σ22相等。其次求1－

2的置信區(qū)間，應(yīng)選用統(tǒng)計(jì)量

所以1－2的置信度為90%的置信區(qū)間的上、下限為即1－2的置信度為90%的置信區(qū)間為：(0.002，0.064)例題選講！

1.設(shè)X1，X2，…，Xn為總體的一個(gè)樣本，求下列總體的密度函數(shù)中的未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量。其中θ>0，θ為未知參數(shù)。解：設(shè)x1,x2,…,xn是樣本的一組觀察值。則似然函數(shù)為：

其中解得θ的極大似然估計(jì)值為：

θ的極大似然估計(jì)量為：解得θ的矩估計(jì)量為：

2.已知某種木材橫紋抗壓力的實(shí)驗(yàn)值服從正態(tài)分布,對(duì)10個(gè)試件作橫紋抗壓力試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)如下(單位：公斤/平方厘米)：482，493，457，471，510，446，435，418，394，469。試對(duì)該木材平均橫紋抗壓力進(jìn)行區(qū)間估計(jì)(α=0.05)。解：總體方差σ2未知,對(duì)總體期望作區(qū)間估計(jì),應(yīng)選用隨機(jī)變量：

根據(jù)P(|t|>t/2(n-1))=1-(1-)=0.05，因自由度為10-1=9，故tα/2(n-1)=t0.025(9)=2.262。

于是的置信度為95%的置信區(qū)間為

由所給實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)易算得=457.5,s=35.218。將它們及n=10代入計(jì)算得此區(qū)間為

(432.3，482.69)。3.為了在正常條件下檢驗(yàn)一種雜交作物的兩種新處理方案,在同一地區(qū)隨機(jī)挑選8塊地段,在各個(gè)試驗(yàn)地段按兩種方案種植作物,這8塊地的單位面積產(chǎn)量是:

一號(hào)方案產(chǎn)量86,87,56,93,84,93,75,79;

二號(hào)方案產(chǎn)量80,79,58,91,77,82,74,66.假設(shè)這兩種方案的產(chǎn)量都服從正態(tài)分布,試求這兩種方案下平均產(chǎn)量之差的置信度為90%的置信區(qū)間。解：（1）因題中未給出σ12與σ22是否相等的條件，為選擇合適的隨機(jī)變量對(duì)μ1－μ2作區(qū)間估計(jì)，先確定σ12與σ22是否相等。由P[F>F(n1-1，n2-1)]=P[F>F0.05(7，7)]=