2020年高考數(shù)學(xué)真題試題(天津卷)(Word版答案解析)

2020高數(shù)真試（津）一、選題：在每小給出的個(gè)選項(xiàng)中，有一項(xiàng)符合題目要的共9題；共45分）設(shè)集{，合

，則

（）A.B.設(shè)，則“”是

”的（）

A.充不必要條件充條件

B.必不充分條件既充分也不必要條件函

??

4??

的圖象大致為（）A.從批零件中抽取80個(gè)測(cè)量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組,，整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個(gè)數(shù)為（）A.10B.18C.20D.36若長(zhǎng)為

的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.

B.

144

122222??2,∞∞B.(0,22122222??2,∞∞B.(0,22222和設(shè)

,

,0.8

，則??的大小關(guān)系為（）A.

B.

設(shè)曲線的程為

????2

22

0,??0)，過拋物線??2

??的點(diǎn)和點(diǎn)(0,的直線為l．C的一條漸近線與平，另一漸近線與l垂，則雙曲線的程為（）A.

??

??

1

B.

??

??

1

??

??2

1

??

??2

1已函數(shù)??(??)??．給出下列結(jié)論：①??)的小正周期為2??；

??2

是??(??)的最大值③把數(shù)????的圖象上所有點(diǎn)向左平移

??

個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)????)的圖象．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①B.①C.②③D.??,???已函數(shù)??(??)??,??0.

若函數(shù)

??)??)|22??|(

恰有個(gè)點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A.

∞

122

∞2)

∞,0)2,二、填題：本大題6小題每小題5分，共30分．試題中包兩個(gè)的，答1個(gè)的給3分，全部答對(duì)給分，（共題；共分）10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

8????

________．11.在(??

22

5

的展開式中，??的數(shù)________．12.已知直線????8為．

和圓????0)相交于??,??兩．若，的13.已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為

112

．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率_；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率________．14.已知

0

，且1，

12

12

8

的最小值為．15.如圖，在四邊形中

∠,

，??，且

,

2

，則實(shí)數(shù)的為，??,是段上的動(dòng)點(diǎn)，且|則________．

的最小值為

??????????+2??+1????三、解題：本大題5小題共75分，解答寫出文說明，證??????????+2??+1????16.在中角??,??所的邊分別為??,．知????（）角C的小；（）的；

．（）

??4

的值．17.如圖，在三棱柱

中，??

平??，，

分別在棱和??上且

為棱

的中點(diǎn)．（）求證：；（）二面角

的弦值；（）直線??與平面

所角的正弦值．18.已知橢圓

??

22

??

22

的個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為F，且|，中為原點(diǎn)．（）橢圓的方程；（）知點(diǎn)滿足

，點(diǎn)在圓上（異橢圓的點(diǎn)），直線??與C為心的圓相切于點(diǎn)，且P為線段??的中點(diǎn)．求直線的程．19.已知

為差數(shù)列，{為比數(shù)列，．??44（）

和的通項(xiàng)公式；??（）

的前??項(xiàng)為??

，求證：??；（）任意的正整數(shù)??，??

????,,????+2??,偶.??+1

求數(shù)列

的前2n項(xiàng)．20.已知函數(shù)??)??

??(，

(??)

為??(??)的導(dǎo)函數(shù)．（）時(shí)（）求曲線????)在(1,處切線方程；

12′′1212′′121212（）函數(shù)??(

的單調(diào)區(qū)間和極值；（）時(shí)求證：任意的

,)

，且1

，有

2

)

．

答案解析部分一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.【案】【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算，補(bǔ)集及其運(yùn)算【解析】【解答】由題意結(jié)合補(bǔ)集的定義可知：?

，則??(.故答案為：【分析】首先進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得集合的運(yùn)算結(jié).【案】【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，一元二次不等式的解法【解析】【解答】求解二次不等式

可：??或，據(jù)此可知：是

的充分不必要條.故答案為：【分析】首先求解二次不等式，然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即【案】【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)【解析】【解答】由函數(shù)的解析式可得：

2

，則函數(shù)為函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，CD不合意；當(dāng)??時(shí)

4

，不符合題.故答案為：【分析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確函數(shù)的圖象【案】【考點(diǎn)】頻率分布直方圖，用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布【解析】【解答】根據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)之間的零件頻率為：，則區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)零件的個(gè)數(shù)為：.故答案為：【分析】根據(jù)直方圖確定直徑落在區(qū)間之的零件頻率，然后結(jié)合樣本總數(shù)計(jì)算其個(gè)數(shù)即.【案】【考點(diǎn)】球的體積和表面積【解析】【解答】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，即

√

2

2

2

，所以，這個(gè)球的表面積為??

4??×3

.故答案為：

，所以，，得??，??，所以周期????【分析】求出正方體的體對(duì)角線的一半，，所以，，得??，??，所以周期????【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【解析】【解答】因?yàn)?/p>

，

，0.8，所以??.故答案為：【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出??,的大小關(guān)系【案】【考點(diǎn)】雙曲線的定義，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，【解析】【解答】由題可知，拋物線的焦點(diǎn)為，所以直線??的程為??為??

??

，即直線的斜率又雙曲線的漸近線的方程為??

，因?yàn)?,??，解得．故答案為：．【分析】由拋物線的焦點(diǎn)可求得直線的程為

??

，即得直線的斜率為b，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為??

即可求出??,，得到雙曲線的方程．【案】【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法，函數(shù)y=Asin（）圖象變換，三角函數(shù)的最值【解析】【解答】因?yàn)??

??????

2??

，故正；??????5??，不正確；2262個(gè)單位長(zhǎng)度，得到????的象，將函數(shù)??=??的圖象上所有點(diǎn)向左平移故正.故答案為：【分析】對(duì)所給選項(xiàng)結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即.【案】【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象，根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系【解析【解答】注意到0，所以要使??(恰有4個(gè)點(diǎn)，只需方程|實(shí)根即可，

恰有3個(gè)

??(??(令?

??(

，即與?

??(

的圖象有個(gè)不同交.因?yàn)?

??(

,

，當(dāng)??時(shí)，此時(shí)??，圖，與

?

??(

有2個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)??時(shí)，如圖2，時(shí)|與

?恒個(gè)同交點(diǎn)滿足題意；當(dāng)??時(shí)，如圖3，與相切時(shí)，聯(lián)立方程得

，令得

，解得

（負(fù)值舍去），所以

..綜上，的取值范圍為∞故答案為：【分析】由，合已知，將問題轉(zhuǎn)化為與

?

??(

有3個(gè)同交點(diǎn)，分三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答.

)2???(??的展開式的通項(xiàng)公式為??5????5??????221512,；二、填空題：本大題共6小題，每小題5分共30分試題中包含兩個(gè))2???(??的展開式的通項(xiàng)公式為??5????5??????221512,；10.【答案】3-2i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【解析】【解答】

8????)(2??)1510??2????)(2??)

2??

.故答案為：【分析】將分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，然后利用運(yùn)算化簡(jiǎn)可得結(jié).11.【答案】10【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【解析】【解答】因?yàn)?/p>

22??1550,1,2,3,4,5)，令??2，解得??1．所以??

2

的系數(shù)為

210．故答案為：．【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，整理后令的指數(shù)為，即可求出．12.【答案】【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式【解析】【解答】因?yàn)閳A心到直線8

的距離

813

，由|2??

2可2

2，解得??5．故答案為：．【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離d，而利用弦長(zhǎng)公式2??2，即可求得??．13.【答案】；【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【解析】【解答】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為且兩球是否落入盒子互不影響，

112

，所以甲、乙都落入盒子的概率為

1112

，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為

1112

，所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為

2

.故答案為：

12

.【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率關(guān)系，即可求出兩球都落入盒子的概率；同理可求球都不落入盒子的概率，進(jìn)而求出至少一球落入盒子的概.

2√,2√,55；【考點(diǎn)】基本不等式【解析】【解答】∵∴，,

22

2

82

8

，且僅當(dāng)=4時(shí)等號(hào)，結(jié)合??,解得2+√故答案為：

，或2???√

時(shí)，等號(hào)成立.【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為

2

8

，利用基本不等式即可求.15.【答案】；62【考點(diǎn)二函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，平面向量數(shù)量積的含義與物理意義，平向量數(shù)量積的運(yùn)算【解析】【解答】∵

，

，∠

，???63(，22

解得??，6以點(diǎn)B為標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立如下圖所的平面直角坐標(biāo)系，6，??(6,0)

,

∠，的坐標(biāo)為??(

22

,又

6

,則,22

，設(shè)??(，（其中5）,，,)222

，)2212，22222所以，當(dāng)2時(shí)，故答案為：.62

取得最小值

2

.

22√2【分析】可得22√2

，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點(diǎn)B為標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)??(，則點(diǎn)其中得

關(guān)于??的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本質(zhì)求得

的最小值.三、解答題：本大題共5小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步.16.【答案】解：（）中由√??

及余弦定理得

2

，；又因?yàn)?，?（）中，由??，??4；

及正弦定理，可得

??2

（）知角為角，由，可得

，進(jìn)而

,

，所以+44

1726

.【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦公式，二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】）接利用余弦定理運(yùn)算即可；）由）正弦定理即可得到答案；）先計(jì)算出進(jìn)一步求出，利用兩角和的正弦公式計(jì)算即.17.【答案】解：依題意，以??為點(diǎn)，分別以、、建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

的方向?yàn)閤軸、軸、軸的正方向可得、、、??

、、、、、.（）題意，，

，從而，所以；（）題意，是面

的個(gè)法向量，，

．設(shè)為面

的向量，

1111111111222222262,，,?則{，即1111111111222222262,，,?

，不妨設(shè)1，可得?1,2)．

,

6

6

，1

√306

．所以，二面角（）題意，

的弦值為．

306

；由（）知(1,?1,2)為平面

的一個(gè)法向量，于是

,

3

．所以，直線與平面

所角的正弦值為

33

.【考點(diǎn)向語言表述線線的垂直、平行關(guān)系，用空間向量求直線與平面的夾角，用空間向量求面間的夾角【解析】【分析】以??為點(diǎn)，分別以1

的方向?yàn)閤軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.（）算出向量11

的坐標(biāo)，得出即可證明出；（）1可知平面

的個(gè)法向量為

，計(jì)算出平面??

的一個(gè)法向量為，用空間向量法計(jì)算出二面角

的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求解結(jié)；）用空間向量法可求得直線與面

所角的正弦值18.【答案】解：（）橢

??

??>??的一個(gè)頂點(diǎn)為，22??，由||，得??，又由??

??

，得??

=3

，所以，橢圓的方程為

18

；（）∵直??與C為心的圓相切于點(diǎn)P，以，根據(jù)題意可知，直線和線的斜率均存在，設(shè)直線的率為k，直線的程為??，??，318

，消去，可得??

1)

12??，得或

.將??

12??

代入3，得?

12??

?3，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為

2

，因?yàn)镻為線段??的點(diǎn)，點(diǎn)的標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為(

2+1由3得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

22??1??15????12????2??11????22????2??1????22??2??1??=1222??2??=1441??2??=12????=1??22??1??15????12????2??11????22????2??1????22??2??1??=1222??2??=1441??2??=12????=1??所以，直線的率為

321621

01

2

2

36??1

，又因?yàn)?，所?

2

2

36??1

1

，整理得2

2

310，得

12

或1.所以，直線的方程為??

12

3或3.【考點(diǎn)】橢圓的定義，直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】）據(jù)題意，并借助

2

2

2

，即可求出橢圓的方程；）用直線與圓相切，得到，設(shè)出直線??的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點(diǎn)標(biāo)，再根據(jù)，求出直線的斜率，從而得解.19.【答案】解：)設(shè)差數(shù)列{

的公差為，等比數(shù)列的公比為??由??

1，5(54

，得d=1.3從而{

的通項(xiàng)公式為??.??由??

，3又q≠0可得

2

40，得q=2，從而{

的通項(xiàng)公式為2??1??

.()證：()可

??(??1)2

，故????(??1)(????，4

??1)24

??2)2

，從而??

2??1

12

??1)(??2)，所以??

.()當(dāng)n為數(shù)時(shí)，??

(32)????2

??

(3??2)2??(??2)

??1

??1??2

??1??

，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

??

??1??1

??1??

，對(duì)任意的正整數(shù)，有

????=1

22??22??12??1

2??2??1

1，和

????=1

2??1??

1342

53

2??3??1

2??1??

①由得

14

????=1

2

12

3534

2??3??

2??1??1

②由②

34

????=12

1222??142????1

24

(11

1??14

12??14??1

，由于

24

(11

1??14

14

2??1??1

221133??4

2??1??

4

56??5123×4??1

，從而得：

56??59×4

??

.因此，

????=1

2??1

????=1

2

46??542??1??

.

????6??54??????2???1??12????1??122(??ln1332212????6??54??????2???1??12????1??122(??ln13322121′1212所以，數(shù)列

的前2n項(xiàng)為

42??1

.??【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和【解析析)由意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；()利用)的論首先求得數(shù)列{

前n項(xiàng)和，然后利用作差法證即可)類討論為數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列{

的前2n項(xiàng)即可答案】解)(i)當(dāng)時(shí)??(

3

6ln，′3

2

6

.可??(1)1，(1)，所以曲線在??(1))處的切線方程為1，.依意，′3從而可得

32