2021屆浙江省百校高考數學聯(lián)考數學試卷(2021.03)

2021浙江省百校考數學考數學試卷3份）一、選題（共10題）1．已知集合A＝{|0＜x，x∈N*}，＝{|1＜x，x∈N*}，則A∪＝（）A．{2}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．（0，4]2．若＝3+i，則a＝（）A．2B．2i

C．4D．4i3．若實數x，滿足約束條件，則z+y最小值時x＝（）A．﹣7B．﹣5C．﹣3D．﹣14．函數

的圖像可能是（）A．B．C．D．5如圖某四棱錐的三視單位如圖所示則該四棱錐的最長的棱長（cm

）

A．B．2C．D．6．已知數列{a}滿足＝sinan∈Nnnn

，若對任意n∈N

，都a≤，則下列可能成+1n立的是（）A．a＝1B．a﹣1C．a＝﹣2D．1237．已知隨機變量ξ滿足（ξ＝0）＝1﹣，（ξ＝1）＝，且＜p＜1，令隨機變量η＝|ξ﹣E（ξ，則（）A．E（η）＜（ξ）B．（η）＞E（ξC．（η）＜D（ξ）D．D（η）＞（ξ）8平面上兩點﹣2B的直線l上滿足的點P個數為（）A．0C．29．已知α，

B．1D．與直線l的斜率有關，α≠β，α﹣β＝sinα﹣2sinβ，則下列結論一定成立的是（）A．B．C．α＞βD．α＜β10．已知正方體﹣A''C'D'的棱長為1，點M，別為線段AB'，的動點，點T平面BCC''內，則||+|NT|的最小值是（）A．B．C．D．1二、填題（共7題，單空題3分，雙空題6，共）11．已知函數

的定義域為．12．已知直線﹣+8＝0m＞0）和圓O：2+y＝25相交于，點，若△的面

積為12，則AB長度為，m＝．13．在二項式

的展開式中，x

的項是；系數為有理數的項的二項式系數的和為．14．已知△ABC中，內角A，，C對邊分別是，，c，且，b，D是AC邊上近A的三等分點，且2∠＝∠CBD，則∠＝，BC＝．15．已知函數（）＝2|2

﹣x+a|+|x

﹣4x+a|，若對任意的∈（1）不等式（）≥（a﹣1）恒成立，則實a最大值為．16知拋物線2

＝2px的焦點為點是該拋物線上的點，

，，線段AB中點M拋物線的準線上的射影為N，則

的最大值為．17．已知單位向量，，滿足為．

，則

的最大值為，最小值三、答題本大題共5小題共74．解答應寫文字說明、證明過或演算程）18．已知（Ⅰ）求f（）的單調增區(qū)間；

的最大值為2，其中＞0，（Ⅱ）在△中，內角，，對邊分別為，，，且的值．

，求（A）19．如圖，圓錐頂點為P，其母線長3，點、、、都在底面O，且BC＝3，，∠＝∠PAC；設E、分別是母線PB、靠近B、的三等分點，并且平面交母線PM于點．（Ⅰ）證明：AP⊥；（Ⅱ）當∠＝60°時，求PT平面AEF所成角的正弦值．20．已知數列{a}為各項非零等差數列，其前項和為S滿足Snn2﹣1

＝a2n

．

（Ⅰ）求數列{a}的通項公式n（Ⅱ）記bn21．如圖，已知橢圓E：

，求數列的前n項和Tnn＝1，離心率為，

為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一動點Q△PFF內心，連接P，Q延長交x于點12M．（Ⅰ）求橢圓E方程；（Ⅱ）設eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)QM，△FQP的面積分別為S，，求1212

的取值范圍．22．已知函數f（）＝．（Ⅰ）若af（）≤e﹣1

﹣1恒成立，求實數a的值；（Ⅱ）若關于x方程f（2

）﹣x+

＝0有四個不同的實數根，則實數取值范圍．

參考答一、選題（共10題）1．已知集合A＝{|0＜x，x∈N*}，＝{|1＜x，x∈N*}，則A∪＝（）A．{2}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．（0，4]解：∵A＝{|0＜≤2，x∈N*}＝{1，2}，＝{|1＜≤4，x∈N*}＝{2，3，4}，∴A∪＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}故選：B．2．若＝3+i，則a＝（）A．2B．2i解：因為，所以2+ai＝（3+）（1+i＝2+4i，所以a＝4．故選：C．

C．4D．4i3．若實數x，滿足約束條件，則z+y最小值時x＝（A．﹣7B．﹣5C．﹣3D．﹣1

）解：畫出約束條件

表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示：目標函數z＝2+y可化為y＝﹣2+z，平移直線y＝+z知，

直線過點A，直線在y軸上的截距最小，由，解得點A﹣3，﹣1），所以z＝2+y取得最小值時x＝﹣3．故選：C．4．函數

的圖像可能是（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣f（），∴函數f（）為奇函數，排除選項C和D，取x，∵sin（0.01+故選：A．

）＞cos（0.01+），（0.01）＜0，排除選項．5如圖某四棱錐的三視單位如圖所示則該四棱錐的最長的棱長（）cm

A．B．2C．D．解：由三視圖知，該幾何體是四棱錐，且一條側垂直于底面，底面是俯視圖對應的圖形，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：結合圖中數據知，該四棱錐的高為＝底面對角線AC＝＝2，

，所以最長棱的長為＝故選：C．

＝

．6．已知數列{a}滿足＝sinan∈Nnnn

，若對任意n∈N

，都a≤，則下列可能成+1n立的是（）A．a＝1B．a﹣1C．a＝﹣2D．123解：令f（）＝﹣sinx，則f′（）＝1﹣cosx，∴f（）在x∈R時單調遞增，又f（0）＝0，∴當x≥0時，恒有f（）≥0，即當x≥0時，恒有x≥sin，∵a≤aa＝sina，∈N*+1n+1n

，

∴sinaa，可得a，則滿足條件的只有選項A，nnn故選：A．7．已知隨機變量ξ滿足（ξ＝0）＝1﹣，（ξ＝1）＝，且＜p＜1，令隨機變量η＝|ξ﹣E（ξ，則（）A．E（η）＜（ξ）B．（η）＞E（ξC．（η）＜D（ξ）D．D（η）＞（ξ）解：依題意，隨機變量ξ服從兩點分布，故（ξ）＝，D（ξ）＝（1﹣），又η＝|ξ﹣（ξ）|，所以η取值為，1﹣，且（η＝p）＝1﹣，（η＝1﹣p）＝p，所以E（η）＝（1﹣p（1﹣p）＝2p（1﹣），D（η）E（η）﹣（η）＝[p2

（1﹣）+（1﹣）2]﹣[2（1﹣）]2

＝p（1﹣p）[1﹣4（1﹣）]，∴（η）﹣（ξ）＝2（1﹣p）﹣p＝﹣2p

＝（1﹣2p），可能為正也可能為負，即E（η）和（ξ）大小關系不確定；∵0＜p，∴（η）﹣（ξ）＝p（1p﹣4p（1﹣）]（p﹣2

）＝2（1﹣p）

＜0，∴D（η）＜D（ξ）．故選：C．8平面上兩點﹣2B的直線l上滿足的點P個數為（）A．0C．2解：由

，得

B．1D．與直線l的斜率有關，可得

，即，設P（，y），得（+2）2

+y

＝4（x﹣1）

+4y

，整理得（x﹣2）+2＝4，故點P的個數即為圓的交點個數．由于直線l定點（1，0），且在圓內，所以直線與圓有兩個交點，故選：C．9．已知α，立的是（）

，α≠β，α﹣β＝sinα﹣2sinβ，則下列結論一定成

A．解：由

B．C．α＞βD．α＜β，可知sinβ＞0，e﹣＝sinα﹣2sinβα﹣sinβ，整理可得：e﹣sinα＜e﹣sinβ，構造函數f（）＝e﹣sinx，，f′x）＝e﹣cosx，故f（）在∴α＜β．而α+β的大小不能確定．故結論一定成立的是D故選：D．

上單調遞增，10．已知正方體﹣A''C'D'的棱長為1，點M，別為線段AB'，的動點，點T平面BCC''內，則||+|NT|的最小值是（）A．B．C．D．1解：A關于BC的對稱點為E，關于對稱點為N'，設d異面直線AB'與CE之間的距離，則|MT|+||＝|MT|+|'|≥|MN'|≥，因為CE∥，∥D′′，所以CE∥′D′，又因為eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)′D′為正三角形，所以∠′D′＝60°，所以直線AB'與成角為60°，四面體AB'體積

，又因為所以，解得，

，所以|MT|+||的最小值為故選：B．

，

二、填題（本大題7小題，單空題3分，雙空每題6，共36分）11．已知函數

的定義域為{|＞1或x＜﹣1}．解：要使

有意義，則x

＞1，解得x＞1或＜﹣1．∴函數的定義域為{x|＞1或x＜﹣1}．故答案為：{x|＞1或x＜﹣1}．12．已知直線﹣+8＝0m＞0）和圓O：2+y＝25相交于，點，若△的面積為12，則AB長度為6或8，m＝

或．解：設AB長度為2n，圓心O直線AB的距離為d，由△的面積為12，可得當n＝3時，d＝4，則

，解得

，則＝3或n＝4，（m＞0）；當n＝4時，d＝3，則

，解得

（m

＞0）．故答案為：6或8；

或

．13．在二項式

的展開式中，含7

的項是1087

；系數為有理數的項的二項式系數的和為256．解：二項式

的展開式中，通項公式為T＝+1

x﹣r

，

則含x項是而系數為有理數的項為奇數項，

，其二項式系數的和

．故答案為：108x

；256．14．已知△ABC中，內角A，，C對邊分別是，，c，且邊上近A的三等分點，且2∠＝∠CBD，則∠＝解：如圖，令∠1＝∠，∠2＝∠CBD，

，b＝6，DAC，BC＝．在△內，根據正弦定理可得在△BCD，，兩等式相除可得因為，由正弦定理可得

，

，，則

＝

＝，所以

，，

，因此

，則2

＝b

＝a

+c

，則故答案為：

，；．

．15．已知函數（）＝2|2

﹣x+a|+|x

﹣4x+a|，若對任意的∈（1）不等式（）≥（a﹣1）恒成立，則實a最大值為25．解：∵x∈，），∴x

＞x，∴f（）＝2|2

﹣x+|+|x

﹣4x+a|＝2（2

﹣x+）+|2

﹣4x+a|，

不等式f（）≥（a）x化為2（2﹣x+）+|2﹣4+|≥（a﹣1），即|x

﹣4x+a|≥﹣2x

+（a+1）﹣2，∴x

﹣4x+a≥﹣2x

+（a+1）﹣2，或2

﹣4x+≤22

﹣（a+1）+2，即3x

﹣（a+5）+3a①，或2

﹣（a﹣3）+a≥0在∈（1，a）上恒成立．若3x

﹣（a+5）+3a在∈（1，a）上恒成立，令g（）＝32

﹣（a+5）+3，∵x∈，a），∴1＜＜a，則，即，得1＜≤25；若x

﹣（a﹣3）+a在∈（1，a）上恒成立，令h（）＝x

﹣（a﹣3）+，∵x∈，a），∴＜a，則∴

或，或，得1＜a≤9，綜上，實數a取值范圍為（1，25]，a的最大值為25．故答案為：25．16知拋物線2

＝2px的焦點為點是該拋物線上的點，

，

，線段AB中點M拋物線的準線上的射影為N，則，得AF⊥，解：如圖所示，由

的最大值為3

．設|AF|＝，|BF|＝，又

，則

，而根據拋物線的性質可得||＝∵，

＝

＝，∴故答案為：．

，則|MN|的最大值為．

17．已知單位向量，，滿足﹣．解：利用三角不等式，得；另一方面，∴，

，則

的最大值為1，最小值為，即，即，∵，為單位向量，∴

，兩邊平方得，4≤

，得：故答案為：1；

．．三、答題本大題共5小題共74．解答應寫文字說明、證明過或演算程）18．已知（Ⅰ）求f（）的單調增區(qū)間；

的最大值為2，其中＞0，（Ⅱ）在△中，內角，，對邊分別為，，，且的值．解：（I）＝

，求（A）＝∴

sin（2x+φ），其中tanφ＝，，∵m＞0，∴，

∴，，k∈Z，令，k∈Z，解得∴f（）的單調增區(qū)間為（II）已知，由正弦定理可得即sinAcosC＝2sincosA﹣sincosA，即sinAcosC+sincos＝2sinBcos，即sin（A+）＝2sinBcosA，即sinBcosA，又sinB≠0，∴，∴，

，∈Z

，∴

＝2sin＝1．19．如圖，圓錐頂點為P，其母線長3，點、、、都在底面O，且BC＝3，，∠＝∠PAC；設E、分別是母線PB、靠近B、的三等分點，并且平面交母線PM于點．（Ⅰ）證明：AP⊥；（Ⅱ）當∠＝60°時，求PT平面AEF所成角的正弦值．解：（I）證明：在圓錐PO，PO⊥面ABCPO⊥，，連結AMBC，則⊥BC，又AO∩＝O，則BC⊥，

又E、分別是靠近BC三等分點．（II）由∠得△、△都為正三角形，則＝AC＝BC，如圖以O為原點，垂直于AM所在的直線為，OM在的直線為y，OP在的直線為z建立空間直角坐標系，則∴∴∴

，，，，，，∴，設

平

面

AEF

的

法

向

量，

則又為θ，∴

，，設PT平面AEF所成角為θ，則PM平面AEF成角也．20．已知數列{a}為各項非零等差數列，其前項和為S滿足Snn2﹣1

＝a2n

．（Ⅰ）求數列{a}的通項公式n（Ⅱ）記bn

，求數列的前n項和Tnn解：（I）由題設可得：

，

∵a≠0，n∴a＝2n﹣1；n（

II

）

由（Ⅰ）

可

得：，n為偶數時，n為奇數時，綜上，T．n21．如圖，已知橢圓E：＝1，離心率為，

，，為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一動點Q△PFF內心，連接P，Q延長交x于點12M．（Ⅰ）求橢圓E方程；（Ⅱ）設eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)QM，△FQP的面積分別為S，，求1212

的取值范圍．解：（I）因為離心率為又因為

，故，為橢圓的左右焦點，故

，所以橢圓

．（Ⅱ）因為Q△PFF的內心，故Q△PFF內角角平分線交點，1212

故根據角平分線定理可知，，，∴，設eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)QM，△FQP以PQ，為底邊的高為h，1212，∵，設P（，y）∴PF+ex，PFa﹣001020∴∵P橢圓上一動點，且構成三角形，故x∈（，2），0

，∴22．已知函數f（）＝．

．（Ⅰ）若af（）≤e﹣1

﹣1恒成立，求實數a的值；（Ⅱ）若關于x方程f（2

）﹣x+

＝0有四個不同的實數根，則實數取值范圍．解：（I）（）＝（）﹣e﹣1

+1＝alnx﹣x

+1，′（x）＝﹣e﹣1

，又g（）