高中數(shù)學人教A版5柯西不等式與排序不等式一二維形式的柯西不等式

一二維形式的柯西不等式1．認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義．(難點)2．通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題．(重點)[基礎·初探]教材整理二維形式的柯西不等式閱讀教材P31～P36，完成下列問題．內(nèi)容等號成立的條件代數(shù)形式若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2當且僅當ad＝bc時，等號成立向量形式設α，β是兩個向量，則|α·β|≤|α||β|當且僅當β是零向量，或存在實數(shù)k，使α＝kβ時，等號成立三角形式設x1，y1，x2，y2∈R，那么eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＋eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))≥eq\r(x1－x22＋y1－y22)當且僅當P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三點共線且P1，P2在點O兩旁時，等號成立已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是()\f(5,6) \f(6,5)\f(25,36) \f(36,25)【解析】2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)))·eq\f(6,5)≥eq\f(6,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)x·\f(\r(2),2)＋\r(3)y·\f(\r(3),3)))eq\s\up10(2)＝eq\f(6,5)(x＋y)2＝eq\f(6,5).【答案】B[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]二維柯西不等式的向量形式及應用已知p，q均為正數(shù)，且p3＋q3＝2.求證：p＋q≤2.【精彩點撥】為了利用柯西不等式的向量形式，可分別構(gòu)造兩個向量．【自主解答】設m＝peq\s\up10(\f(3,2))，qeq\s\up10(\f(3,2))，n＝(peq\s\up12(\f(1,2))，qeq\s\up12(\f(1,2)))，則p2＋q2＝peq\s\up12(\f(3,2))peq\s\up12(\f(1,2))＋qeq\s\up12(\f(3,2))qeq\s\up12(\f(1,2))＝|m·n|≤|m||n|＝eq\r(p3＋q3)·eq\r(p＋q)＝eq\r(2)eq\r(p＋q).又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，∴eq\f(p＋q2,2)≤p2＋q2≤eq\r(2)eq\r(p＋q)，∴eq\f(p＋q2,2)≤eq\r(2)·eq\r(p＋q)，則(p＋q)4≤8(p＋q)．又p＋q>0，∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2.使用二維柯西不等式的向量形式證明不等式，關鍵是合理構(gòu)造出兩個向量．同時，要注意向量模的計算公式|a|＝eq\r(x2＋y2)對數(shù)學式子變形的影響．[再練一題]1．若本例的條件中，把“p3＋q3＝2”改為“p2＋q2＝2”，試判斷結(jié)論是否仍然成立？【解】設m＝(p，q)，n＝(1,1)，則p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝eq\r(p2＋q2)·eq\r(12＋12).又p2＋q2＝2.∴p＋q≤eq\r(2)·eq\r(2)＝2.故仍有結(jié)論p＋q≤2成立.運用柯西不等式求最值若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．【精彩點撥】由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構(gòu)造(12＋12)作為一個因式而解決問題．【自主解答】由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.∴4x2＋9y2≥eq\f(1,2)，當且僅當2x×1＝3y×1，即x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,6)時取等號．∴4x2＋9y2的最小值為eq\f(1,2).1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等號成立的條件，而且要善于配湊，保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果．2．常用的配湊的技巧有：①巧拆常數(shù)；②重新安排某些項的次序；③適當添項；④適當改變結(jié)構(gòu)，從而達到運用柯西不等式求最值的目的．[再練一題]2．若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點.【導學號：32750048】【解】由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4.所以x2＋y2≥eq\f(4,25)，當且僅當eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)時，“＝”成立．為求最小值點，需解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝2，,\f(x,3)＝\f(y,4)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6,25)，,y＝\f(8,25).))因此，當x＝eq\f(6,25)，y＝eq\f(8,25)時，x2＋y2取得最小值，最小值為eq\f(4,25)，最小值點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,25)，\f(8,25))).[探究共研型]二維柯西不等式代數(shù)形式的應用探究在二維形式的柯西不等式中，取等號的條件可以寫成eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)嗎？【提示】不可以．當b·d＝0時，柯西不等式成立，但eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)不成立．已知|3x＋4y|＝5，求證：x2＋y2≥1.【精彩點撥】探求已知條件與待證不等式之間的關系，設法構(gòu)造柯西不等式進行證明．【自主解答】由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥eq\f(3x＋4y2,32＋42).又因為|3x＋4y|＝5，所以eq\f(3x＋4y2,32＋42)＝1，即x2＋y2≥1.1．利用二維形式的柯西不等式證明時，要抓住柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，必要時，需要將數(shù)學表達式適當變形．2．變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據(jù)題設條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結(jié)合等方法才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，找到突破口．[再練一題]3．設a，b∈R＋且a＋b＝2.求證：eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥2.【證明】根據(jù)柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2－a)＋\f(b2,2－b)))＝[(eq\r(2－a))2＋(eq\r(2－b))2][eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2－a))))eq\s\up10(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(2－b))))eq\s\up10(2)]≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2－a)·\f(a,\r(2－a))＋\r(2－b)·\f(b,\r(2－b))))eq\s\up10(2)＝(a＋b)2＝4.∴eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥eq\f(4,2－a＋2－b)＝2，當且僅當eq\r(2－a)·eq\f(b,\r(2－b))＝eq\r(2－b)·eq\f(a,\r(2－a))，即a＝b＝1時等號成立．∴eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥2.[構(gòu)建·體系]二維柯西不等式—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(代數(shù)形式),—\x(向量形式),—\x(三角形式),—\x(柯西不等式求最值)))1．設x，y∈R，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為()\r(13) B．169C．13 【解析】(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.【答案】C2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2的最大值是()【導學號：32750049】A．2eq\r(6) \r(6)C．6 【解析】(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2＝(1×eq\r(4a＋1)＋1×eq\r(4b＋1))2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，當且僅當eq\r(4b＋1)＝eq\r(4a＋1)，即a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立．故選D.【答案】D3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，則向量b＝________.【解析】|a|＝eq\r(42＋－32)＝5，且|b|＝1，∴a·b＝|a|·|b|，因此，b與a共線，且方向相同，∴b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))4．已知x，y＞0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))的最小值為4，則xy＝________.【解析】∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1·1＋\r(\f(1,xy))))eq\s\up10(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(xy))))eq\s\up10(2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(xy))))eq\s\up10(2)＝4.又eq\r(xy)＞0，∴eq\r(xy)＝1，∴xy＝1.【答案】15．已知x，y，a，b∈R＋，且eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，求x＋y的最小值．【解】構(gòu)造兩組實數(shù)eq\r(x)，eq\r(y)；eq\r(\f(a,x))，eq\r(\f(b,y)).∵x，y，a，b∈R＋，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，∴x＋y＝[(eq\r(x))2＋(eq\r(y))2]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,x))))eq\s\up10(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b,y))))eq\s\up10(2)≥(eq\r(a)＋eq\r(b))2，當且僅當eq\r(x)∶eq\r(\f(a,x))＝eq\r(y)∶eq\r(\f(b,y))，即eq\f(x,y)＝eq\r(\f(a,b))時取等號，∴(x＋y)min＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.我還有這些不足：(1)