高中數(shù)學(xué)蘇教版1第1章常用邏輯用語(yǔ)第1章

1．含有一個(gè)量詞的命題的否定[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.通過(guò)探究數(shù)學(xué)中一些實(shí)例，使學(xué)生歸納總結(jié)出含有一個(gè)量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)律.2.通過(guò)例題和習(xí)題的教學(xué)，使學(xué)生能夠根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)律，正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定．[知識(shí)鏈接]你能?chē)L試寫(xiě)出下面含有一個(gè)量詞的命題的否定嗎？(1)所有矩形都是平行四邊形；(2)每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.答：(1)存在一個(gè)矩形不是平行四邊形；(2)存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)；(3)?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2x0＋1<0.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．全稱命題的否定全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?∈M，綈p(x)．2．存在性命題的否定存在性命題p：?∈M，p(x)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．3．全稱命題的否定是存在性命題．存在性命題的否定是全稱命題．要點(diǎn)一全稱命題的否定例1寫(xiě)出下列命題的否定：(1)任何一個(gè)平行四邊形的對(duì)邊都平行；(2)數(shù)列{1,2,3,4,5}中的每一項(xiàng)都是偶數(shù)；(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；(4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0.解(1)是全稱命題，其否定：存在一個(gè)平行四邊形的對(duì)邊不都平行．(2)是全稱命題，其否定：數(shù)列{1,2,3,4,5}中至少有一項(xiàng)不是偶數(shù)．(3)是全稱命題，其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在．(4)是全稱命題，其否定：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.規(guī)律方法全稱命題的否定是存在性命題，對(duì)省略全稱量詞的全稱命題可補(bǔ)上量詞后進(jìn)行否定．跟蹤演練1寫(xiě)出下列全稱命題的否定：(1)p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；(2)p：每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；(3)p：對(duì)任意x∈Z，x2的個(gè)位數(shù)字不等于3.解(1)綈p：存在一個(gè)能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù)．(2)綈p：存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓．(3)綈p：?x∈Z，x2的個(gè)位數(shù)字等于3.要點(diǎn)二存在性命題的否定例2寫(xiě)出下列存在性命題的否定．(1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有的實(shí)數(shù)沒(méi)有平方根；(3)p：我們班上有的學(xué)生不會(huì)用電腦．解(1)綈p：?x>1，x2－2x－3≠0.(2)綈p：所有的實(shí)數(shù)都有平方根．(3)綈p：我們班上所有的學(xué)生都會(huì)用電腦．規(guī)律方法存在性命題的否定是全稱命題，寫(xiě)命題的否定時(shí)要分別改變其中的量詞和判斷詞．即p：?x∈M，p(x)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立．跟蹤演練2寫(xiě)出下列存在性命題的否定：(1)p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0；(2)p：有的三角形是等邊三角形；(3)p：有一個(gè)素?cái)?shù)含三個(gè)正因數(shù)．解(1)綈p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)綈p：所有的三角形都不是等邊三角形．(3)綈p：每一個(gè)素?cái)?shù)都不含三個(gè)正因數(shù)．要點(diǎn)三存在性命題、全稱命題的綜合應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使得f(c)>0.求實(shí)數(shù)p的取值范圍．解如圖，在區(qū)間[－1,1]中至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使得f(c)>0的否定是在[－1,1]上的所有實(shí)數(shù)x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函數(shù)的圖象特征可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋2p－2－2p2－p＋1≤0，,4－2p－2－2p2－p＋1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p≥1或p≤－\f(1,2)，,p≥\f(3,2)或p≤－3.))∴p≥eq\f(3,2)或p≤－3.故p的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2))).規(guī)律方法通常對(duì)于“至多”“至少”的命題，應(yīng)采用逆向思維的方法處理，先考慮命題的否定，求出相應(yīng)的集合，再求集合的補(bǔ)集，可避免煩雜的運(yùn)算．跟蹤演練3若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是__________________．答案(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))解析依題意有：0<a2－1<1?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1>0，,a2－1<1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或a>1，,－\r(2)<a<\r(2)))?－eq\r(2)<a<－1或1<a<eq\r(2).1．命題p：“存在實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)數(shù)根”，則“綈p”形式的命題是________________________．答案對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根解析命題p是存在性命題，其否定形式為全稱命題，即綈p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無(wú)實(shí)根．2．對(duì)下列命題的否定說(shuō)法錯(cuò)誤的是________．①p：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；綈p：存在一個(gè)能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)；②p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形為正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形；④p：?x∈R，x2＋x＋2≤0；綈p：?x∈R，x2＋x＋2＞0.答案③解析“有的三角形為正三角形”為存在性命題，其否定為全稱命題：“所有的三角形都不是正三角形”，故③錯(cuò)誤．3．下列命題中的假命題是________．①?x∈R,2x－1>0②?x∈N*，(x－1)2>0③?x∈R，lgx<1④?x∈R，tanx＝2答案②解析①中命題是全稱命題，易知2x－1>0恒成立，故是真命題；②中命題是全稱命題，當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)2＝0，故是假命題；③中命題是存在性命題，當(dāng)x＝1時(shí)，lgx＝0，故是真命題；④中命題是存在性命題，依據(jù)正切函數(shù)定義，可知是真命題．4．命題“零向量與任意向量共線”的否定為_(kāi)_________________________________．答案有的向量與零向量不共線解析命題“零向量與任意向量共線”即“任意向量與零向量共線”，是全稱命題，其否定為存在性命題：“有的向量與零向量不共線”．對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定要注意以下問(wèn)題：(1)確定命題類(lèi)型，是全稱命題還是存在性命題．(2)改變量詞：把全稱量詞改為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~；把存在量詞改為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞．(3)否定結(jié)論：原命題中的“是”“有”“存在”“成立”等改為“不是”“沒(méi)有”“不存在”“不成立”等．(4)無(wú)量詞的全稱命題要先補(bǔ)回量詞再否定．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．下列命題中，不是全稱命題的是________．①a＋b＝b＋a；②?x∈R,2x＋1是奇數(shù)；③若sinx＝eq\f(1,2)，則x＝30°；④平行四邊形的對(duì)角線互相平分．答案③解析③是存在性命題．2．下列全稱命題中真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．①末位是0的整數(shù)，可以被2整除；②角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；③正四面體中兩側(cè)面的夾角相等．答案3解析①為真命題；②由角平分線的性質(zhì)知是真命題；③是真命題．3．下列存在性命題是假命題的是________．①有些不相似的三角形面積相等；②存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋x＋1≤0；③存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大；④有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身．答案②解析對(duì)于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0恒成立．4．命題“一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”的否定是________________．答案有些一次函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)解析命題的否定只對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．5．命題“對(duì)任意x∈R，都有x2≥0”的否定為_(kāi)_______．答案存在x∈R，使得x2＜0解析全稱命題的否定是存在性命題．6．已知命題p：“a＝1”是“?x>0，x＋eq\f(a,x)≥2”的充要條件，命題q：?x∈R，x2＋x－1>0.則下列結(jié)論中正確的是________．①命題“p∧q”是真命題②命題“p∧綈q”是真命題③命題“綈p∧q”是真命題④命題“綈p∨綈q”是假命題答案③解析a＝1?x＋eq\f(a,x)＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，顯然a＝2時(shí)也能推出“?x>0，x＋eq\f(a,x)≥2”成立，所以“a＝1”是“?x>0，x＋eq\f(a,x)≥2”的充分不必要條件，故p是假命題，而q是真命題，故③正確．7．判斷下列命題的真假，并寫(xiě)出這些命題的否定：(1)三角形的內(nèi)角和為180°；(2)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開(kāi)口向下；(3)存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形．解(1)是全稱命題且為真命題．命題的否定：三角形的內(nèi)角和不全為180°，即存在一個(gè)三角形其內(nèi)角和不等于180°.(2)是全稱命題且為假命題．命題的否定：存在一個(gè)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口不向下．(3)是存在性命題且為真命題．命題的否定：任意一個(gè)四邊形都是平行四邊形．二、能力提升8．命題“對(duì)任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________．答案存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3解析由定義知命題的否定為“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．9．已知命題q：“三角形有且僅有一個(gè)外接圓”則綈q為“________________________”．答案存在一個(gè)三角形有兩個(gè)或兩個(gè)以上的外接圓或沒(méi)有外接圓解析全稱命題的否定是存在性命題．10．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案[3,8)解析因?yàn)閜(1)是假命題，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因?yàn)閜(2)是真命題，所以4＋4－m>0，解得m<8，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3,8)．11．命題p是“對(duì)某些實(shí)數(shù)x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a、b是常數(shù)．(1)寫(xiě)出命題p的否定；(2)當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，命題p的否定為真？解(1)命題p的否定：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有x－a≤0且x－b>0.(2)要使命題p的否定為真，需要使不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－a≤0，,x－b>0))的解集不為空集，通過(guò)畫(huà)數(shù)軸可看出，a、b應(yīng)滿足的條件是b<a.12．已知命題p：“至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”為真，試求參數(shù)a的取值范圍．解由已知得綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．∴設(shè)f(x)＝x2＋2ax＋2－a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0，,f2≤0，))