高中數(shù)學人教A版1第二章圓錐曲線與方程單元測試【省一等獎】

第二章圓錐曲線與方程測試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．如果拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線3x－4y－12＝0上，那么拋物線的方程是（）A．y2＝－16xB．y2＝12xC．y2＝16xD．y2＝－12x2．設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且|PF1|＝5，則|PF2|＝（）A．5B．3C．7D．3或73．已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點，橢圓上一點M到F1的距離是2，N是MF1的中點，則|ON|的長為（）A．1B．2C．3D．44．“2<m<6”是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的焦距為4，一個頂點是拋物線y2＝4x的焦點，則雙曲線的離心率e等于（）A．2B．eq\r(3)C．eq\f(3,2)D．eq\r(2)6．已知點A（3，4），F(xiàn)是拋物線y2＝8x的焦點，M是拋物線上的動點，當|AM|＋|MF|最小時，M點坐標是（）A．（0，0）B．（3，2eq\r(6)）C．（3，－2eq\r(6)）D．（2，4）7．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的離心率為eq\f(\r(5),2)，則橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率為（）A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(2),2)8．設F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于（）A．4eq\r(2)B．8eq\r(3)C．24D．489．已知點A（1，2）是拋物線C：y2＝2px與直線l：y＝k（x＋1）的一個交點，則拋物線C的焦點到直線l的距離是（）A．eq\f(\r(2),2)B．eq\r(2)C．eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)10．若點O和點F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為（）A．6B．3C．2D．811．已知以F1（－2，0），F(xiàn)2（2，0）為焦點的橢圓與直線x＋eq\r(3)y＋4＝0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（）A．3eq\r(2)B．2eq\r(6)C．2eq\r(7)D．eq\r(7)12．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，過F1作圓x2+y2=a2的切線交雙曲線的左、右支分別于點B、C，且|BC|=|CF2|，則雙曲線的漸近線方程為（）A．y=±3xB．y=±2xC．y=±（1+）xD．y=±（－1）x二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上）13．拋物線y＝4x2的焦點到準線的距離是＿＿＿＿＿．14．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是＿＿＿＿＿．15．若點P在曲線C1：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，點Q在曲線C2：（x－5）2＋y2＝1上，點R在曲線C3：（x＋5）2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是＿＿＿＿＿．16．已知點P是拋物線y2＝2x上的動點，點P到準線的距離為d，且點P在y軸上的射影是M，點A（eq\f(7,2)，4），則|PA|＋|PM|的最小值是＿＿＿＿＿．17．已知F1為橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦點，直線l：y＝x－1與橢圓C交于A、B兩點，則|F1A|＋|F1B|的值為＿＿＿＿＿．18．過拋物線y2=2px（p>0）的焦點作斜率為的直線與該拋物線交于A，B兩點，A，B在y軸上的正射影分別為D，C，若梯形ABCD的面積為10，則p=＿＿＿＿＿．三、解答題（本大題共6小題，共60分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（10分）已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)x，并且焦點都在圓x2＋y2＝100上，求雙曲線方程．20．（10分）已知點P（3，4）是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，若PF1⊥PF2．試求：（1）橢圓的方程；（2）△PF1F2的面積．21．（10分）拋物線y2＝2px（p>0）有一個內(nèi)接直角三角形，直角頂點是原點，一條直角邊所在直線方程為y＝2x，斜邊長為5eq\r(13)，求此拋物線方程．22．（10分）已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸上，設A、B是拋物線C上的兩個動點（AB不垂直于x軸），且|AF|＋|BF|＝8，線段AB的垂直平分線恒經(jīng)過定點Q（6，0），求此拋物線的方程．23．（10分）設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1（a>0）與直線l：x＋y＝1相交于兩點A、B．（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍；（2）設直線l與y軸的交點為P，且eq\o(PA,\s\up10(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up10(→))，求a的值．24．（10分）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a>b>0）的離心率為eq\f(\r(6),3)，且經(jīng)過點（eq\f(3,2)，eq\f(1,2)）．（1）求橢圓C的方程；（2）過點P（0，2）的直線交橢圓C于A，B兩點，求△AOB（O為原點）面積的最大值．參考答案一、選擇題1．C2．D3．D4．B5．A6．D7．C8．C9．B10．A11．C12．C提示：1．由題設知直線3x－4y－12＝0與x軸的交點（4，0）即為拋物線的焦點，故其方程為y2＝16x．2．因為雙曲線的定義可得||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝7或3．3．由題意知|MF2|＝10－|MF1|＝8，ON是△MF1F2的中位線，所以|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝4．4．若eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))所以2<m<6且m≠4，故2<m<6是eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓的必要不充分條件．5．依題意，得c＝2，a＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝2．6．由題知點A在拋物線內(nèi)．設M到準線的距離為|MK|，則|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，當|MA|＋|MK|最小時，M點坐標是（2，4）．7．因為在雙曲線中，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，在橢圓中，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，所以橢圓的離心率e＝eq\f(\r(3),2)．8．由P是雙曲線上的一點和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2為直角三角形，所以△PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)×6×8＝24．9．將點（1，2）代入y2＝2px中，可得p＝2，即得拋物線y2＝4x，其焦點坐標為（1，0），將點（1，2）代入y＝k（x＋1）中，可得k＝1，即得直線x－y＋1＝0，所以拋物線C的焦點到直線l的距離d＝eq\f(|1－0＋1|,\r(2))＝eq\r(2)．10．由橢圓方程得F（－1，0），設P（x0，y0），則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝（x0，y0）·（x0＋1，y0）＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋yeq\o\al(2,0)，因為P為橢圓上一點，所以eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋3（1－eq\f(x\o\al(2,0),4)）＝eq\f(x\o\al(2,0),4)＋x0＋3＝eq\f(1,4)（x0＋2）2＋2，因為－2≤x0≤2，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值在x0＝2時取得，且最大值等于6．11．根據(jù)題意設橢圓方程為eq\f(x2,b2＋4)＋eq\f(y2,b2)＝1（b>0），則將x＝－eq\r(3)y－4代入橢圓方程，得4（b2＋1）y2＋8eq\r(3)b2y－b4＋12b2＝0，因為橢圓與直線x＋eq\r(3)y＋4＝0有且僅有一個交點，所以Δ＝（8eq\r(3)b2）2－4×4（b2＋1）（－b4＋12b2）＝0，即（b2＋4）·（b2－3）＝0，所以b2＝3，長軸長為2eq\r(b2＋4)＝2eq\r(7)．12．根據(jù)雙曲線的定義有|CF1|－|CF2|=2a，而|BC|=|CF2|，那么2a=|CF1|－|CF2|=|CF1|－|BC|=|BF1|，而又由雙曲線的定義有|BF2|－|BF1|=2a，可得|BF2|=4a，由于過F1作圓x2+y2=a2的切線交雙曲線的左、右支分別于點B、C，那么sin∠BF1F2=，那么cos∠BF1F2=，根據(jù)余弦定理有cos∠BF1F2==，整理有b2－2ab－2a2=0，即（）2－2－2=0，解得=1+（=1－<0舍去），故雙曲線的漸近線方程為y=±x=±（1+）x．二、填空題13．eq\f(1,8)14．eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝115．1016．eq\f(9,2)17．eq\f(8\r(2),3)18．3提示：13．由x2＝eq\f(1,4)y知，p＝eq\f(1,8)，所以焦點到準線的距離為p＝eq\f(1,8)．14．依題意知：2a＝18，所以a＝9，2c＝eq\f(1,3)×2a，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝81－9＝72，所以橢圓方程為eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1．15．依題意得，點F1（－5，0）、F2（5，0）分別為雙曲線C1的左、右焦點，因此有|PQ|－|PR|≤|（|PF2|＋1）－（|PF1|－1）|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．16．設拋物線y2＝2x的焦點為F，則F（eq\f(1,2)，0），又點A（eq\f(7,2)，4）在拋物線的外側，拋物線的準線方程為x＝－eq\f(1,2)，則|PM|＝d－eq\f(1,2)，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥eq\f(9,2)．17．設點A（x1，y1），B（x2，y2），則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x－1，))消去y整理得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(4,3)，易得點A（0，－1）、B（eq\f(4,3)，eq\f(1,3)）．又點F1（－1，0），因此|F1A|＋|F1B|＝eq\r(12＋－12)＋eq\r(\f(7,3)2＋\f(1,3)2)＝eq\f(8\r(2),3)．18．由拋物線y2=2px（p>0）得其焦點F（，0），直線AB的方程為y=（x－），設A（x1，y1），B（x2，y2）（假定x2>x1），由題意可知y1<0，y2>0，聯(lián)立，整理有y2－2py－p2=0，可得y1+y2=，y1y2=－p2，則有x1+x2=，而梯形ABCD的面積為S=（x1+x2）（y2－y1）==10，整理有p2=9，而p>0，故p=3．三、解答題19．解：設雙曲線的方程為42·x2－32·y2＝λ（λ≠0），從而有（eq\f(\r(|λ|),4)）2＋（eq\f(\r(|λ|),3)）2＝100，解得λ＝±576，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1和eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1．20．解：（1）因為P點在橢圓上，所以eq\f(9,a2)＋eq\f(16,b2)＝1，①又PF1⊥PF2，所以eq\f(4,3＋c)·eq\f(4,3－c)＝－1，得：c2＝25，②又a2＝b2＋c2，③由①②③得a2＝45，b2＝20，則橢圓方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1；（2）S＝eq\f(1,2)|F1F2|×4＝5×4＝20．21．解：設拋物線y2＝2px（p>0）的內(nèi)接直角三角形為AOB，直角邊OA所在直線方程為y＝2x，另一直角邊所在直線方程為y＝－eq\f(1,2)x，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y2＝2px，))可得點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))；解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,y2＝2px，))可得點B的坐標為（8p，－4p）．因為|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝5eq\r(13)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p2,4)＋p2))＋（64p2＋16p2）＝325，所以p＝2，所以所求的拋物線方程為y2＝4x．22．解：設拋物線的方程為y2＝2px（p>0），其準線方程為x＝－eq\f(p,2)，設A（x1，y1），B（x2，y2），因為|AF|＋|BF|＝8，所以x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝8，即x1＋x2＝8－p，因為Q（6，0）在線段AB的中垂線上，所以QA＝QB，即（x1－6）2＋yeq\o\al(2,1)＝（x2－6）2＋yeq\o\al(2,2)，又yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，所以（x1－x2）（x1＋x2－12＋2p）＝0，因為x1≠x2，所以x1＋x2＝12－2p，故8－p＝12－2p，所以p＝4，所以所求拋物線方程是y2＝8x．23．解：（1）聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－a2y2－a2＝0，,x＋y＝1，))消y得x2－a2（1－x）2－a2＝0，即（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－2a2,1－a2)，,x1x2＝\f(－2a2,1－a2).))因為與雙曲線交于兩點A、B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,4a4＋8a21－a2>0))，可得0<a2<2且a2≠1，所以e的取值范圍為（eq\f(\r(6),2)，eq\r(2)）∪（eq\r(2)，＋∞）；（2）由（1）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－2a2,1－a2)，,x1x2＝\f(－2a2,1－a2).))因為eq\o(PA,\s\up10(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up10(→))，所以x1＝eq\f(5,12)x2，則eq\f(17,12)x2＝