高中數(shù)學人教A版第三章函數(shù)的應用單元測試 第三章 章末整合提升人教A版學案

章末整合提升要點歸納1．函數(shù)的零點與方程的根的關系：(1)方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?y＝f(x)有零點．(2)確定函數(shù)零點的個數(shù)有兩個基本方法：①借助函數(shù)單調性和零點存在性定理研究圖象與x軸的交點個數(shù)；②通過移項，變形轉化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)進行判斷．2．二分法(1)圖象都在x軸同側的函數(shù)零點不能(填“能”或“不能”)用二分法求．(2)用二分法求零點近似解時，零點區(qū)間(a，b)始終要保持f(a)·f(b)<0；(3)若要求精確度為，則當|a－b|≤時，便可判斷零點近似值為a或b.3．在同樣是增函數(shù)的前提下，當自變量變得充分大之后，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)三者中增長最快的是指數(shù)函數(shù)，增長最慢的是對數(shù)函數(shù)．知識體系專題突破專題一?函數(shù)的零點與方程根的關系一般結論：函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標．所以方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．但要注意零點判定定理不能判斷零點個數(shù)．典例1討論函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－1－a(a∈R)的零點的個數(shù)．[解析]令f(x)＝0，即x2－2|x|－1＝a.令g(x)＝x2－2|x|－1，h(x)＝a則問題轉化為求函數(shù)g(x)的圖象與直線y＝a交點的個數(shù)．g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1x≥0,x2＋2x－1x<0)).作出函數(shù)g(x)的圖象，如圖所示．當a在R上取值時，函數(shù)h(x)的圖象是一系列垂直于y軸的直線．①當a<－2時，g(x)的圖象與直線y＝a無交點，方程x2－2|x|－1＝a無實根，即函數(shù)f(x)無零點；②當a＝－2，或a>－1時，g(x)的圖象與直線y＝a的圖象有兩個交點，即函數(shù)f(x)有兩個零點；③當－2<a<－1時，函數(shù)g(x)的圖象與直線y＝a有四個交點，即函數(shù)f(x)有四個零點；④當a＝－1時，函數(shù)g(x)的圖象與直線y＝a有三個交點，即函數(shù)f(x)有三個零點．綜上所述，當a<－2時，函數(shù)f(x)無零點；當a＝－2，或a>－1時，函數(shù)f(x)有兩個零點；當－2<a<－1時，函數(shù)f(x)有四個零點；當a＝－1時，函數(shù)f(x)有三個零點．『規(guī)律方法』求函數(shù)y＝f(x)零點的方法(1)轉化為求方程f(x)＝0的根．(2)轉化為求y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．(3)將f(x)分解為h(x)－g(x)，則f(x)＝0化為h(x)－g(x)＝0，再化為h(x)＝g(x)，從而轉化為兩個函數(shù)y＝h(x)與y＝g(x)圖象交點的橫坐標．專題二?一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布問題，表面上是方程問題，實際上往往是二次函數(shù)的圖象性質問題和解不等式的綜合考查．它在應用上的靈活性和廣泛性，使其成為考試的熱點問題．典例2設集合A＝{(x，y)|x2＋mx－y＋2＝0}，B＝{(x，y)|y＝x＋1,0≤x≤2}，A∩B≠?，求實數(shù)m的取值范圍．[分析]本題考查一元二次方程根的分布問題，應用等價轉化思想及數(shù)形結合的思想，先將A∩B≠?轉化為方程組在x∈[0,2]上有解，然后由一元二次方程構造二次函數(shù)，利用根的分布求解．[解析]由條件A∩B≠?知，方程x2＋mx－y＋2＝0與方程x－y＋1＝0(0≤x≤2)有公共解．由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋mx－y＋2＝0,x－y＋1＝0))，消去y得，x2＋(m－1)x＋1＝0，(*)故方程(*)在區(qū)間[0,2]上有實數(shù)根．令f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，即為函數(shù)f(x)的圖象與x軸在區(qū)間[0,2]內(nèi)有交點，結合圖象得等價關系式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,0≤\f(1－m,2)≤2,f2≥0,f0≥0))，或f(0)·f(2)≤0，解得m≤－1.[點評]一元二次方程根的分布問題的處理方法對于一元二次方程實根分布問題，要抓住四點：開口方向、判別式Δ、對稱軸位置、區(qū)間端點函數(shù)值正負．專題三?幾種函數(shù)模型的應用幾類不同增長的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)；(2)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)；(4)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)；(5)冪函數(shù)模型：y＝axn＋b(a≠0)；(6)分段函數(shù)模型：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈A1,f2x，x∈A2,…,fnx，x∈An)).典例3(對數(shù)函數(shù)模型)測量地震級別的里氏是地震強度(即地震釋放的能量)的常用對數(shù)值，顯然級別越高，地震的強度也越高，如日本1923年地震是級，舊金山1996年地震是級，1989年地震是級，試計算日本1923年地震強度是級的幾倍？是級的幾倍？(已知lg2＝[分析]依題意將各次地震的地震強度設出，然后尋找它們之間的關系．[解析]設日本1923年地震強度是x，舊金山1996年地震強度為y,1989年地震強度為z，則lgx＝，lgy＝，lgz＝，則lgx－lgy＝－＝＝2lg2＝lg4，從而lgx＝lg4＋lgy＝lg(4y)，∴x＝4y.lgx－lgz＝－＝＝6lg2＝lg64，從而lgx＝lgz＋lg64＝lg(64z)，∴x＝64z.∴級地震強度是級地震強度的4倍，是級地震強度的64倍．『規(guī)律方法』對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)經(jīng)復合可以得到對數(shù)型函數(shù)，其函數(shù)值變化比較緩慢．涉及對數(shù)式，因此要格外注意真數(shù)的取值范圍，還要結合實際問題使所求問題有實際意義．專題四?數(shù)學思想方法函數(shù)與方程思想函數(shù)思想，是用運動和變化的觀點，集合與對應的思想，去分析和研究數(shù)學問題中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象和性質去分析問題和解決問題．方程思想，就是分析數(shù)學問題中的變量間等量關系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，使問題獲得解決．方程的思想和函數(shù)的思想密切相關，是相互轉化的．函數(shù)與方程的思想方法，滲透到中學數(shù)學的各個領域，在解題中有著廣泛的應用．本章函數(shù)與方程思想的應用，主要體現(xiàn)在：求方程f(x)＝0的實數(shù)根，就是確定函數(shù)y＝f(x)的零點，就是求函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標；其次，在應用題中利用函數(shù)建模，解決實際問題．典例4方程log2(x＋4)＝2x的實數(shù)解的個數(shù)是(C)A．0 B．1C．2 D．3[解析]要判斷方程的實數(shù)解的個數(shù)，只需判斷函數(shù)y＝log2(x＋4)與y＝2x的圖象的交點個數(shù)即可．令f(x)＝log2(x＋4)，g(x)＝2x，在同一坐標系中作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示，據(jù)圖象可知函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個交點，所以方程log2(x＋4)＝2x有兩個實數(shù)解．專題五?對稱問題我們已知奇(偶)函數(shù)的圖象關于原點(y軸)對稱；二次函數(shù)是軸對稱圖形．這涉及到中心對稱和軸對稱的知識．隨著學習的深入我們對于對稱知識及其應用將不斷深化理解，下面我們先對簡單常見的對稱問題有所了解．(1)點P(a，b)關于y軸的對稱點為(－a，b)；關于x軸的對稱點為(a，－b).關于直線x＝m的對稱點(2m－a，b)；關于直線y＝n的對稱點為(a,2n－b).關于原點的對稱點為(－a，－b)；(2)函數(shù)y＝f(－x)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象關于y軸對稱，函數(shù)y＝－f(x)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象關于x軸對稱，函數(shù)y＝－f(－x)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象關于原點對稱，函數(shù)y＝f(2a－x)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱；(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)＝f(a＋x)，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱．典例5定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)，且f(x＋2)的圖象關于y軸對稱，則f(－1)，f(0)，f(3)的大小關系是__f(－1)<f(0)<f(3)__.[解析]函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象可由函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移兩個單位得到，由題設條件知f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，∴f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(3)＝f(1)，∵f(x)在(－∞，2)上為增函數(shù)，∴f(－1)<f(0)<f(1)，∴f(－1)<f(0)<f(3)．課時作業(yè)五A級基礎鞏固一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x2－3x－4的零點是(D)A．(1，－4) B．(4，－1)C．1，－4 D．4，－1[解析]由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.2．在用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的唯一零點x0的過程中，取區(qū)間(a，b)上的中點c＝eq\f(a＋b,2)，若f(c)＝0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的唯一零點x0(D)A．在區(qū)間(a，c)內(nèi)B．在區(qū)間(c，b)內(nèi)C．在區(qū)間(a，c)或(c，b)內(nèi)D．等于eq\f(a＋b,2)[解析]根據(jù)二分法求方程的近似解的方法和步驟，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的唯一零點，x0＝eq\f(a＋b,2)，故選D．3．某工廠2023年生產(chǎn)某種產(chǎn)品2萬件，計劃從2023年開始每年比上一年增產(chǎn)20%，那么這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量從哪一年開始超過12萬件？(C)A．2026年 B．2027年C．2028年 D．2029年[解析]設經(jīng)過x年這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量開始超過12萬件，則2(1＋20%)x＞12，即＞6，∴x＞eq\f(lg6,≈，取x＝10，故選C．4．(2023·貴州遵義市高一期末測試)函數(shù)f(x)＝2x＋x－4，則f(x)的零點所在的大致區(qū)間是(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)[解析]f(0)＝20－4＝－3<0，f(1)＝2＋1－4＝－1<0，f(2)＝22＋2－4＝2>0，∴f(1)·f(2)<0，故選B．5．向高為H的水瓶中注水，若注滿為止，注水量V與水深h的函數(shù)關系圖象如圖所示，那么水瓶的形狀是(B)[解析]解法一：很明顯，從V與h的函數(shù)圖象看，V從0開始后，隨h的增大而增大且增速越來越慢，因而應是底大口小的容器，即應選B．解法二：取特殊值h＝eq\f(H,2)，可以看出C，D圖中的水瓶的容量恰好是eq\f(V,2)，A圖中的水瓶的容量小于eq\f(V,2)，不符合上述分析，排除A，C，D，應選B．解法三：取模型函數(shù)為y＝kxeq\f(1,3)(k>0)，立即可排除A，C，D，故選B．6．用長度為24m的材料圍成一矩形場地，并且中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為(A)A．3m B．4mC．5m D．6m[解析]設隔墻的長度為xm，即矩形的寬為xm，則矩形的長為eq\f(24－4x,2)m(0<x<6)，∴矩形的面積S＝x·eq\f(24－4x,2)＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，∴當x＝3時，Smax＝18.∴當隔墻的長度為3m時，矩形的面積最大，最大為18m2.二、填空題7．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－7x<0,\r(x)x≥0))，f(a)<1，則實數(shù)a的取值范圍是__(－3,1)__.[解析]當a<0時，(eq\f(1,2))a－7<1，即2－a<23，∴a>－3，∴－3<a<0；當a≥0時，eq\r(a)<1，∴0≤a<1.綜上可知－3<a<1.故實數(shù)a的取值范圍是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數(shù)是__4__(lg2≈0)．[解析]設至少要洗x次，則(1－eq\f(3,4))x≤eq\f(1,100)，∴x≥eq\f(1,lg2)≈，所以需4次．三、解答題9．某旅行團去風景區(qū)旅游，若每團人數(shù)不超過30人，飛機票每張收費900元；若每團人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠，每多1人，機票每張減少10元，直至每張降為450元為止．某團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元．假設一個旅行團不能超過70人．(1)寫出每張飛機票的價格關于人數(shù)的函數(shù)關系式；(2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？[解析](1)設旅行團的人數(shù)為x，機票價格為y，則：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9001≤x≤30,900－x－30·1030＜x≤70))，即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9001≤x≤30,1200－10x30＜x≤70)).(2)設旅行社可獲得利潤為Q，則Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－150001≤x≤30,12000－10xx－1500030＜x≤70))，即Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－150001≤x≤30,－10x2＋1200x－1500030＜x≤70)).當x∈[1,30]時，Qmax＝900×30－15000＝12000(元)，當x∈(30,70]時，Q＝－10(x－60)2＋21000，所以當x＝60時，Qmax＝21000(元)，所以當每團人數(shù)為60時，旅行社可獲得最大利潤21000元．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．方程4x＝4－x的根所在區(qū)間是(B)A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)[解析]由4x＝4－x，得4x＋x－4＝0，令f(x)＝4x＋x－4，∴方程4x＝4－x的根即為函數(shù)，f(x)＝4x＋x－4的零點，f(－1)＝4－1－1－4＝－eq\f(19,4)<0，f(0)＝40－4＝1－4＝－3<0，f(1)＝4＋1－4＝1>0，f(2)＝42＋2－4＝14>0，f(3)＝43＋3－4＝63>0，∴f(0)·f(1)<0，故選B．2．一水池有兩個進水口，一個出水口，每個進水口的進水速度如圖甲所示，出水口的出水速度如圖乙所示，某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一個水口)給出以下3個論斷：①0點到3點只進水不出水；②3點到4點不進水只出水；③4點到6點不進水不出水．則一定正確的是(A)A．① B．①②C．①③ D．①②③[解析]由甲、乙兩圖可知進水速度為1，出水速度為2，結合丙圖中直線的斜率，只進水不出水時，蓄水量增加速度是2，故①正確；不進水只出水時，蓄水量減少速度是2，故②不正確；兩個進水一個出水時，蓄水量減少速度也是0，故③不正確．3．四人賽跑，假設他們跑過的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和時間x(x>1)的函數(shù)關系式分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關系是(D)A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x[解析]顯然四個函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)是增長最快的，故最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關系是f4(x)＝2x，故選D．4．中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第五次全體會議認為，至2023年全面建成小康社會，是我們黨確定的“兩個一百年”奮斗目標的第一個百年奮斗目標．全會提出了全面建成小康社會新的目標要求：經(jīng)濟保持中高速增長，在提高發(fā)展平衡性、包容性、可持續(xù)性的基礎上，到2023年國內(nèi)生產(chǎn)總值和城鄉(xiāng)居民人均收入比2023年翻一番，產(chǎn)業(yè)邁向中高端水平，消費對經(jīng)濟增長貢獻明顯加大，戶籍人口城鎮(zhèn)化率加快提高．設從2023年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每年比上一年都增長p%.下面給出了依據(jù)“至2023年城鄉(xiāng)居民人均收入比2023年翻一番”列出的關于p的四個關系式：①(1＋p%)×10＝2；②(1＋p%)10＝2；③lg(1＋p%)＝2；④1＋10×p%＝2.其中正確的是(B)A．① B．②C．③ D．④[解析]設從2023年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長p%，由題意，得(1＋p%)10＝2，故選B．二、填空題5．函數(shù)f(x)＝x2－3x＋2a有兩個不同的零點，則a的取值范圍是__(－∞，eq\f(9,8))__.[解析]令x2－3x＋2a＝0，由題意得Δ＝9－8a>0，∴a<eq\f(9,8).6．某地野生薇甘菊的面積與時間的函數(shù)關系的圖象如圖所示，假設其關系為指數(shù)函數(shù)，并給出下列說法：①此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；②在第5個月時，野生薇甘菊的面積就會超過30m2；③設野生薇甘菊蔓延到2m2,3m2,6m2所需的時間分別為t1，t2，t3，則有t1＋t2＝t3；④野生薇甘菊在第1到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2到第4個月之間蔓延的平均速度．其中正確的說法有__①②③__(請把正確說法的序號都填在橫線上)．[解析]∵其關系為指數(shù)函數(shù)，圖象過點(4,16)，∴指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2，故①正確；當t＝5時，S＝32>30，故②正確；∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝t3，故③正確；根據(jù)圖象的變化快慢不同知④不正確，綜上可知①②③正確．三、解答題7．已知關于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍．[解析]由題意知，拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1與x軸的交點分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，可以畫出示意圖(如圖所示)，觀察圖象可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝2m＋1<0,f－1＝2>0,f1＝4m＋2<0,f2＝6m＋5>0))，解得－eq\f(5,6)<m<－eq\f(1,2).所以m的取值范圍是(－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2))．8．我們知道，燕子每年秋天都要從