高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用單元測試 第三章 章末整合提升人教A版學(xué)案

章末整合提升要點(diǎn)歸納1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系：(1)方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?y＝f(x)有零點(diǎn)．(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)有兩個基本方法：①借助函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理研究圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)；②通過移項(xiàng)，變形轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行判斷．2．二分法(1)圖象都在x軸同側(cè)的函數(shù)零點(diǎn)不能(填“能”或“不能”)用二分法求．(2)用二分法求零點(diǎn)近似解時，零點(diǎn)區(qū)間(a，b)始終要保持f(a)·f(b)<0；(3)若要求精確度為，則當(dāng)|a－b|≤時，便可判斷零點(diǎn)近似值為a或b.3．在同樣是增函數(shù)的前提下，當(dāng)自變量變得充分大之后，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)三者中增長最快的是指數(shù)函數(shù)，增長最慢的是對數(shù)函數(shù)．知識體系專題突破專題一?函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系一般結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．所以方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．但要注意零點(diǎn)判定定理不能判斷零點(diǎn)個數(shù)．典例1討論函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－1－a(a∈R)的零點(diǎn)的個數(shù)．[解析]令f(x)＝0，即x2－2|x|－1＝a.令g(x)＝x2－2|x|－1，h(x)＝a則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)的圖象與直線y＝a交點(diǎn)的個數(shù)．g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1x≥0,x2＋2x－1x<0)).作出函數(shù)g(x)的圖象，如圖所示．當(dāng)a在R上取值時，函數(shù)h(x)的圖象是一系列垂直于y軸的直線．①當(dāng)a<－2時，g(x)的圖象與直線y＝a無交點(diǎn)，方程x2－2|x|－1＝a無實(shí)根，即函數(shù)f(x)無零點(diǎn)；②當(dāng)a＝－2，或a>－1時，g(x)的圖象與直線y＝a的圖象有兩個交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)；③當(dāng)－2<a<－1時，函數(shù)g(x)的圖象與直線y＝a有四個交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有四個零點(diǎn)；④當(dāng)a＝－1時，函數(shù)g(x)的圖象與直線y＝a有三個交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)a<－2時，函數(shù)f(x)無零點(diǎn)；當(dāng)a＝－2，或a>－1時，函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)；當(dāng)－2<a<－1時，函數(shù)f(x)有四個零點(diǎn)；當(dāng)a＝－1時，函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn)．『規(guī)律方法』求函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)的方法(1)轉(zhuǎn)化為求方程f(x)＝0的根．(2)轉(zhuǎn)化為求y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(3)將f(x)分解為h(x)－g(x)，則f(x)＝0化為h(x)－g(x)＝0，再化為h(x)＝g(x)，從而轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y＝h(x)與y＝g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．專題二?一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布問題，表面上是方程問題，實(shí)際上往往是二次函數(shù)的圖象性質(zhì)問題和解不等式的綜合考查．它在應(yīng)用上的靈活性和廣泛性，使其成為考試的熱點(diǎn)問題．典例2設(shè)集合A＝{(x，y)|x2＋mx－y＋2＝0}，B＝{(x，y)|y＝x＋1,0≤x≤2}，A∩B≠?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[分析]本題考查一元二次方程根的分布問題，應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合的思想，先將A∩B≠?轉(zhuǎn)化為方程組在x∈[0,2]上有解，然后由一元二次方程構(gòu)造二次函數(shù)，利用根的分布求解．[解析]由條件A∩B≠?知，方程x2＋mx－y＋2＝0與方程x－y＋1＝0(0≤x≤2)有公共解．由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋mx－y＋2＝0,x－y＋1＝0))，消去y得，x2＋(m－1)x＋1＝0，(*)故方程(*)在區(qū)間[0,2]上有實(shí)數(shù)根．令f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，即為函數(shù)f(x)的圖象與x軸在區(qū)間[0,2]內(nèi)有交點(diǎn)，結(jié)合圖象得等價關(guān)系式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,0≤\f(1－m,2)≤2,f2≥0,f0≥0))，或f(0)·f(2)≤0，解得m≤－1.[點(diǎn)評]一元二次方程根的分布問題的處理方法對于一元二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)：開口方向、判別式Δ、對稱軸位置、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)．專題三?幾種函數(shù)模型的應(yīng)用幾類不同增長的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)；(2)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)；(4)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)；(5)冪函數(shù)模型：y＝axn＋b(a≠0)；(6)分段函數(shù)模型：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈A1,f2x，x∈A2,…,fnx，x∈An)).典例3(對數(shù)函數(shù)模型)測量地震級別的里氏是地震強(qiáng)度(即地震釋放的能量)的常用對數(shù)值，顯然級別越高，地震的強(qiáng)度也越高，如日本1923年地震是級，舊金山1996年地震是級，1989年地震是級，試計算日本1923年地震強(qiáng)度是級的幾倍？是級的幾倍？(已知lg2＝[分析]依題意將各次地震的地震強(qiáng)度設(shè)出，然后尋找它們之間的關(guān)系．[解析]設(shè)日本1923年地震強(qiáng)度是x，舊金山1996年地震強(qiáng)度為y,1989年地震強(qiáng)度為z，則lgx＝，lgy＝，lgz＝，則lgx－lgy＝－＝＝2lg2＝lg4，從而lgx＝lg4＋lgy＝lg(4y)，∴x＝4y.lgx－lgz＝－＝＝6lg2＝lg64，從而lgx＝lgz＋lg64＝lg(64z)，∴x＝64z.∴級地震強(qiáng)度是級地震強(qiáng)度的4倍，是級地震強(qiáng)度的64倍．『規(guī)律方法』對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)經(jīng)復(fù)合可以得到對數(shù)型函數(shù)，其函數(shù)值變化比較緩慢．涉及對數(shù)式，因此要格外注意真數(shù)的取值范圍，還要結(jié)合實(shí)際問題使所求問題有實(shí)際意義．專題四?數(shù)學(xué)思想方法函數(shù)與方程思想函數(shù)思想，是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，集合與對應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題和解決問題．方程思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中的變量間等量關(guān)系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，使問題獲得解決．方程的思想和函數(shù)的思想密切相關(guān)，是相互轉(zhuǎn)化的．函數(shù)與方程的思想方法，滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，在解題中有著廣泛的應(yīng)用．本章函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，就是確定函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，就是求函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；其次，在應(yīng)用題中利用函數(shù)建模，解決實(shí)際問題．典例4方程log2(x＋4)＝2x的實(shí)數(shù)解的個數(shù)是(C)A．0 B．1C．2 D．3[解析]要判斷方程的實(shí)數(shù)解的個數(shù)，只需判斷函數(shù)y＝log2(x＋4)與y＝2x的圖象的交點(diǎn)個數(shù)即可．令f(x)＝log2(x＋4)，g(x)＝2x，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示，據(jù)圖象可知函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個交點(diǎn)，所以方程log2(x＋4)＝2x有兩個實(shí)數(shù)解．專題五?對稱問題我們已知奇(偶)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對稱；二次函數(shù)是軸對稱圖形．這涉及到中心對稱和軸對稱的知識．隨著學(xué)習(xí)的深入我們對于對稱知識及其應(yīng)用將不斷深化理解，下面我們先對簡單常見的對稱問題有所了解．(1)點(diǎn)P(a，b)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(－a，b)；關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(a，－b).關(guān)于直線x＝m的對稱點(diǎn)(2m－a，b)；關(guān)于直線y＝n的對稱點(diǎn)為(a,2n－b).關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(－a，－b)；(2)函數(shù)y＝f(－x)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)y＝－f(x)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱，函數(shù)y＝－f(－x)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)y＝f(2a－x)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a－x)＝f(a＋x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．典例5定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)，且f(x＋2)的圖象關(guān)于y軸對稱，則f(－1)，f(0)，f(3)的大小關(guān)系是__f(－1)<f(0)<f(3)__.[解析]函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象可由函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移兩個單位得到，由題設(shè)條件知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，∴f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(3)＝f(1)，∵f(x)在(－∞，2)上為增函數(shù)，∴f(－1)<f(0)<f(1)，∴f(－1)<f(0)<f(3)．課時作業(yè)五A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x2－3x－4的零點(diǎn)是(D)A．(1，－4) B．(4，－1)C．1，－4 D．4，－1[解析]由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.2．在用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的唯一零點(diǎn)x0的過程中，取區(qū)間(a，b)上的中點(diǎn)c＝eq\f(a＋b,2)，若f(c)＝0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的唯一零點(diǎn)x0(D)A．在區(qū)間(a，c)內(nèi)B．在區(qū)間(c，b)內(nèi)C．在區(qū)間(a，c)或(c，b)內(nèi)D．等于eq\f(a＋b,2)[解析]根據(jù)二分法求方程的近似解的方法和步驟，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的唯一零點(diǎn)，x0＝eq\f(a＋b,2)，故選D．3．某工廠2023年生產(chǎn)某種產(chǎn)品2萬件，計劃從2023年開始每年比上一年增產(chǎn)20%，那么這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量從哪一年開始超過12萬件？(C)A．2026年 B．2027年C．2028年 D．2029年[解析]設(shè)經(jīng)過x年這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量開始超過12萬件，則2(1＋20%)x＞12，即＞6，∴x＞eq\f(lg6,≈，取x＝10，故選C．4．(2023·貴州遵義市高一期末測試)函數(shù)f(x)＝2x＋x－4，則f(x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)[解析]f(0)＝20－4＝－3<0，f(1)＝2＋1－4＝－1<0，f(2)＝22＋2－4＝2>0，∴f(1)·f(2)<0，故選B．5．向高為H的水瓶中注水，若注滿為止，注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，那么水瓶的形狀是(B)[解析]解法一：很明顯，從V與h的函數(shù)圖象看，V從0開始后，隨h的增大而增大且增速越來越慢，因而應(yīng)是底大口小的容器，即應(yīng)選B．解法二：取特殊值h＝eq\f(H,2)，可以看出C，D圖中的水瓶的容量恰好是eq\f(V,2)，A圖中的水瓶的容量小于eq\f(V,2)，不符合上述分析，排除A，C，D，應(yīng)選B．解法三：取模型函數(shù)為y＝kxeq\f(1,3)(k>0)，立即可排除A，C，D，故選B．6．用長度為24m的材料圍成一矩形場地，并且中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為(A)A．3m B．4mC．5m D．6m[解析]設(shè)隔墻的長度為xm，即矩形的寬為xm，則矩形的長為eq\f(24－4x,2)m(0<x<6)，∴矩形的面積S＝x·eq\f(24－4x,2)＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，∴當(dāng)x＝3時，Smax＝18.∴當(dāng)隔墻的長度為3m時，矩形的面積最大，最大為18m2.二、填空題7．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－7x<0,\r(x)x≥0))，f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__(－3,1)__.[解析]當(dāng)a<0時，(eq\f(1,2))a－7<1，即2－a<23，∴a>－3，∴－3<a<0；當(dāng)a≥0時，eq\r(a)<1，∴0≤a<1.綜上可知－3<a<1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數(shù)是__4__(lg2≈0)．[解析]設(shè)至少要洗x次，則(1－eq\f(3,4))x≤eq\f(1,100)，∴x≥eq\f(1,lg2)≈，所以需4次．三、解答題9．某旅行團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)不超過30人，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠，每多1人，機(jī)票每張減少10元，直至每張降為450元為止．某團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元．假設(shè)一個旅行團(tuán)不能超過70人．(1)寫出每張飛機(jī)票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？[解析](1)設(shè)旅行團(tuán)的人數(shù)為x，機(jī)票價格為y，則：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9001≤x≤30,900－x－30·1030＜x≤70))，即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9001≤x≤30,1200－10x30＜x≤70)).(2)設(shè)旅行社可獲得利潤為Q，則Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－150001≤x≤30,12000－10xx－1500030＜x≤70))，即Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－150001≤x≤30,－10x2＋1200x－1500030＜x≤70)).當(dāng)x∈[1,30]時，Qmax＝900×30－15000＝12000(元)，當(dāng)x∈(30,70]時，Q＝－10(x－60)2＋21000，所以當(dāng)x＝60時，Qmax＝21000(元)，所以當(dāng)每團(tuán)人數(shù)為60時，旅行社可獲得最大利潤21000元．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．方程4x＝4－x的根所在區(qū)間是(B)A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)[解析]由4x＝4－x，得4x＋x－4＝0，令f(x)＝4x＋x－4，∴方程4x＝4－x的根即為函數(shù)，f(x)＝4x＋x－4的零點(diǎn)，f(－1)＝4－1－1－4＝－eq\f(19,4)<0，f(0)＝40－4＝1－4＝－3<0，f(1)＝4＋1－4＝1>0，f(2)＝42＋2－4＝14>0，f(3)＝43＋3－4＝63>0，∴f(0)·f(1)<0，故選B．2．一水池有兩個進(jìn)水口，一個出水口，每個進(jìn)水口的進(jìn)水速度如圖甲所示，出水口的出水速度如圖乙所示，某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一個水口)給出以下3個論斷：①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水．則一定正確的是(A)A．① B．①②C．①③ D．①②③[解析]由甲、乙兩圖可知進(jìn)水速度為1，出水速度為2，結(jié)合丙圖中直線的斜率，只進(jìn)水不出水時，蓄水量增加速度是2，故①正確；不進(jìn)水只出水時，蓄水量減少速度是2，故②不正確；兩個進(jìn)水一個出水時，蓄水量減少速度也是0，故③不正確．3．四人賽跑，假設(shè)他們跑過的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和時間x(x>1)的函數(shù)關(guān)系式分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是(D)A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x[解析]顯然四個函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)是增長最快的，故最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是f4(x)＝2x，故選D．4．中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第五次全體會議認(rèn)為，至2023年全面建成小康社會，是我們黨確定的“兩個一百年”奮斗目標(biāo)的第一個百年奮斗目標(biāo)．全會提出了全面建成小康社會新的目標(biāo)要求：經(jīng)濟(jì)保持中高速增長，在提高發(fā)展平衡性、包容性、可持續(xù)性的基礎(chǔ)上，到2023年國內(nèi)生產(chǎn)總值和城鄉(xiāng)居民人均收入比2023年翻一番，產(chǎn)業(yè)邁向中高端水平，消費(fèi)對經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)明顯加大，戶籍人口城鎮(zhèn)化率加快提高．設(shè)從2023年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每年比上一年都增長p%.下面給出了依據(jù)“至2023年城鄉(xiāng)居民人均收入比2023年翻一番”列出的關(guān)于p的四個關(guān)系式：①(1＋p%)×10＝2；②(1＋p%)10＝2；③lg(1＋p%)＝2；④1＋10×p%＝2.其中正確的是(B)A．① B．②C．③ D．④[解析]設(shè)從2023年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長p%，由題意，得(1＋p%)10＝2，故選B．二、填空題5．函數(shù)f(x)＝x2－3x＋2a有兩個不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是__(－∞，eq\f(9,8))__.[解析]令x2－3x＋2a＝0，由題意得Δ＝9－8a>0，∴a<eq\f(9,8).6．某地野生薇甘菊的面積與時間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，假設(shè)其關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，并給出下列說法：①此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；②在第5個月時，野生薇甘菊的面積就會超過30m2；③設(shè)野生薇甘菊蔓延到2m2,3m2,6m2所需的時間分別為t1，t2，t3，則有t1＋t2＝t3；④野生薇甘菊在第1到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2到第4個月之間蔓延的平均速度．其中正確的說法有__①②③__(請把正確說法的序號都填在橫線上)．[解析]∵其關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，圖象過點(diǎn)(4,16)，∴指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2，故①正確；當(dāng)t＝5時，S＝32>30，故②正確；∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝t3，故③正確；根據(jù)圖象的變化快慢不同知④不正確，綜上可知①②③正確．三、解答題7．已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍．[解析]由題意知，拋物線f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，可以畫出示意圖(如圖所示)，觀察圖象可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝2m＋1<0,f－1＝2>0,f1＝4m＋2<0,f2＝6m＋5>0))，解得－eq\f(5,6)<m<－eq\f(1,2).所以m的取值范圍是(－eq\f(5,6)，－eq\f(1,2))．8．我們知道，燕子每年秋天都要從