6.2等差數(shù)列典型例題與詳細(xì)解答

n1nnnlmn2nnnnnnm1nnnn1n1nword，，美n1nnnlmn2nnnnnnm1nnnn1n1n．等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字d__示．．等差數(shù)列的通項式如果等差數(shù){}首項為a，差為，那么它的通項公式是a＝a＋(n1)d.．等差中項＋如果＝，么A叫a等差中項．．等差數(shù)列的常用質(zhì)通項公式的推廣a＝a＋－)d，∈N*．若{}等差數(shù)列，且＋lmn(，l，mnN*)，則a＋a＝＋若{}等差數(shù)列，公差為，則{}是差數(shù)列，公差為.若{}{}等差數(shù)列，則{pa＋qb}是等差數(shù)列．若{}等差數(shù)列公為則aa

2

…(kN*是公差為的等差數(shù)列．．等差數(shù)列的前n項和式n設(shè)等差數(shù)列{}公為d，其前n項S＝或S＝na＋n2n．等差數(shù)列的前n項和式與函數(shù)的關(guān)系S＝＋－nn數(shù)列{}等數(shù)列＝An2＋(、為數(shù)．．等差數(shù)列的前n項和最值在等差數(shù)列{}，a>0，則存最大值；若，，存在最_小_值．業(yè)資料參考分享

nn12nnnn1nnnnn24662nn1366n411148n351nn12nnnn1nnnnn24662nn1366n411148n35173441274n710n【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正(在括號中打“√”或“×(1)若個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)是等差數(shù)列．(×

)數(shù){}等數(shù)列的充要條件是對任意∈*都有2＝＋a√

)等差數(shù){}單性是由公差d決的．(√)數(shù){}等數(shù)列的充要條件是其通項公式的次函數(shù)(×)數(shù){}足－a＝n則數(shù){}等數(shù)列．(×)已知數(shù)列{}通項公式是＝＋其中p，為數(shù)，則數(shù)列{}定是等差數(shù)列．(√

)．在等差數(shù)列{}，＝4，＝，則a等于()A1B．0C．1．答案B解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a＝2－a＝×－＝，選B.．等差數(shù)列{}前n項為S，＝，＝，則a等()A8BC．D．答案3解析由題意知a＝，由＝＋×d＝，132解得＝2，所以＝＋d＋5＝，選．等差數(shù){}，知＋a＝，則該數(shù)列前項和S等()ABC．143．答案B11＋a11＋解析＝＝＝88.112．?dāng)?shù)列{}等差數(shù)列，若＋＋＝，則a＋＋＋等于()ABC．D．35答案解析∵＋a＋＝a＝，a＝4∴＋a＋…＋a＝a＝．若等差數(shù)列{}足＋a＋，a＋a<0，則當(dāng)＝時{}前和最大．業(yè)資料參考分享

n788799n1n1nnn24102411nnnn133word，，n788799n1n1nnn24102411nnnn133答案解析因為數(shù)列{}等差數(shù)列，且a＋a＋a＝3a＞0，所以＞0.又＋＝a＋＜0，所以＜故當(dāng)n時，其前項和最大．題一

等數(shù)基量運例在列{}，若＝2且對任意的∈N*＝12，數(shù)列{}10項的和為()5A2BC.4已知在等差數(shù){}，a＝7，＝，前10項S等()AC．380

BD．400答案解析

(2)B(1)由a＝＋a得a－a＝，nn2所以數(shù)列{a}首項為－2公差為的等差數(shù)列，n2×5所以＝×(－＋×＝.10因為a＝7，＝15所以d＝4＝，故＝×3＋×10×4＝210.10思維升華(1)an)(2)na1

Ⅱ)是差數(shù)列{}前n項，若＋＋＝則

5等于()A5B7C9D．S已知等差數(shù){}前和為，且滿足－＝1，則數(shù)列{}公是)n32B．1．2D答案

(1)A(2)C業(yè)資料參考分享

n151333151n1n3131nn1nnnnnnnnnnn1nnnnnnn11nnnn1nnn151333151n1n3131nn1nnnnnnnnnnn1nnnnnnn11nnnn1nn解析

word，，美整理版(1)∵{}等差數(shù)列，∴＋a＝，∴＋a＋a＝a＝，得a＝1，a∴＝＝a＝5.故選A.52a＋∵＝，＝，又－＝，n232得

＋a＋a－＝，即a－＝，2∴數(shù)列{}公差為題二

等數(shù)的定證1例已數(shù)列{}，a＝，a＝－n2，∈*)，{}足b＝(n∈N*)．－求證：數(shù){}等差數(shù)列；求數(shù)列{}的最大項和最小項，并說明理由．證明因為＝－n，n∈*)，n＝(nN*)，－1所以

－b＝－－1a－1＝

－＝－＝1.a－1－a－1n又＝＝－.－1所以數(shù)列以－為首項，為公差的等差數(shù)列．n解由1)知b＝n－，n22則＝＋＝＋.－設(shè)fx)＋，x－7則fx)區(qū)間－∞，)和(，∞)上為減函數(shù)．2所以當(dāng)＝3時取得最小值1當(dāng)＝4時，a取得最大值引申探究2

n1

(an(1){}業(yè)資料參考分享

n1nn1n131nn1nn1＋nn1nn1n1n2nn1nnnnn2n1n1nn1n131nn1nn1＋nn1nn1n1n2nn1nnnnn2n12nn12nn1n2nn＋2－(a＋2－a2n21nn1n2解即

由已知可得＝＋，＋n3－＝，又a＝，nn5∴以＝為首項，1為公差的等差數(shù)列3∴＝＋n1)·1＝n，5∴＝n－nn5思維升華aanaaaaaaaa…a{}pnqaap{n

}S2S

aa{n

}(1)若{}公差為的等差數(shù)列，則{

＋2}()A公差為的等差數(shù)列C．差為的等差數(shù)列

B公差為4等差數(shù)列D．差的差數(shù)列21在數(shù)列{}，若＝，a＝，＝＋nN*)，則該數(shù)列的通項為)Aa＝nnC．＝＋

Ba＝＋D．＝n答案

(2)A解析

(1)∵a

2n

12n

3

2

)＝(a

2n3

)＋－)＝22×＝6∴{a

2n

＋2}是公差為的等差數(shù)列．11由已知式＝＋可得a業(yè)資料參考分享

nn12nnword，，美整理版nn12nn

n

1111－＝－，{}首項為＝，公差為－＝－11等差數(shù)列，所以＝aaaaa，即a＝.nn業(yè)資料參考分享

n362nn102030n37625345552851010102020103030n1n10n362nn102030n37625345552851010102020103030n1n101101533n13nnnn12101112141313n121311n題三

word，，美整理版等數(shù)的質(zhì)應(yīng)命題點等差數(shù)列的性質(zhì)例(1)(2015·)在等差數(shù)列{}，＋＋a＋＋a＝25則＋＝________.已知等差數(shù){}前和為，且＝，＝，則＝________.答案解析

(1)因為{}等差數(shù)列，所以a＋a＝a＋＝＋＝a，＋＋＋＋＝a＝25即＝，a＋＝＝∵，－，－S成等差數(shù)列，且＝10＝30，－＝20，∴－＝＋×10，S＝60.命題點等差數(shù)列前項和的最值例4在差數(shù)列{}，知＝，前項為S，＝，當(dāng)n取值時，

n取得最大值，并求出它的最大值．解

∵a＝，＝，××14∴10×20＝×＋d2∴d－.565方法一由a＝＋－×－＝n.得＝0.即當(dāng)≤12時a＞，當(dāng)n時，＜∴當(dāng)＝1213時，取得最大值，×11且最大值為S＝＝×20×－＝1225方法二＝n－n2125＝－n2＋n625＝－－

＋∵n∈*，當(dāng)＝1213時有大值，且最大值為＝＝130.方法三由＝得a＋＋a＋＋＝0.∴5＝0，即＝0.∴當(dāng)＝1213時，有最大值，且最大值為＝＝130.引申探究4a業(yè)資料參考分享

”20

101113151311214n113nmmnmnnnn12n1nnn1m1mn101113151311214n113nmmnmnnnn12n1nnn1m1mnn56nnn6nn1n解由＝，得＋＋＋＋＝，∴＝0.a＝－20，a，，∴當(dāng)＝1213時，取得最小值，最小值＝＝＝－130.122思維升華(1)①{}a()

amn

d(mn)()(②{}Snn(aa)…()

2n1

(21)n①nan②

adad

nn

(1)等差數(shù)列{}前項為，知＋＝4，＋a＝2則當(dāng)取大值時，n的是)A5B6C7D．8設(shè)數(shù)列{}公差＜0的差數(shù)列S為項，若S＝5＋10，則取最大值時，的為)A5C．或6

B6D．11已知等差數(shù){}首項a＝，公差＝2則前項和S的最大值為．答案

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6767nn6116nn1nn1710n10100110n54nn456716767nn6116nn1nn1710n10100110n54nn456711n3813n1解析

word，，美整理版(1)依題意得a＝4,2＝－，a＝＞0，＝－1＜0又?jǐn)?shù){}等差數(shù)列，因此在該數(shù)列中前項均為正數(shù)自第7項以后各項均為負(fù)數(shù)是當(dāng)S取最大值時n，選由題意得＝6＋15＝5＋10，所以＝，故當(dāng)n＝或時，最大，選因為等差數(shù){}的首項a＝，公差＝－，代入求和公式得，nS＝＋d＝－×n22＝－n＋21n－n－2，又因為∈*，所以＝或n＝，S取得最大值，最大值為110.．差數(shù)列的前項和及其最值典例()AC．

(1)在等差數(shù){}，2(＋＋＋3(＋)＝，則此數(shù)列前10項和等BD．90在等差數(shù){}，＝，＝10則S＝________.等差數(shù){}，知a>0，＋a<0，則{a}前n項的大()AB．DS思維點撥(1)a

aaa…nn解析

(1)由題意得＋＝，10109所以＝＝＝＝45.1022方法一設(shè)數(shù)列{}公差為，首項為a，則

×＋＝10012×99a＋d10，1

解得

＝，1＝－.×109所以＝110＋＝－1101業(yè)資料參考分享

1111100111011100n5nn1nnn36789n36word，，美整1111100111011100n5nn1nnn36789n36方法二因為－＝＝－，100102所以＋＝2＋a所以＝110＝

＝－110.5a6，因所以所以的最大值為答案

(1)A－110溫馨提醒(1)用函數(shù)思想求等差數(shù)列前n項和的值時，注意到∈*；利用等差數(shù)列的性質(zhì)求，出了整體思想，減少了運算量．[法與技]．在解有關(guān)等差數(shù)的基本量問題時，可通過列關(guān)于a，d的方程組進(jìn)行求解．證明等差數(shù)列要定義另外還可以用等差中項法通項公式法前n項和公式法判定一個數(shù)列是否為等差數(shù)列．．等差數(shù)列性質(zhì)靈使用，可以大大減少運算量．．在遇到三個數(shù)成差數(shù)列問題時，可設(shè)三個數(shù)aa＋，a＋d；－d，＋d；a，a＋，a＋等，可視具體情況而定[誤與防]．當(dāng)公差≠0時，等差數(shù)的通項公式是的一次函數(shù)，當(dāng)公差d＝為常數(shù)．．公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是的二次函數(shù)，常數(shù)項為0.某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項起等差數(shù)列．A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(35)．等差數(shù){}前項和為，＝，＝，a＋a＋a等)ABC．D．27答案B解析由{a}等差數(shù)列，得S，－，－為等差數(shù)列業(yè)資料參考分享

639963n121121221213n12312123131311639963n121121221213n1231212313131112321312121nnm1mm1nnm1m1mnnnn1n3108n10331127138即2(S－)＝＋(－，得到－＝S－S＝，故選．北京){}等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的()A若＋＞，則＋＞0B．＋＜，則＋＜C．＜a＜，a＞aD．a(chǎn)＜，則－－＞答案解析設(shè)等差數(shù)列{a}公差為，若a＋>0＋＝＋＋＋d＝＋)＋2，由于正不確定，因而＋符號不確定故選項A錯；若＋a<0，＋＝＋－＝(

1＋－d由于d正不確定因而＋符不確定故項錯若a<可知a，，a，>0，所以a2－＝(a＋d

－a＋2＝2

，所以aa，故選項正確；若，則a－－)＝d·(－)＝－d2，故選項錯．．等差數(shù){}前項和為，＝，＝，＝3則等()A3C．

B4D．答案解析∵數(shù)列{a}等差數(shù)列，且前和為S，∴數(shù)列為等差數(shù)列∴

SSS－3＋＝，即＋＝0m－11m1＋解得m，經(jīng)檢驗為原方程的解，選C.．{}首項為3{}等數(shù)列，且＝－(nN*，若b＝，b＝12，則等()A0C．

B3D．11答案B解析設(shè)公差為d，∵－＝d＝－(＝14，d＝2.∵＝－，b＝－＝－2＝－×6∴＋b＋…＋b＝b＋d121＝7(－＋×＝又＋＋…b＝－a)＋(a－)＋…(－＝－＝－＝0，業(yè)資料參考分享

8n1nn101n13n3nnn1215nnnnn1215145615Snnword8n1nn101n13n3nnn1215nnnnn1215145615Snn∴＝故選B.．知數(shù){}足a＝a－，a＝，{}前n項為S，使得取最大值nn71nnn的序號值為)A7C．或8答案

B8D．9解析

由題意可知數(shù)列{}首項為，差為－的等差數(shù)列，所以＝5－(n－＝n－n，該數(shù)列前7項是正數(shù)項，第8項是0從第開始是負(fù)數(shù)項，所以取得最大值n時，n＝或，故選C.．知數(shù)列{a}＝

＝＋n∈N)，則＝________.101答案

解析由已知得＝＋×＝1＋＝4，a3故＝104．知遞增的等差數(shù){}足a＝1，a＝2－4則a＝________.答案n－1解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d∵＝2

－4，∴1＝(1＋d

－，解得24，即d±2.由于該數(shù)列為遞增數(shù)列，故＝2.∴＝＋－×2＝2－．?dāng)?shù)列{}通項公式為＝2nnN*)，則|＋＋＋＝________.答案解析由a＝－10(n∈*知{a}以－首項公差的等差數(shù)列由＝n－≥得n5，∴≤5時，a≤，當(dāng)n時，＞0，∴a＋|＋＋＝－a＋a＋＋a)＋(a＋＋…＋)＝20＋110＝130.．?dāng)?shù)列{}前n項為，滿足a＋S＝n，a＝.nnn12求證差數(shù)列；求數(shù)列{}通項公式．證明當(dāng)≥2時，由＋S＝，業(yè)資料參考分享

n1nnnnSnnnn1nnnn13n311n311n1n111n3111781311n1nnnnSnnnn1nnnn13n311n311n1n111n311178131178n得－

n

＝－2S

1

，所以－＝2S1又＝＝，故項為，公差為2的等差列．11解由1)可得＝n，S＝Sn當(dāng)≥2時，－1－1＝－＝－＝＝－n2當(dāng)＝1時，a＝不適合上式．1n1，故＝，≥．差數(shù){}，為其前n項，且a＞，S＝，則當(dāng)n多少時，最？解

方法一由＝得××a＋＝11a＋，則d＝－.1121349從而＝2＋－n＝－－＋a，n又＞，所以－＜故當(dāng)＝7時，最大．113方法二由于＝2＋是關(guān)于二次函數(shù)由S＝可知＝2的象關(guān)于n＝

3＝7對稱．由方法可知＝－＜0，故當(dāng)＝7時，S最大．13n方法三由方法一可知，d＝－.要使最大，則有即

＋n－≤，解得6.5≤，當(dāng)n＝7，最大．方法四由＝，可得＋d＝，即(a＋)＋a＋)＝，故＋＝，又由＞，＝可d＜0，所以＞，＜，所以當(dāng)n，最大．業(yè)資料參考分享

nnnn87n8nnn7n11n11nn1n87n711n9nnnn57384nn939393666657841116116166nnword，，nnnn87n8nnn7n11n11nn1n87n711n9nnnn57384nn939393666657841116116166nnB組專項能力提升(20)11設(shè)S為差數(shù)列{a}前n項，nS＜

1

(∈N*．若＜－，則()A的大值是

B的最小值是

8C．的大值是S

7

D．的小值是S答案DSn＋解析由條件得＜，即＜，以＜，所以等差數(shù)列{}n2n為遞增數(shù)列．又＜－，所以＞0，a＜0即數(shù)列{}項小于，第8項于零，所以的最小值為，故選設(shè)等差數(shù){}前項和