高中數(shù)學人教A版2第二章推理與證明（全國一等獎）

江西師大附中高二年級數(shù)學（理）月考試卷命題：謝輝審題：張和良一、選擇題1.已知x為實數(shù)，則“”是“x＞1”的（）A．充分非必要條件 B．充要條件C．必要非充分條件 D．既不充分也不必要條件2.極坐標系中，點A（1，），B（3，）之間的距離是（）A． B． C． D．3.把曲線：（為參數(shù)）上各點的橫坐標壓縮為原來的，縱坐標壓縮為原來的，得到的曲線為（）A. B.C. D.4.方程（t為參數(shù)）表示的曲線是（）。A.兩條射線 B.一條直線 C.一條線段 D.拋物線的一部分5.設A={（x，y）|y=1+}，B={（x，y）|y=k（x﹣2）+4}，若A∩B中含有兩個元素，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．6.在下列函數(shù)中，當x取正數(shù)時，最小值為2的是（）A． B．C．D．7.如圖所示，某公園設計節(jié)日鮮花擺放方案，其中一個花壇由一批花盆堆成六角垛．頂層一個，以下各層堆成正六邊形，逐層每邊增加一個花盆，若這垛花盆底層最長的一排共有13個花盆，則底層的花盆的個數(shù)是（）A．91 B．127 C．169 D．2558.已知過雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的中心的直線交雙曲線于點A，B，在雙曲線C上任取與點A，B不重合的點P，記直線PA，PB，AB的斜率分別為k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，則離心率e的取值范圍為（）A．1＜e＜ B．1＜e≤ C．e＞ D．e≥9.已知f（x）是可導的函數(shù)，且（x）＜f（x）對于x∈R恒成立，則（）A．f（1）＜ef（0），f（2014）＞e2023f（0） B．f（1）＞ef（0），f（2014）＞e2023f（0）C．f（1）＞ef（0），f（2014）＜e2023f（0） D．f（1）＜ef（0），f（2014）＜e2023f（0）10.直線l：y=k（x﹣）與曲線x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B兩點，則直線l傾斜角的取值范圍是（）A．（0，π） B．（，）∪（，） C．[0，）∪（，π） D．（，）11.若直線l1：y=x，l2：y=x+2與圓C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四個交點把圓C分成的四條弧長相等，則m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．012.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：，且f（0）=，則的最大值為（）A．0 B． C．1 D．2

二填空題13.下列有關命題的說法正確的有（填寫序號） ①命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0” ②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件 ③若p∧q為假命題，則p和q均為假命題 ④對于命題p：?x∈R使得x2+x+1＜0，則￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0． 14.已知為偶函數(shù)，當時，，則曲線在處的切線方程式為______________.15.已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．現(xiàn)給出如下結論：①f（0）f（1）＞0； ②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0； ④f（0）f（3）＜0．其中正確結論的序號是．16.在平面直角坐標系中，當P（x，y）不是原點時，定義P的“伴隨點”為P′（，）；當P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，平面曲線C上所有點的“伴隨點”所構成的曲線C′定義為曲線C的“伴隨曲線”．現(xiàn)有下列命題：①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A；②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；③若曲線C關于x軸對稱，則其“伴隨曲線”C′關于y軸對稱；④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線．其中的真命題是（寫出所有真命題的序列）．三、解答題17.設命題p：“對任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命題q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命題p∨q為真，命題p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍．18.以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，0＜α＜π），曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）設點P的直角坐標為P（2，1），直線l與曲線C相交于A、B兩點，并且，求tanα的值．19.數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知an=（Ⅰ）求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表達式；（Ⅱ）請用數(shù)學歸納法證明你的猜想．20.已知圓O：x2+y2=4，點F（，0），以線段MF為直徑的圓內(nèi)切于圓O，記點M的軌跡為C（1）求曲線C的方程；（2）若過F的直線l與曲線C交于A，B兩點，問：在x軸上是否存在點N，使得?為定值？若存在，求出點N坐標；若不存在，說明理由．21.如圖，P是拋物線C：上橫坐標大于零的一點，直線l過點P并與拋物線C在點P處的切線垂直，直線l與拋物線C相交于另一點Q．（1）當點P的橫坐標為2時，求直線l的方程；（2）若，求過點P，Q，O的圓的方程．22.已知直線經(jīng)過橢圓S：的一個焦點和一個頂點．

（1）求橢圓S的方程；

（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為．①若直線PA平分線段MN，求的值；

②對任意，求證：．

12月考理科數(shù)學答案13.①②④14.15.②③16.②③17.18.解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲線C的直角坐標方程為y2=4x．（II）將代入y2=4x，得sin2α?t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，所以，或，即或19.20.解：（1）設FM的中點為Q，切點為G，連OQ，QG，則|OQ|+|QG|=|OG|=2，取F關于y軸的對稱點F′，連F′M，故|F′M|+|MF|=2（|OQ|+|QG|）=4．點M的軌跡是以F′，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓．其中，a=2，c=，b=1，則曲線C的方程為+y2=1；（2）當直線l的斜率存在時，設其方程為y=k（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得．則△＞0，，若存在定點N（m，0）滿足條件，則有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2+===．如果要上式為定值，則必須有，解得m=，此時=．驗證當直線l斜率不存在時，也符合．故存在點N（，0）滿足?為定值．21.解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，∴點P的坐標為（2，2）．…由，①得y'=x，∴過點P的切線的斜率k切=2，…直線l的斜率k1==，…∴直線l的方程為y﹣2=，即x+2y﹣6=0…（Ⅱ）設P（x0，y0），則．∵過點P的切線斜率k切=x0，因為x0≠0．∴直線l的斜率k1==，直線l的方程為．②…設Q（x1，y1），且M（x，y）為PQ的中點，因為，所以過點P，Q，O的圓的圓心為M（x，y），半徑為r=|PM|，…且，…所以x0x1=0（舍去）或x0x1=﹣4…聯(lián)立①②消去y，得由題意知x0，x1為方程的兩根，所以，又因為x0＞0，所以，y0=1；所以，y1=4…∵M是PQ的中點，∴