高中數(shù)學(xué)人教B版本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 2023版第1章角度問題

第2課時(shí)角度問題1.能靈活運(yùn)用正弦定理及余弦定理解角度問題.(重點(diǎn))2.會將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題.(難點(diǎn))3.能根據(jù)題意畫出幾何圖形.(易錯(cuò)點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理方位角與方向角閱讀教材P14問題4，完成下列問題.1.方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.如點(diǎn)B的方位角為α(如圖1-2-17所示).圖1-2-17方位角的取值范圍：0°～360°.2.方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)為()(1)若P在Q的北偏東44°，則Q在P的東偏北44°方向；(2)如圖1-2-18所示，該角可以說成北偏東110°；圖1-2-18(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系，其范圍均是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(4)若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°方向，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B北偏西15°方向.B.2【解析】(1)錯(cuò)誤.因若P在Q的北偏東44°，則Q應(yīng)在P的南偏西44°.(2)錯(cuò)誤.因本圖所標(biāo)角應(yīng)為方位角，可以說成點(diǎn)A的方位角為110°.(3)錯(cuò)誤.因?yàn)榉较蚪堑姆秶鸀?°～90°，而方位角的范圍為0°～360°.(4)正確.【答案】A2.某次測量中，A在B的南偏東34°27′，B在A的()A.北偏西34°27′ B.北偏東55°33′C.北偏西55°33′ D.南偏西55°33′【解析】如圖所示.【答案】A3.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()km \r(3)akm\r(2)akm D.2akm【解析】如圖，可知∠ACB＝120°，AC＝BC＝a.在△ABC中，過點(diǎn)C作CD⊥AB，則AB＝2AD＝2asin60°＝eq\r(3)a.【答案】B4.某人從A處出發(fā)，沿北偏東60°行走3eq\r(3)km到B處，再沿正東方向行走2km到C處，則A，C兩地的距離為________km.【解析】如圖所示，由題意可知AB＝3eq\r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3eq\r(3)×2×cos150°＝49，AC＝7.所以A，C兩地的距離為7km.【答案】7[小組合作型]角度問題(1)如圖1-2-19，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()圖1-2-19A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東80°D.南偏西80°(2)有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形，它的上底長為6m，下底長為10m，高為2eq\r(3)m，那么此攔水壩斜坡的坡比和坡角分別是()\f(\r(3),3)，60° \r(3)，60°\r(3)，30° \f(\r(3),3)，30°【精彩點(diǎn)撥】(1)兩座燈塔A、B與觀察站C的距離相等，說明∠A與∠B有何大小關(guān)系？燈塔B在觀察站南偏東60°，說明∠CBD是多少度？(2)本小題關(guān)鍵是理解坡比與坡角的意義.【自主解答】(1)由條件及圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.(2)如圖所示，橫斷面是等腰梯形ABCD，AB＝10m，CD＝6m，高DE＝2eq\r(3)m，則AE＝eq\f(AB－CD,2)＝2m，∴tan∠DAE＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，∴∠DAE＝60°.【答案】(1)D(2)B測量角度問題畫示意圖的基本步驟：[再練一題]1.在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時(shí)，風(fēng)向是北偏東30°，風(fēng)速是20km/h；水的流向是正東，流速是20km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|________，大小為________km/h.【導(dǎo)學(xué)號：18082023】【解析】∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20eq\r(3)，∠COY＝30°＋30°＝60°.【答案】60°20eq\r(3)求航向的角度某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°，距離為10nmile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9nmile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間.【精彩點(diǎn)撥】本題中所涉及的路程在不斷變化，但艦艇和漁輪相遇時(shí)所用時(shí)間相等，先設(shè)出所用時(shí)間t，找出等量關(guān)系，然后解三角形.【自主解答】如圖所示，根據(jù)題意可知AC＝10，∠ACB＝120°，設(shè)艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為th，并在B處與漁輪相遇，則AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根據(jù)余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×eq\f(1,2)，即360t2－90t－100＝0，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去).所以艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為eq\f(2,3)h.此時(shí)AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14)，即∠CAB≈°或∠CAB≈°(舍去).即艦艇航行的方位角為45°＋°＝°.所以艦艇以°的方位角航行，需eq\f(2,3)h才能靠近漁輪.1.測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.2.在解三角形問題中，求某些角的度數(shù)時(shí)，最好用余弦定理求角.因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在(0，π)上是單調(diào)遞減的，而正弦函數(shù)在(0，π)上不是一一對應(yīng)，一個(gè)正弦值可以對應(yīng)兩個(gè)角.但角在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上時(shí)，用正、余弦定理皆可.[再練一題]2.某海上養(yǎng)殖基地A，接到氣象部門預(yù)報(bào)，位于基地南偏東60°相距20(eq\r(3)＋1)nmile的海面上有一臺風(fēng)中心，影響半徑為20nmile，正以每小時(shí)10eq\r(2)nmile的速度沿某一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)計(jì)臺風(fēng)中心將從基地東北方向刮過且eq\r(3)＋1h后開始影響基地持續(xù)2h.求臺風(fēng)移動的方向.【解】如圖所示，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺風(fēng)中心為B，開始影響基地時(shí)臺風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時(shí)臺風(fēng)中心為D，則B、C、D在一直線上，且AD＝20，AC＝20.由題意AB＝20(eq\r(3)＋1)，DC＝20eq\r(2)，BC＝(eq\r(3)＋1)·10eq\r(2).在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(\r(3),2).∴∠BAC＝30°，又∵B位于A南偏東60°，60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向，又∵∠ADC＝45°，∴臺風(fēng)移動的方向?yàn)橄蛄縠q\o(CD,\s\up12(→))的方向.即北偏西45°方向.答：臺風(fēng)向北偏西45°方向移動.[探究共研型]求解速度問題探究1某物流投遞員沿一條大路前進(jìn)，從A到B，方位角是50°，距離是4km，從B到C，方位角是80°，距離是8km，從C到D，方位角是150°，距離是6km，試畫出示意圖.【提示】如圖所示：探究2在探究1中，若投遞員想在半小時(shí)之內(nèi)，沿小路直接從A點(diǎn)到C，則此人的速度至少是多少？【提示】如探究1圖，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos150°)＝4eq\r(7)，則此人的最小速度為v＝eq\f(4\r(7),\f(1,2))＝8eq\r(7)(km/h).探究3在探究1中若投遞員以24km/h的速度勻速沿大路從A到D前進(jìn)，10分鐘后某人以16eq\r(7)km/h的速度沿小路直接由A到C【提示】投遞員到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為t1＝eq\f(4＋8,24)＝eq\f(1,2)(小時(shí))＝30(分鐘)，追投遞員的人所用時(shí)間由探究2可知t2＝eq\f(4\r(7),16\r(7))＝eq\f(1,4)(小時(shí))＝15分鐘；由于30>15＋10，所以此人在C點(diǎn)能與投遞員相遇.如圖1-2-20所示，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50公里/小時(shí)的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向?yàn)槠囆旭偡较?，汽車開動的同時(shí)，在距汽車出發(fā)點(diǎn)O點(diǎn)的距離為5公里、距離公路線的垂直距離為3公里的M點(diǎn)的地方有一個(gè)人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機(jī).問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車行駛了多少公里？圖1-2-20【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)已知圖形構(gòu)造三角形.利用余弦定理建立速度與時(shí)間的函數(shù)求解.【自主解答】作MI垂直公路所在直線于點(diǎn)I，則MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝eq\f(4,5).設(shè)騎摩托車的人的速度為v公里/小時(shí)，追上汽車的時(shí)間為t小時(shí)，由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×eq\f(4,5)，即v2＝eq\f(25,t2)－eq\f(400,t)＋2500＝25eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－8))2＋900≥900，∴當(dāng)t＝eq\f(1,8)時(shí)，v取得最小值為30，∴其行駛距離為vt＝eq\f(30,8)＝eq\f(15,4)公里.故騎摩托車的人至少以30公里/小時(shí)的速度行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車行駛了eq\f(15,4)公里.解決實(shí)際問題應(yīng)注意的問題：1首先明確題中所給各個(gè)角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵最主要的一步.2將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，要正確使用正、余弦定理解決問題[再練一題]3.如圖1-2-21，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A處2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿著什么方向能最快追上走私船？【導(dǎo)學(xué)號：18082023】圖1-2-21【解】設(shè)緝私船用th在D處追上走私船，則有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)，且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2).∴∠ABC＝45°.∴BC與正北方向垂直.∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°.即緝私船沿東偏北60°方向能最快追上走私船.

1.已知兩座燈塔A，B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東10° D.南偏西10°【解析】如圖，因△ABC為等腰三角形，所以∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故答案為B.

【答案】B2.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A.50m B.100mC.120m D.150m【解析】設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C(圖略)，則在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根據(jù)余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.【答案】A3.已知兩燈塔A和B與海洋觀測站C的距離都等于akm，燈塔A在觀測站C的北偏東20°，燈塔B在觀測站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為________km.【導(dǎo)學(xué)號：18082023】【解析】∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理，得AB2＝a2＋a2－2a×a×c