歷年高考數(shù)學(xué)真題精選29直線與平面所成的角

歷年高考數(shù)學(xué)真題精選(按考點(diǎn)分類(lèi))專(zhuān)題29專(zhuān)題29直線與平面所成的角(學(xué)生版)一.解答題(共15小題)(2019?上海)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，M為BB上一點(diǎn)，已知BM=2,CD=3,1111 1(1)求直線AC和平面ABCD的夾角;1(2)求點(diǎn)A到平面AMC的距離.1為管1為管1(2019?天津)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，APCD為等邊三角形，平面PAC1平面PCD,PA1CD,CD=2,AD=3.(I)設(shè)G,H分別為PB,AC的中點(diǎn)，求證：GH//平面PAD；(II)求證：PA1平面PCD；(III)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.PCPC(2019?浙江)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面々ACC11平面ABC,/ABC=90。,ZBAC=30。，AA=AC=AC,E,F分別是AC,AB的中點(diǎn).1 1 11(I)證明：EF1BC；(II)求直線EF與平面ABC所成角的余弦值.1第1頁(yè)(共29頁(yè))

(2018?天津)如圖，在四面體ABCD中，AABC是等邊三角形，平面ABC1平面ABD,點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2,AD=2<3,ZBAD=90。.(I)求證：AD1BC；(II)求異面直線BC與MD所成角的余弦值；(III)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.C(2018?天津)如圖，AD//BC且AD=2BC,AD1CD,EG//AD且EG=AD,CD//FG且CD=2FG,DG1平面ABCD,DA=DC=DG=2.(I)若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN//平面CDE；(II)求二面角E-BC-F的正弦值；(I)若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60。，求線段DP的長(zhǎng).第2頁(yè)(共29頁(yè))

(2018?浙江)如圖，已知多面體ABCA^B1C,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ZABC=120。，AA=4,CC=1,AB=BC=BB=2.1 1 1(I)證明：AB±平面ABC；1 111(II)求直線AR與平面ABB1所成的角的正弦值.B(2018?新課標(biāo)I)如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把ADFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF±BF.(1)證明：平面PEF±平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.PP(2017?上海)如圖，直三棱柱ABC-A/1cl的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱KA1的長(zhǎng)為5.(1)求三棱柱ABC-A/1cl的體積；(2)設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線AM與平面ABC所成角的大小.1第3頁(yè)(共29頁(yè))(2017?浙江)如圖，已知四棱錐P-ABCD,APAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,CD1AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).(I)證明：CE//平面PAB；(II)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.(2017?天津)如圖，在四棱錐P—ABCD中，AD1平面PDC,AD//BC,PD1PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(I)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；(II)求證：PD1平面PBC；(III)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.(2016?浙江)如圖，在三棱臺(tái)ABC—DEF中，平面BCFE1平面ABC,ZACB=90。，BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求證：BF1平面ACFD；(I)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值..（2016?新課標(biāo)I）如圖，四棱錐P—ABCD中，PA1底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)證明：MN//平面PAB；第4頁(yè)(共29頁(yè))

(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.(2016"天津)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED±平面ABCD,EF//AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE=、6,/BAD=60。，G為BC的中點(diǎn).(1)求證：FG//平面BED；(2)求證：平面BED±平面AED；(3)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.(2015?天津)如圖，已知AA±平面ABC,BB//AA,AB=AC=3,BC=2v5,AA=<7,1 1 1 1BB1=2行，點(diǎn)E和F分別為BC和A1c的中點(diǎn).(I)求證：EF//平面ABBA；11(II)求證：平面AEA11平面BCB1；(III)求直線A/1與平面BCB所成角的大小.第5頁(yè)(共29頁(yè))

51C（2015?新課標(biāo)H）如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1CD中，AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,DC上，A1E=DF=4，過(guò)點(diǎn)E,F的平面a與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.（1）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不必說(shuō)明畫(huà)法和理由）；（2）求直線AF與平面a所成角的正弦值.A S第6頁(yè)（共29頁(yè)）歷年高考數(shù)學(xué)真題精選（按考點(diǎn)分類(lèi)）專(zhuān)題29專(zhuān)題29直線與平面所成的角（教師版）一.解答題（共15小題）1.（2019?上海）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，M為BB上一點(diǎn)，已知BM=2,CD=3,1111 1AD=4,AA1=5.(1)求直線AC和平面ABCD的夾角;1（2）求點(diǎn)A到平面AMC的距離.解：（1）依題意：AA±平面ABCD，連接AC，則AC與平面ABCD所成夾角為ZACA,QAAQAA1=5,AC=也2+42=5,??.△ACA為等腰三角形，1兀??.ZACA=—,1 4冗.??直線AC和平面ABCD的夾角為一,14（2）（空間向量），如圖建立坐標(biāo)系，第7頁(yè)（共29頁(yè)）

則A(0,0,0),C(3,4,0),則A(0,0,0),C(3,4,0),umr uuurAC=(3,4,0),A1c=(3,4,-5),uuuurMCuuuurMC=(0,4.-2),設(shè)平面AMC的法向量n=(%,y,z),1ruurTOC\o"1-5"\h\zngAC=3%+4y-5z=0 rruuur ,可得n=(2,1,2),ngMC=4y-2z=0murr上4MHM, 口匚聲,IACgnI 3x2+4x1 10.??點(diǎn)A到平面AMC的距離d=r=. ==-1 1n1 v22+12+22 3(2019?天津)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，APCD為等邊三角形，平面PAC1平面PCD,PA1CD,CD=2,AD=3.(I)設(shè)G,H分別為PB,AC的中點(diǎn)，求證：GH//平面PAD；(III)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.PC(II)求證：(III)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.PC證明：(I)連結(jié)BD，由題意得ACIBD=H,BH=DH,又由BG=PG，得GH//PD,QGH仁平面PAD,PDu平面PAD??.GH//平面PAD.第8頁(yè)(共29頁(yè))

（II）取棱PC中點(diǎn)N，連結(jié)DN,依題意得DN1PC,又Q平面PAC1平面PCD，平面PACc平面PCD=PC,.??DN1平面PAC,又PAu平面PAC,「.DN1PA,又PA1CD,CDIDN=D,二.PA1平面PCD.解：（III）連結(jié)AN，由（II）中DN1平面PAC,知ZDAN是直線AD與平面PAC所成角，QAPCD是等邊三角形，CD=2，且N為PC中點(diǎn)，DN=*3，又DN1AN,在RtAAND中，sinZDAN=——=——.DA3 、：33C直線AD與平面PAC所成角的正弦值為一.3C3.(2019?浙江)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C,平面A1ACC11平面ABC,ZABC=90。,ZBAC=30。，AA=AC=AC,E,F分別是AC,AB的中點(diǎn).1 1 11(I)證明：EF1BC；(I)求直線EF與平面ABC所成角的余弦值.第9頁(yè)（共29頁(yè)）方法證明：（I）連結(jié)AE,QAA=AC,E是AC的中點(diǎn)，1 1 1??.AE±AC,1又平面A1ACC1±平面ABC,A1Eu平面々ACC1,平面A1ACC1c平面ABC=AC,??.A1E1平面ABC,「.A1E±BC,QA1F//AB,ZABC=90°,/.BC±A/,..?BC1平面AEF,「.EF1BC.1解：（II）取BC中點(diǎn)G,連結(jié)EG、GF,則EGFA］是平行四邊形，由于A1E1平面ABC，故A1E1EG,???平行四邊形EGEA1是矩形，由（1）得BC1平面EGFA,則平面A1BC1平面EGFA,???EF在平面ABC上的射影在直線AG上，連結(jié)AG，交EF于O，則ZEOG是直線EF與平面ABC所成角（或其補(bǔ)角），TOC\o"1-5"\h\z不妨設(shè)AC=4，則在Rt△AEG中，AE=2、A,EG=<3,1 1QO是AG的中點(diǎn)，故EO=OG= =,1 2 2...cosZEOG...cosZEOG=EO2+OG2—EG2

2xEOxOG第10頁(yè)（共29頁(yè)）3.??直線EF與平面ABC所成角的余弦值為3.1 5方法二：證明：（I）連結(jié)AE,QAA=AC,E是AC的中點(diǎn)，1 1 1??.AE±AC,1又平面A1ACC1±平面ABC,A1Eu平面々ACq,平面A1ACC1c平面ABC=AC,??.AE±平面ABC,1如圖，以E為原點(diǎn)，在平面ABC中，過(guò)E作AC的垂線為x軸，ECEC,EA1所在直線分別為j,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，W3W3,2c3),C(0,2,0),2>2>uuur _AC=(0,2,-2v3)1設(shè)AC=4,則A(0,0,2k3),B(<3,1,0),B(V3,3,2<3),F(1uur "33 _ unr 一EF=(y,2,2v3),BC=(-x-3,1,0),uuruur由EFgBC=0，得EF1BC.解：（II）設(shè)直線EF與平面ABC所成角為9,1uur—由(1)得BC=(f31,0)，r設(shè)平面ABC的法向量n=(x,j,z),1「uurr廠BCg=-V3x+j=0取zBr6則〈umrr「 ，取x=1,得n=(1,43,1),ACgn=j-V3z=01uurr.八 IEFgnI 4二.sin9=uur—丁=一,EFIgnI5.??直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為^1-(|)2=3第11頁(yè)（共29頁(yè)）X(2018?天津)如圖，在四面體ABCD中，AABC是等邊三角形，平面ABC1平面ABD,點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2,AD=2、,：3,ZBAD=90。.(I)求證：AD1BC；(II)求異面直線BC與MD所成角的余弦值；(III)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.C(I)證明：由平面ABC1平面ABD，平面ABCn平面ABD=AB,AD1AB,得AD1平面ABC，故AD1BC；(II)解：取棱AC的中點(diǎn)N，連接MN,ND,QM為棱AB的中點(diǎn)，故MN//BC,:.ZDMN(或其補(bǔ)角)為異面直線BC與MD所成角，在RtADAM中，AM=1,故DM=\:AD2+AM2=<13,QAD1平面ABC，故AD1AC,在RtADAN中，AN=1,故DN=、；a^D2+AN2=v13,1MN左在等腰二角形DMN中，MN=1,可得cosZDMN=2——=——DM26???異面直線BC與MD所成角的余弦值為13；26(I)解：連接CM,QAABC為等邊三角形，M為邊AB的中點(diǎn)，第12頁(yè)(共29頁(yè))

故CM1AB,CM=<3,又Q平面ABC1故CM1AB,CM=<3,故CM1平面ABD，則ZCDM為直線CD與平面ABD所成角.在RtACAD中，CD=\AC2+AD2=4,在RtACMD中，sinZCDM=CM=巨.CD4…一，……一一行???直線CD與平面ABD所成角的正弦值為一.(2018?天津)如圖，AD//BC且AD=2BC,AD1CD,EG//AD且EG=AD,CD//FG且CD=2FG，DG1平面ABCD，DA=DC=DG=2.(I)若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN//平面CDE；(II)求二面角E-BC-F的正弦值；(III)若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60。，求線段DP的長(zhǎng).unrunr(I)證明：依題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DG的方向?yàn)閤軸，J軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),3E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,-,1),N(1,0,2).第13頁(yè)(共29頁(yè))

ur設(shè)n=(%,y,z)為平面CDE的法向量，0rUQTUULT,ngDC=2y=0 ,一ur則<uruur ，不妨令z=一1,可得n-(1,0,-1)；ngDE-2%+2z-0 00uuur3 uuurur又MN=(1,一一,1)，可得MNgn=0.0又Q直線MN《平面CDE,:.MN//平面CDE；uuur uuur uuur(II)解：依題意，可得BC-(-1,0,0),BE-(1,-2,2),CF-(0,-1,2).r設(shè)n-(%,y,z)為平面BCE的法向量，rruur?,ngBC——%—0 T上、人 —r則<ruur ，不妨令z-1,可得n-(0,1,1).ngBE-%-2y+2z-0r設(shè)m-(%,y,z)為平面BCF的法向量，ruuur?,mgBC-—%—0 —上、人 ―/口r則<ruur ，不妨令z-1,可得m-(0,2,1).mgCF=-y+2z=0rrrr mgrrrr mgn因此有cos<m,n>=r廣ImlgnI3"1010于是sin<rrv10

m,n>= 10.??二面角E-BC-F的正弦值為..??二面角E-BC-F的正弦值為.；10(III)解：設(shè)線段DP的長(zhǎng)為h，(he[0,2])，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0，h)，uuur uuur可得BP-(-1,-2,h)，而DC-(0,2,0)為平面ADGE的一個(gè)法向量，uuuruur…uuruuurIBPCDI 2故Icos<BP,DC>l-uur^ur- .IBPIgDCIhh2+5由題意，可得.二 二sin60°———■，解得h———■e[0，2].,h2+5 2 3???線段DP的長(zhǎng)為—.3第14頁(yè)(共29頁(yè))6.（2018?浙江）如圖，已知多面體ABCA^BC,A1A,BB,CC均垂直于平面ABC,ZABC=120。，AA=4,CC=1,AB=BC=BB=2.TOC\o"1-5"\h\z1 1 1(I)證明：AB±平面ABC；1 111（II）求直線AR與平面ABB1所成的角的正弦值.(I)證明：QA1A±平面ABC,BB1平面ABC,A4//BB,QAA1=4,BB=2,AB=2,?.AB=\(AB)2+(AA-BB)2=2<2,11 1 1又AB=aBB2+BB2=2<2,/.AA2=AB2+AB2,1 1 1 111?.AB]1%，同理可得：AB11B1C1,又A/JB1cl=B,?.AB11平面A/1cl.第15頁(yè)（共29頁(yè)）

（II）解：取AC中點(diǎn)O，過(guò)O作平面ABC的垂線OD，交A1C于D,QAB=BC，「.OB1OC，QAB=BC=2，ZBAC=120。，/.OB=1,OA=OC=、3，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OD所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:B（1，0，0），B（1，0，2），C（0，石，1），uur_ umrABuur_ umrAB=(1，V3，0)，BB1=(0，0，r設(shè)平面ABB.的法向量為n=(%，y，2)umnr 一Aq=(0，2V3，1)，ruurngAB=0ruuur，ngBBl=0i12；=fy=0，令y=1可得克=（一a-），ruur_一ruuur rgAC 2<3 <39/.cos<n,AC>=f_uuur= == 1InIIACI2義V13 131ruuur ,.；3o設(shè)直線AJ與平面ABB1所成的角為9，則sin9=Icos<n,Aq>I=寧:1311???直線AC1311???直線AC與平面ABB所成的角的正弦值為也.7.（2018?新課標(biāo)I）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把ADFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF1BF.（1）證明：平面PEF1平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.第16頁(yè)（共29頁(yè)）p(1)證明：由題意，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，1 1一貝UAE=-AD,BF=—BC,2 2由于四邊形ABCD為正方形，所以EF1BC.由于PF1BF,EFIPF=F，則BF1平面PEF.又因?yàn)锽Fu平面ABFD，所以：平面PEF1平面ABFD.(2)在平面PEF中，過(guò)P作PH1EF于點(diǎn)H，連接DH,由于EF為面ABCD和面PEF的交線，PH1EF,則PH1面ABFD，故PH1DH.在三棱錐P-DEF中，可以利用等體積法求PH,因?yàn)镈E//BF且PF1BF,所以PF1DE,又因?yàn)锳PDF=ACDF,所以/FPD=/FCD=90。，所以PF1PD,由于DEIPD=D，則PF1平面PDE,故y =1PFgS ,F-PDE3 APDE因?yàn)锽F//DA且BF1面PEF,所以DA1面PEF,所以DE1EP.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a,則PD=2a,DE=a在APDE中，PE=<3a,…右所以S =—a2,APDE2第17頁(yè)(共29頁(yè))故V =^~a3,F-PDE6又因?yàn)镾 =-aga=a2,ADEF2所以PH=3匕—pde=——a,a2 2所以在APHD中，sinZPDH=PH=旦,PD4即ZPDH為DP與平面ABFD所成角的正弦值為：—48.（2017"上海）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱KA1的長(zhǎng)為5.（1）求三棱柱ABC-A/1cl的體積；（2）設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線AM與平面ABC所成角的大小.1解：（1）Q直三棱柱ABC-A/1cl的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱坐的長(zhǎng)為5.???三棱柱ABC-A/1cl的體積:V=S^BCXAA1=1xABxACxAA2 1=1x4x2x5=20.2(2)連結(jié)AM,第18頁(yè)（共29頁(yè)）Q直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為5,M是BC中點(diǎn)，??.AA±底面ABC,AM=-BC=-<16+4=v5,i 2 2?../AMA是直線AM與平面ABC所成角，1 1tanNAMA= r=-=55，AMv5直線A1M與平面ABC所成角的大小為arctanl5.9.（2017?浙江）如圖，已知四棱錐P-ABCD,APAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,CD1AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).（I）證明：CE//平面PAB；（II）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.P證明：（I）取AD的中點(diǎn)/，連結(jié)EF,CF,QE為PD的中點(diǎn)，EF//PA,在四邊形ABCD中，BC//AD,AD=2DC=2CB,F為中點(diǎn)，??.CF//AB,.??平面EFC//平面ABP,QECu平面EFC,EC//平面PAB.解：（II）連結(jié)BF，過(guò)F作FM1PB于M，連結(jié)PF,QPA=PD,，PF1AD,推導(dǎo)出四邊形BCDF為矩形，，BF1AD,第19頁(yè)（共29頁(yè)），AD±平面PBF，又AD//BC,:.BC1平面PBF,BC1PB,設(shè)DC=CB=1,由PC=AD=2DC=2CB，得AD=PC=2,:PB=\CC2—BC2=v4^1=?-3,BF=PF=1,:MF=1,2又BC1平面PBF,:BC1MF,?:MF1平面PBC，即點(diǎn)F到平面PBC的距離為1,2QMF=1,D到平面PBC的距離應(yīng)該和MF平行且相等，為1,2 2E為PD中點(diǎn)，E到平面PBC的垂足也為垂足所在線段的中點(diǎn)，即中位線，?:E到平面PBC的距離為1，4在APCD中,PC=2,CD=1,PD=21，由余弦定理得CE=<2，1設(shè)直線CE與平面PBC所成角為。，則sin9=工-=—CE8P（2017?天津）如圖，在四棱錐P—ABCD中，AD1平面PDC,AD//BC,PD1PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(I)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；(II)求證：PD1平面PBC；(III)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.第20頁(yè)(共29頁(yè))

AA【解答】解：（I）如圖，由已知AD//BC,故/DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角.因?yàn)锳D±平面PDC，所以AD±PD.AP在RtAPDA中，由已知，得AP=\AD2+PD2=<5,故cosZDAP= -.AP所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為個(gè).證明：（II）因?yàn)锳D±平面PDC，直線PDu平面PDC,所以AD±PD.又因?yàn)锽C//AD，所以PD1BC,又PD1PB，所以PD1平面PBC.解：（III）過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)尸，連結(jié)PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因?yàn)镻D1平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以ZDFP為直線DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC,DF//AB，故BF=AD=1,由已知，得CF=BC—BF=2.又AD1DC，故BC1DC,在RtADPF中，可得sinZDFP=PD=}5.DF55所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為—.5第21頁(yè)（共29頁(yè)）A(2016?浙江)如圖，在三棱臺(tái)ABC—DEF中，平面BCFE1平面ABC,ZACB=90。,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求證：BF1平面ACFD；(II)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.DF【解答】解：(I)證明：延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K，如圖所示：Q平面BCFE1平面ABC，且AC1BC；.??AC1平面BCK,BFu平面BCK；.??BF1AC；又EF//BC,BE=EF=FC=1,BC=2；/.ABCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)；.??BF1CK，且AC1CK=C；/BF1平面ACFD；QBF1平面ACFD；,ZBDF是直線BD和平面ACFD所成的角;QF為CK中點(diǎn)，且DF//AC；/DF為AACK的中位線，且AC=3；./DF=-；2又BF=v-；第22頁(yè)(共29頁(yè))i _ 3 _???在RtABFD中，BD=、'3+9=且,cos/BDF="=~^==21；；42 BD*21 7~T 歷即直線BD和平面ACFD所成角的余弦值為——7B12.（2016?新課標(biāo)山）如圖，四棱錐P—ABCD中，PA±底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（1）證明：MN//平面PAB；（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.P【解答】（1）證明：法一、如圖，取PB中點(diǎn)G，連接AG,NG,QN為PC的中點(diǎn)，NG//BC，且NG=一AM//BC，且一AM//BC，且AM=-BC,則NG//AM，且NG=AM,四邊形AMNG為平行四邊形，則NM//AG,QAGu平面PAB,NM仁平面PAB,MN//平面PAB；第23頁(yè)（共29頁(yè)）2又AM=-AD=2,BC=4，且AD//BC,3

法二、在APAC中，過(guò)N作NE1AC，垂足為E，連接ME,在AABC中，由已知在AABC中，由已知AB=AC=3,得cosZACB二42+32-32QAD//BC,/.cos/.cosZEAM=—,3則sinZEAM=二5,3在AEAM中,一2.一1一3QAM=-AD=2,AE=—AC=—3 2 2,—廠 - —— 9.一3一23由余弦定理得：EM=AEE2+AM2-2AEgAMg^osZEAM=',：一+4一2x—x2x—=—4 2 32/.cosZAEM=+一4而在AABC/.cosZAEM=+一4而在AABC中，cosZBAC=32+32-422x3x3...cosZAEM=cosZBAC，即ZAEM=ZBAC，AB//EM，則UEM//平面PAB.由PA1底面ABCD，得PA1AC，又NE1AC,NE//PA,則UNE//平面PAB.QNEIEM=E,.??平面NEM//平面PAB，則MN//平面PAB；2(2)解：在AAMC中，由AM=2,AC=3,cosZMAC=-,得3CM2=AC2+AM2-2ACgAM爾osZMAC=9+4-2x3x2x-=5.3AM2+MC2=AC2，則UAM1MC,QPA1底面ABCD,PAu平面PAD,.??平面ABCD1平面PAD，且平面ABCDn平面PAD=AD,/.CM1平面PAD，則平面PNM1平面PAD.在平面PAD內(nèi)，過(guò)A作AF1PM，交PM于F，連接NF，則ZANF為直線AN與平面PMN所成角.在RtAPAC中，由N是PC的中點(diǎn)，得AN=1PC=1vPA2+PC2=5,2 2 2第24頁(yè)（共29頁(yè)）

在RtAPAM中，由PAgAM在RtAPAM中，由PAgAM=PMgAF，得AF=PAgAMPMk42+22AF-5-8P5AN―5—252???直線AN與平面PMN所成角的正弦值為晅25.13.(2016?天津)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED±平面ABCD,EF//AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE=<6.13.(2016?天津)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED±平面ABCD,EF//AB,(1)求證：FG//平面BED；(2)求證：平面BED±平面AED；(3)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.【解答】證明：(1)BD的中點(diǎn)為O，連接OE,OG，在ABCD中，QG是BC的中點(diǎn)，OG//DC，且OG=1DC=1,2又QEF//AB,AB//DC,EF//OG，且EF=OG,即四邊形OGEF是平行四邊形，第25頁(yè)(共29頁(yè))

FG//OE,QFG仁平面BED,OEu平面BED,FG//平面BED；(2)證明：在AABD中，AD=1,AB=2,ZBAD=60。,由余弦定理可得BD=v3，僅而ZADB=90。,即BD±AD,又Q平面AED±平面ABCD,BDu平面ABCD，平面AEDC平面ABCD=AD,「.BD±平面AED,QBDu平面BED,.??平面BED±平面AED.（Ill）QEF//AB,.??直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角，過(guò)點(diǎn)A作AH±DE于點(diǎn)H，連接BH,又平面BEDC平面AED=ED,由（2）知AH1平面BED,.??直線AB與平面BED所成的角為ZABH,2在AADE,AD=1,DE=3,AE=<6，由余弦定理得cosZADE=一,3sinZADE二三，3...AH...AH=AHAB6在RtAAHB中，sinZABH=——???直線EF與平面BED所成角的正弦值A(chǔ)B66第26頁(yè)（共29頁(yè)）F E14.(2015?天津)如圖，已知AA]±平面A5C,BB/