高中數(shù)學人教B版3第一章計數(shù)原理 第1章章末分層突破

章末分層突破[自我校對]①分類加法計數(shù)原理②分步乘法計數(shù)原理③排列④排列數(shù)公式⑤組合數(shù)公式⑥組合數(shù)⑦二項展開式的通項⑧對稱性⑨增減性兩個計數(shù)原理的應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)，對應(yīng)用題的考查，經(jīng)常要對問題進行分類或者分步進而分析求解.(1)“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨立完成所給事情.“分步”表現(xiàn)為必須把各步驟均完成，才能完成所給事情，所以準確理解兩個原理的關(guān)鍵在于弄清分類加法計數(shù)原理強調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，不論哪一類辦法中的哪一種方法都能夠獨立完成事件.(2)分步乘法計數(shù)原理強調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成事件，步與步之間互不影響，即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法.王華同學有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀.(1)若他從這些參考書中帶一本去圖書館，有多少種不同的帶法？(2)若帶外語、數(shù)學、物理參考書各一本，有多少種不同的帶法？(3)若從這些參考書中選2本不同學科的參考書帶到圖書館，有多少種不同的帶法？【精彩點撥】解決兩個原理的應(yīng)用問題，首先應(yīng)明確所需完成的事情是什么，再分析每一種做法使這件事是否完成，從而區(qū)分加法原理和乘法原理.【規(guī)范解答】(1)完成的事情是帶一本書，無論帶外語書，還是數(shù)學書、物理書，事情都已完成，從而確定為應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，結(jié)果為5＋4＋3＝12(種).(2)完成的事情是帶3本不同學科的參考書，只有從外語、數(shù)學、物理書中各選1本后，才能完成這件事，因此應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)果為5×4×3＝60(種).(3)選1本外語書和選1本數(shù)學書應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理，有5×4＝20種選法；同樣，選外語書、物理書各1本，有5×3＝15種選法；選數(shù)學書、物理書各1本，有4×3＝12種選法.即有三類情況，應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，結(jié)果為20＋15＋12＝47(種).應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題時主要考慮三方面的問題：1要做什么事；2如何去做這件事；3怎樣才算把這件事完成了.并注意計數(shù)原則：分類用加法，分步用乘法.[再練一題]1.如圖1-1為電路圖，從A到B共有________條不同的線路可通電.圖1-1【解析】先分三類.第一類，經(jīng)過支路①有3種方法；第二類，經(jīng)過支路②有1種方法；第三類，經(jīng)過支路③有2×2＝4(種)方法，所以總的線路條數(shù)N＝3＋1＋4＝8.【答案】8排列、組合的應(yīng)用排列、組合應(yīng)用題是高考的重點內(nèi)容，常與實際問題結(jié)合命題，要認真審題，明確問題本質(zhì)，利用排列、組合的知識解決.(1)某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設(shè)，其中甲不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？(2)在高三一班元旦晚會上，有6個演唱節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目.①當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？②當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？③若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個欄目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？【精彩點撥】按照“特殊元素先排法”分步進行，先特殊后一般.【規(guī)范解答】(1)因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：①若甲乙都不參加，則有派遣方案Aeq\o\al(4,8)種；②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學生有Aeq\o\al(3,8)種方法，所以共有3Aeq\o\al(3,8)種方法；③若乙參加而甲不參加同理也有3Aeq\o\al(3,8)種；④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余學生到另兩個城市有Aeq\o\al(2,8)種，共有7Aeq\o\al(2,8)種方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為Aeq\o\al(4,8)＋3Aeq\o\al(3,8)＋3Aeq\o\al(3,8)＋7Aeq\o\al(2,8)＝4088種.(2)①第一步，先將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來，看成1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，有Aeq\o\al(7,7)＝5040種方法；第二步，再松綁，給4個節(jié)目排序，有Aeq\o\al(4,4)＝24種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有5040×24＝120960種.②第一步，將6個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”)，一共有Aeq\o\al(6,6)＝720種方法.×□×□×□×□×□×□×第二步，再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個節(jié)目中間(即圖中“×”的位置)，這樣相當于7個“×”選4個來排，一共有Aeq\o\al(4,7)＝7×6×5×4＝840種.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有720×840＝604800種.③若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有Aeq\o\al(12,12)種排法，但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的方式有eq\f(A\o\al(12,12),A\o\al(10,10))＝Aeq\o\al(2,12)＝132種排法.解排列、組合應(yīng)用題的解題策略1.特殊元素優(yōu)先安排的策略.2.合理分類和準確分步的策略.3.排列、組合混合問題先選后排的策略.4.正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略.5.相鄰問題捆綁處理的策略.6.不相鄰問題插空處理的策略.7.定序問題除序處理的策略.8.分排問題直排處理的策略.9.“小集團”排列問題中先整體后局部的策略.10.構(gòu)造模型的策略.簡單記成：合理分類，準確分步；特殊優(yōu)先，一般在后；先取后排，間接排除；集團捆綁，間隔插空；抽象問題，構(gòu)造模型；均分除序，定序除序.[再練一題]2.(1)一次考試中，要求考生從試卷上的9個題目中選6個進行答題，要求至少包含前5個題目中的3個，則考生答題的不同選法的種數(shù)是() (2)(2023·山西質(zhì)檢)A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有()種 種種 種【解析】(1)分三類：第一類，前5個題目的3個，后4個題目的3個；第二類，前5個題目的4個，后4個題目的2個；第三類，前5個題目的5個，后4個題目的1個.由分類加法計數(shù)原理得Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(5,5)Ceq\o\al(1,4)＝74.(2)由題意知，不同的座次有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48種，故選B.【答案】(1)B(2)B二項式定理問題的處理方法和技巧對于二項式定理的考查常出現(xiàn)兩類問題，一類是直接運用通項公式來求特定項.另一類，需要運用轉(zhuǎn)化思想化歸為二項式定理來處理問題.(1)若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,x)))7的展開式中eq\f(1,x3)的系數(shù)是84，則實數(shù)a＝() \r(5,4) \f(\r(2),4)(2)已知(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x3)))n(n∈N＋)的展開式中沒有常數(shù)項，且2≤n≤8，則n＝________.【導學號：62980030】(3)設(shè)(3x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a6＋a4＋a2＋a0的值為________.【精彩點撥】(1)、(2)利用二項式定理的通項求待定項；(3)通過賦值法求系數(shù)和.【規(guī)范解答】(1)二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,x)))7的展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)(2x)7－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)))r＝Ceq\o\al(r,7)27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展開式中eq\f(1,x3)的系數(shù)是Ceq\o\al(5,7)22a5＝84，解得a＝1.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x3)))n展開式的通項是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xn－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)))r＝Ceq\o\al(r,n)xn－4r，r＝0,1,2，…，n，由于(1＋x＋x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x3)))n的展開式中沒有常數(shù)項，所以Ceq\o\al(r,n)xn－4r，xCeq\o\al(r,n)xn－4r＝Ceq\o\al(r,n)xn－4r＋1和x2Ceq\o\al(r,n)xn－4r＝Ceq\o\al(r,n)xn－4r＋2都不是常數(shù)，則n－4r≠0，n－4r＋1≠0，n－4r＋2≠0，又因為2≤n≤8，所以n≠2,3,4,6,7,8，故取n＝5.(3)令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64.令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)6＝4096.兩式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4160，所以a6＋a4＋a2＋a0＝2080.【答案】(1)C(2)5(3)20801.解決與二項展開式的項有關(guān)的問題時，通常利用通項公式.2.解決二項展開式項的系數(shù)(或和)問題常用賦值法.[再練一題]3.(1)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝() (2)設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512016＋a能被13整除，則a＝() 【解析】(1)因為f(m，n)＝Ceq\o\al(m,6)Ceq\o\al(n,4)，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4)＝120.(2)512016＋a＝(13×4－1)2016＋a，被13整除余1＋a，結(jié)合選項可得a＝12時，512016＋a能被13整除.【答案】(1)C(2)D排列、組合中的分組與分配問題n個不同元素按照條件分配給k個不同的對象稱為分配問題，分定向分配與不定向分配兩種問題；將n個不同元素按照某種條件分成k組，稱為分組問題，分組問題有不平均分組、平均分組、部分平均分組三種情況.分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個數(shù)相同是不區(qū)分的，而后者即使2組元素個數(shù)相同，但因所屬對象不同，仍然是可區(qū)分的.對于后者必須先分組再排列.按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.【精彩點撥】這是一個分配問題，解題的關(guān)鍵是搞清事件是否與順序有關(guān)，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏.【規(guī)范解答】(1)無序不均勻分組問題.先選1本有Ceq\o\al(1,6)種選法，再從余下的5本中選2本有Ceq\o\al(2,5)種選法，最后余下3本全選有Ceq\o\al(3,3)種選法.故共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(種).(2)有序不均勻分組問題.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)問基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360(種).(3)無序均勻分組問題.先分三步，則應(yīng)是Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為(AB，CD，EF)，則Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種分法中還有(AB，EF，CD)，(AB，CD，EF)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共Aeq\o\al(3,3)種情況，而這Aeq\o\al(3,3)種情況僅是AB，CD，EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15(種).(4)有序均勻分組問題.在第(3)問基礎(chǔ)上再分配給3個人，共有分配方式eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90(種).(5)無序部分均勻分組問題.共有eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝15(種).(6)有序部分均勻分組問題.在第(5)問基礎(chǔ)上再分配給3個人，共有分配方式eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種).(7)直接分配問題.甲選1本有Ceq\o\al(1,6)種方法，乙從余下5本中選1本有Ceq\o\al(1,5)種方法，余下4本留給丙有Ceq\o\al(4,4)種方法.共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)＝30(種).均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問題的常見題型.解決此類問題的關(guān)鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組，無序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)，還要充分考慮到是否與順序有關(guān)，有序分組要在無序分組的基礎(chǔ)上乘以分組數(shù)的階乘數(shù).[再練一題]4.有4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1,2,3,4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行.如果取出的4張卡片所標數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有多少種？【解】取出的4張卡片所標數(shù)字之和等于10，共有3種情況：1144,2233,1234.所取卡片是1144的共有Aeq\o\al(4,4)種排法.所取卡片是2233的共有Aeq\o\al(4,4)種排法.所取卡片是1234，則其中卡片顏色可為無紅色，1張紅色，2張紅色，3張紅色，全是紅色，共有排法Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(4,4)＝16Aeq\o\al(4,4)種.所以共有18Aeq\o\al(4,4)＝432種.1.(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為() 【解析】法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的項為T3＝Ceq\o\al(2,5)(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的項為Ceq\o\al(1,3)x4·x＝Ceq\o\al(1,3)x5.所以x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30.故選C.法二：(x2＋x＋y)5為5個(x2＋x＋y)之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)＝30.故選C.【答案】C2.如圖1-2，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()圖1-2 【解析】從E到G需要分兩步完成：先從E到F，再從F到G.從F到G的最短路徑，只要考慮縱向路徑即可，一旦縱向路徑確定，橫向路徑即可確定，故從