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文檔簡介
定積分的應用§1.定積分的元素法回顧求曲邊梯形面積的步驟:y=f(x)≥0,在[a,b]上連續(xù)。(1)分割:得小曲邊梯形得面積(i=1,2,…,n)(2)近似:(3)求和:(4)求極限:上的小曲邊梯形面積,xx+dx0xyy=f(x)ab又稱為面積元素,則小區(qū)間長為
dx
,記作dA
,或面積微元。dx
只要作出一小塊的面積,其無限的累加即為所求整個曲邊梯形的面積。
把面積A
改為一般的所求量I,則有這就是定積分的元素法?!?.定積分在幾何學上的應用現(xiàn)在利用元素法討論:(1)平面圖形的面積(2)旋轉體的體積(3)平行截面面積為已知的立體體積(4)平面曲線的弧長等幾何問題1、直角坐標情形一、平面圖形的面積(2)
圖形由兩條連續(xù)曲線0yx.xxy0此時取y
為積分變量0yxy.求平面圖形面積的步驟:作圖,求出交點選擇積分變量,寫出面積元素作定積分,并計算(1)選x
為積分變量求交點(2)選y
為積分變量例:解:–20yx例.44–4解方程組:得交點:(8,4),(2,–2)問題:選誰為積分變量?。例.xyo3–3得兩切線的斜率為故兩切線為其交點的橫坐標為。S=l1l22、參數(shù)方程情形若曲邊由參數(shù)方程:例:圖形的面積。解:0yx(星形線,又稱內(nèi)擺線
)?=0由圖形的對稱性,旋轉體:由一平面圖形繞這平面內(nèi)的一條直線旋轉一周而成的立體,此直線稱為對稱軸。如:圓柱、圓錐、圓臺、圓球、…現(xiàn)在利用元素法推導出旋轉體的體積公式。二、體積1、旋轉體的體積xf(x)ab
曲邊梯形:y=f(x),x=a,x=b,y=0繞x軸旋轉求旋轉體體積xf(x)abx111111111
曲邊梯形:y=f(x),x=a,x=b,y=0繞x
軸旋轉
求旋轉體體積V=x=g(y)yx0cd曲邊梯形:x=g(y),x=0,y=c,y=d
繞y軸
求旋轉體體積x=g(y)yx0cd曲邊梯形:x=g(y),x=0,y=c,y=d
繞y軸
求旋轉體體積x=g(y)yx0cdy.
求旋轉體體積曲邊梯形:x=g(y),x=0,y=c,y=d
繞y軸一般,平面圖形繞x
軸旋轉而成的立體體積為:平面圖形繞y
軸旋轉而成的立體體積為:(上)(下)(右)(左)繞y
軸旋轉而成的立體體積為:例:繞x
軸與y
軸旋轉所得立體的體積。y=x3y=x解:交點:(0,0),(1,1)11(1)繞x
軸:(2)繞y
軸:例求由拋物線直線所圍圖形分別繞X、Y軸旋轉而成的旋轉體體積52解:例求所圍圖形繞直線旋轉一周的體積
解:-1圓柱體體積例解:例設曲線(1)過原點作該曲線的切線;(2)求由曲線、切線及x軸所圍的平面圖形的面積A(3)求該平面圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體體積.10abf(x)yx0
求旋轉體體積—
柱殼法曲邊梯形y=f(x)
,x=a,x=b,y=0
繞y
軸xdxxabyx0內(nèi)表面積dx
求旋轉體體積—
柱殼法曲邊梯形y=f(x)
,x=a,x=b,y=0
繞y
軸dV=2xf(x)dxf(x)byxa
求旋轉體體積—
柱殼法曲邊梯形y=f(x)
,x=a,x=b,y=0
繞y軸dV=2xf(x)dxf(x)byx0a
求旋轉體體積—
柱殼法曲邊梯形y=f(x)
,x=a,x=b,y=0
繞y軸dV=2xf(x)dxf(x)00xbxadx
求旋轉體體積—
柱殼法曲邊梯形y=f(x)
,x=a,x=b,y=0
繞y軸dV=2xf(x)dxf(x)Yx0bdx0yz.a曲邊梯形y=f(x)
,x=a,x=b,y=0
繞y軸
求旋轉體體積—
柱殼法dV=2xf(x)dx例解:xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面積為
A(x)的立體aV2.平行截面面積為已知的立體的體積b同理:若立體由曲面及垂直于y
軸的兩個平面y=c,y=d
所圍,且垂直于
y
軸的任一截面為一已知的連續(xù)函數(shù)
A(y),則立體的體積:oyRx–RR例半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截,得一圓柱楔。求其體積。oyRxxy–RRytan問題:還有別的方法嗎?(x,y),截面積A(x)半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截,得一圓柱楔。求其體積。例oyRx–RR
方法2例半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截,得一圓柱楔。求其體積。oyRx–RR
方法2ABCDBCDC截面積S(y)
(x,y)=2x=ytanS(y)例半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截,得一圓柱楔。求其體積。hRxoy–R例
求以半徑為R的圓為底,平行且等于底圓直徑的線段為頂,高為h的正劈錐體的體積。hRxoxA(x)A(x)V=–Ry例
求以半徑為R的圓為底,平行且等于底圓直徑的線段為頂,高為h的正劈錐體的體積。y三、平面曲線的弧長1、弧微分設y=f(x)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)導數(shù),在曲線上取基點M0(x0,y0),M(x,y)為曲線上任一點,xy0M0.x0M.x記弧長l
=M0M規(guī)定:依
x增大的方向作為曲線的正向。(即M
在M0右,l>0)∵l隨x
的增大而增大,∴l(xiāng)=l(x)是x
的單調(diào)增加函數(shù)。abxy0M0.x0M.xM’y=f(x)P弧微分ds表示了M點處切線段MP
的長度。
當切線正向與曲線方向一致,且與x軸夾角為α,則有當曲線是用參數(shù)方程當曲線方程為
y=f(x),當曲線用極坐標方程y
有連續(xù)導數(shù),2、連續(xù)曲線的弧長設曲線的表達式為y=f(x),計算曲線AB上相應于x
從a到b
的一段弧長S。即為弧長元素
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