高數(shù)二(定積分應(yīng)用)

定積分的應(yīng)用§1.定積分的元素法回顧求曲邊梯形面積的步驟：y=f(x)≥0，在[a,b]上連續(xù)。(1)分割：得小曲邊梯形得面積(i=1,2,…,n)(2)近似：(3)求和：(4)求極限：上的小曲邊梯形面積，xx+dx0xyy=f(x)ab又稱為面積元素，則小區(qū)間長為

dx

，記作dA

,或面積微元。dx

只要作出一小塊的面積，其無限的累加即為所求整個(gè)曲邊梯形的面積。

把面積A

改為一般的所求量I，則有這就是定積分的元素法。§2.定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用現(xiàn)在利用元素法討論：(1)平面圖形的面積(2)旋轉(zhuǎn)體的體積(3)平行截面面積為已知的立體體積(4)平面曲線的弧長等幾何問題1、直角坐標(biāo)情形一、平面圖形的面積(2)

圖形由兩條連續(xù)曲線0yx.xxy0此時(shí)取y

為積分變量0yxy.求平面圖形面積的步驟:作圖，求出交點(diǎn)選擇積分變量，寫出面積元素作定積分，并計(jì)算(1)選x

為積分變量求交點(diǎn)(2)選y

為積分變量例：解：–20yx例.44–4解方程組：得交點(diǎn)：(8,4),(2,–2)問題：選誰為積分變量？。例.xyo3–3得兩切線的斜率為故兩切線為其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。S=l1l22、參數(shù)方程情形若曲邊由參數(shù)方程：例：圖形的面積。解：0yx(星形線，又稱內(nèi)擺線

)?=0由圖形的對(duì)稱性，旋轉(zhuǎn)體：由一平面圖形繞這平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，此直線稱為對(duì)稱軸。如：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、圓球、…現(xiàn)在利用元素法推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)體的體積公式。二、體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積xf(x)ab

曲邊梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞x軸旋轉(zhuǎn)求旋轉(zhuǎn)體體積xf(x)abx111111111

曲邊梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞x

軸旋轉(zhuǎn)

求旋轉(zhuǎn)體體積V=x=g(y)yx0cd曲邊梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

繞y軸

求旋轉(zhuǎn)體體積x=g(y)yx0cd曲邊梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

繞y軸

求旋轉(zhuǎn)體體積x=g(y)yx0cdy.

求旋轉(zhuǎn)體體積曲邊梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d

繞y軸一般,平面圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積為：平面圖形繞y

軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積為：(上)(下)(右)(左)繞y

軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積為：例：繞x

軸與y

軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積。y=x3y=x解：交點(diǎn)：(0,0),(1,1)11(1)繞x

軸：(2)繞y

軸：例求由拋物線直線所圍圖形分別繞X、Y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積52解：例求所圍圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周的體積

解：－1圓柱體體積例解：例設(shè)曲線(1)過原點(diǎn)作該曲線的切線;(2)求由曲線、切線及x軸所圍的平面圖形的面積A(3)求該平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.10abf(x)yx0

求旋轉(zhuǎn)體體積—

柱殼法曲邊梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

繞y

軸xdxxabyx0內(nèi)表面積dx

求旋轉(zhuǎn)體體積—

柱殼法曲邊梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

繞y

軸dV=2xf(x)dxf(x)byxa

求旋轉(zhuǎn)體體積—

柱殼法曲邊梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

繞y軸dV=2xf(x)dxf(x)byx0a

求旋轉(zhuǎn)體體積—

柱殼法曲邊梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

繞y軸dV=2xf(x)dxf(x)00xbxadx

求旋轉(zhuǎn)體體積—

柱殼法曲邊梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

繞y軸dV=2xf(x)dxf(x)Yx0bdx0yz.a曲邊梯形y=f(x)

，x=a,x=b,y=0

繞y軸

求旋轉(zhuǎn)體體積—

柱殼法dV=2xf(x)dx例解：xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面積為

A(x)的立體aV2.平行截面面積為已知的立體的體積b同理:若立體由曲面及垂直于y

軸的兩個(gè)平面y=c,y=d

所圍，且垂直于

y

軸的任一截面為一已知的連續(xù)函數(shù)

A(y)，則立體的體積：oyRx–RR例半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。oyRxxy–RRytan問題：還有別的方法嗎？(x,y),截面積A(x)半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。例oyRx–RR

方法2例半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。oyRx–RR

方法2ABCDBCDC截面積S(y)

(x,y)=2x=ytanS(y)例半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。hRxoy–R例

求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。hRxoxA(x)A(x)V=–Ry例

求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。y三、平面曲線的弧長1、弧微分設(shè)y=f(x)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在曲線上取基點(diǎn)M0(x0,y0),M(x,y)為曲線上任一點(diǎn)，xy0M0.x0M.x記弧長l

=M0M規(guī)定：依

x增大的方向作為曲線的正向。(即M

在M0右，l>0)∵l隨x

的增大而增大,∴l(xiāng)=l(x)是x

的單調(diào)增加函數(shù)。abxy0M0.x0M.xM’y=f(x)P弧微分ds表示了M點(diǎn)處切線段MP

的長度。

當(dāng)切線正向與曲線方向一致，且與x軸夾角為α，則有當(dāng)曲線是用參數(shù)方程當(dāng)曲線方程為

y=f(x)，當(dāng)曲線用極坐標(biāo)方程y

有連續(xù)導(dǎo)數(shù),2、連續(xù)曲線的弧長設(shè)曲線的表達(dá)式為y=f(x),計(jì)算曲線AB上相應(yīng)于x

從a到b

的一段弧長S。即為弧長元素