材料力學(xué)第五節(jié)

§5-1純彎曲§5-2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力§5-3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力§5-4彎曲切應(yīng)力§5-5關(guān)于彎曲理論的基本假設(shè)§5-6提高彎曲強(qiáng)度的措施§5-1純彎曲

CD段剪力為零，彎矩為常量，該段梁的變形稱(chēng)為純彎曲。AC、BD段梁的內(nèi)力既有彎矩又有剪力，該段梁的變形稱(chēng)為橫力彎曲。梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：橫向線(ab）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，仍垂直于變形后的梁軸線。中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱(chēng)中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。假設(shè)①平面假設(shè)②縱向纖維間無(wú)正應(yīng)力§5-2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力1.變形幾何關(guān)系MMm2n2sysLyO1O2ra2'dxn2m2n1m1O曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性層z中性軸y對(duì)稱(chēng)軸oa2a1ydqdldqxe2e1

2.物理關(guān)系（胡克定律)MsminsmaxMsminsmaxdAyz(中性軸)xzyOsdAM中性軸通過(guò)截面形心3.靜力關(guān)系②梁的上、下邊緣處，彎曲正應(yīng)力取得最大值，分別為：

—抗彎截面模量。

4.純彎曲梁橫截面上的應(yīng)力(彎曲正應(yīng)力)：

①距中性層y處的應(yīng)力矩形截面：5.三種典型截面對(duì)中性軸的慣性矩實(shí)心圓截面截面為外徑D、內(nèi)徑d(a=d/D)的空心圓:

§5-3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力分布彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度l與橫截面高度h之比l/h>5（細(xì)長(zhǎng)梁）時(shí)，純彎曲正應(yīng)力公式對(duì)于橫力彎曲近似成立。橫力彎曲最大正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力公式適用范圍：①線彈性范圍—正應(yīng)力小于比例極限sp；②精確適用于純彎曲梁；③對(duì)于橫力彎曲的細(xì)長(zhǎng)梁(跨度與截面高度比L/h>5)，上述公式的誤差不大，但公式中的M應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即為截面位置的函數(shù)。彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件1.彎矩最大的截面上2.離中性軸最遠(yuǎn)處4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮3.變截面梁要綜合考慮

與根據(jù)強(qiáng)度條件可進(jìn)行：強(qiáng)度校核:截面設(shè)計(jì):確定梁的許可荷載:FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN1.求支反力解：例5-3-1：求圖示梁（1）C截面上K點(diǎn)正應(yīng)力；（2）C截面上最大正應(yīng)力；（3）全梁上最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρ2.C截面最大正應(yīng)力C截面彎矩C截面慣性矩（壓應(yīng)力）3.全梁最大正應(yīng)力最大彎矩4.C截面曲率半徑ρC截面彎矩C截面慣性矩例5-3-2：某車(chē)間欲安裝簡(jiǎn)易吊車(chē)，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重，起重量，跨度，材料的許用應(yīng)力。試選擇工字鋼的型號(hào)。（4）選擇工字鋼型號(hào)（5）討論（3）根據(jù)計(jì)算（1）計(jì)算簡(jiǎn)圖（2）繪彎矩圖解：36c工字鋼例5-3-3：已知16號(hào)工字鋼Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，[]=160MPa，E=210GPa，在梁的下邊緣C點(diǎn)沿軸向貼一應(yīng)變片，測(cè)得C點(diǎn)軸向線應(yīng)變，求F并校核梁正應(yīng)力強(qiáng)度。CNO.16FABCFAB例5-3-4：T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖,,試校核梁的強(qiáng)度。（2）求截面對(duì)中性軸z的慣性矩（1）求截面形心z1yz52解：（4）B截面校核（3）作彎矩圖（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作彎矩圖例5-3-5：圖a所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，該截面對(duì)于中性軸z的慣性矩Iz=5493×104mm4。已知圖a中，b=2m。鑄鐵的許用拉應(yīng)力[t]=30MPa，許用壓應(yīng)力[

c]=90MPa。試求梁的許可荷載[F]。(a)(b)

解：最大負(fù)彎矩所在B截面處，若截面的上邊緣處最大拉應(yīng)力st,max達(dá)到[st]，則下邊緣處最大壓應(yīng)力sc,max為根據(jù)可知此sc,max并未達(dá)到許用壓應(yīng)力[sc]，也就是說(shuō)，就B截面而言，梁的強(qiáng)度由最大拉應(yīng)力控制。顯然，B截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強(qiáng)度。B截面：C截面：第四章彎曲應(yīng)力當(dāng)然，這個(gè)許可荷載是在未考慮梁的自重的情況下得出的，但即使考慮自重，許可荷載也不會(huì)減少很多。于是由B截面上最大拉應(yīng)力不得超過(guò)鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]的條件來(lái)求該梁的許可荷載[F]：由此得F≤19200N，亦即該梁的許可荷載為[F]=19.2kN。第四章彎曲應(yīng)力討論：我國(guó)營(yíng)造法中，對(duì)矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。解：由此得§5-4彎曲切應(yīng)力一、矩形梁橫截面上的切應(yīng)力1、公式推導(dǎo)：n1m'n'2m1'ze11'1'11ye2e1x2112dxbAyyxdxxM+dMMFSFSss+dst'mnmm'dxtyt'AFs(x)+dFs(x)M(x)M(x)+dM(x)Fs(x)dxs1xyzs2t’tb由剪應(yīng)力互等Fst方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力其中Fs為截面剪力；Sz為y點(diǎn)以下的面積對(duì)中性軸之靜矩；Iz為整個(gè)截面對(duì)z軸之慣性矩；b為y點(diǎn)處截面寬度。1、研究方法與矩形截面同；剪應(yīng)力的計(jì)算公式亦為：2、工字形截面梁的剪應(yīng)力腹板翼緣在腹板上：在翼緣上，有平行于Fs的剪應(yīng)力分量，分布情況較復(fù)雜，但數(shù)量很小，并無(wú)實(shí)際意義，可忽略不計(jì)。在翼緣上，還有垂直于Fs方向的剪應(yīng)力分量，它與腹板上的剪應(yīng)力比較，一般來(lái)說(shuō)也是次要的。腹板負(fù)擔(dān)了截面上的絕大部分剪力，翼緣負(fù)擔(dān)了截面上的大部分彎矩。3、圓截面梁的剪應(yīng)力下面求最大剪應(yīng)力：三、彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件解：畫(huà)內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例5-4-1：矩形(bh=120180mm2)截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。xM+Fs–+xq=3.6kN/mABL=3m求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比例5-4-2：

T形梁尺寸及所受荷載如圖所示,已知[s]c=100MPa，[s]t=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左側(cè)截面E點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力；2)校核梁的正應(yīng)力、切應(yīng)力強(qiáng)度條件。CAB40401010ycCAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_2）作梁的Fs和M圖1）求支座反力：該梁滿足強(qiáng)度要求該梁滿足強(qiáng)度要求例5-4-3：懸臂梁由三塊木板粘接而成。跨度為1m。膠合面的許可切應(yīng)力為[膠]=0.34MPa，木材的[]=10MPa，[]=1MPa，求許可載荷。1.畫(huà)梁的剪力圖和彎矩圖2.按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷3.按切應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷解：4.按膠合面強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷5.梁的許可載荷為§5-5關(guān)于彎曲理論的基本假設(shè)在導(dǎo)出純彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式時(shí)，引用了兩個(gè)假設(shè)：（1）平面假設(shè)；（2）縱向纖維間無(wú)正應(yīng)力假設(shè)。假設(shè)材料仍是線彈性的，對(duì)于橫力彎曲問(wèn)題，按純彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式將會(huì)導(dǎo)致計(jì)算誤差?？梢?jiàn)上、下表面無(wú)切應(yīng)變，中性層最大。切應(yīng)變沿高度方向呈拋物線變化，可見(jiàn)這勢(shì)必使橫截面不能保持平面，而引起翹曲。理論分析表明：當(dāng)截面高度h遠(yuǎn)小于跨度l的梁，上述偏差是非常小的；而h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于跨度l，卻正是桿件的幾何特征。zq(x)Fs+dFsFsdxprnrsrsptF’sF’s+dF’syy理論分析表明：h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于跨度l，y是可以忽略的，這正是假設(shè)縱向纖維間無(wú)正應(yīng)力的根據(jù)§5-6提高彎曲強(qiáng)度的措施控制梁彎曲強(qiáng)度的主要因素是彎曲正應(yīng)力，即以