高中數(shù)學(xué)人教A版4參數(shù)方程一曲線的參數(shù)方程 12

第2課時參數(shù)方程和普通方程的互化1．了解參數(shù)方程化為普通方程的意義．2．理解參數(shù)方程與普通方程的互相轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．(難點)3．掌握參數(shù)方程化為普通方程的方法．(重點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理參數(shù)方程和普通方程的互化閱讀教材P24～P26，完成下列問題．1．曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程．2．如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))就是曲線的參數(shù)方程．在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致．1．將參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ,y＝sin2θ))(θ為參數(shù))化為普通方程為()A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)【解析】消去sin2θ，得x＝2＋y，又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.【答案】C2．圓x2＋(y＋1)2＝2的參數(shù)方程為()\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝1＋2sinθ))(θ為參數(shù))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cosθ,y＝1＋\r(2)sinθ))(θ為參數(shù))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝－1＋2sinθ))(θ為參數(shù))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cosθ,y＝－1＋\r(2)sinθ))(θ為參數(shù))【解析】由x＝eq\r(2)cosθ，y＋1＝eq\r(2)sinθ知參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cosθ，,y＝－1＋\r(2)sinθ))(θ為參數(shù))．故選D.【答案】D[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]普通方程化為參數(shù)方程曲線的普通方程為eq\f(x－12,3)＋eq\f(y＋22,5)＝1，寫出它的參數(shù)方程．【思路探究】聯(lián)想sin2θ＋cos2θ＝1可得參數(shù)方程．【自主解答】設(shè)eq\f(x－1,\r(3))＝cosθ，eq\f(y＋2,\r(5))＝sinθ，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r(3)cosθ，,y＝－2＋\r(5)sinθ))(θ為參數(shù))，即為所求的參數(shù)方程．1．將圓的普通方程化為參數(shù)方程：(1)圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ,y＝rsinθ))(θ為參數(shù))；(2)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ,y＝b＋rsinθ))(θ為參數(shù))．2．普通方程化為參數(shù)方程關(guān)鍵是引入?yún)?shù)(例如x＝f(t)，再計算y＝g(t))，并且要保證等價性．若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過x＝f(t)，y＝g(t)調(diào)整t的取值范圍，使得在普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程的過程中，x，y的取值范圍保持一致．[再練一題]1．設(shè)y＝tx(t為參數(shù))，則圓x2＋y2－4y＝0的參數(shù)方程是________．【解析】把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝eq\f(4t,1＋t2)，y＝eq\f(4t2,1＋t2)，∴參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4t,1＋t2)，,y＝\f(4t2,1＋t2)))(t為參數(shù))．【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4t,1＋t2),y＝\f(4t2,1＋t2)))(t為參數(shù))利用參數(shù)思想解題已知x、y滿足x2＋(y－1)2＝1，求：(1)3x＋4y的最大值和最小值；(2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值.【導(dǎo)學(xué)號：91060018】【思路探究】設(shè)圓的參數(shù)方程，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問題來解決．【自主解答】由圓的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ∈[0,2π))．(1)3x＋4y＝3cosθ＋4sinθ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tanφ＝eq\f(3,4)，且φ的終邊過點(4,3)．∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，∴3x＋4y的最大值為9，最小值為－1.(2)(x－3)2＋(y＋3)2＝(cosθ－3)2＋(sinθ＋4)2＝26＋8sinθ－6cosθ＝26＋10sin(θ＋φ)．其中tanφ＝－eq\f(3,4)，且φ的終邊過點(4，－3)．∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36，所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值為36，最小值為16.1．參數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，在參數(shù)方程中，參數(shù)(參變量)起著媒介作用，它是聯(lián)系曲線上任意一點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的橋梁．通過參數(shù)θ，間接建立曲線上任意一點的坐標(biāo)間的聯(lián)系，拓寬了解題思路，簡化了思維過程．它是研究解析幾何問題的重要工具．2．運用參數(shù)思想解題的關(guān)鍵在于參數(shù)的選擇．選擇參數(shù)時，應(yīng)注意所選擇的參數(shù)易于與兩個坐標(biāo)產(chǎn)生聯(lián)系．由于三角函數(shù)的巨大作用，常選擇角為參數(shù)，若軌跡與運動有關(guān)，常選擇時間為參數(shù)．3．(1)解決與圓有關(guān)的最大值和最小值問題，常常設(shè)圓的參數(shù)方程，然后轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問題．(2)注意運用三角恒等式求最值：asinθ＋bcosθ＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋φ)．其中tanφ＝eq\f(b,a)(a≠0)，且φ的終邊過點(a，b)．[再練一題]2．若本例條件不變，如何求eq\f(y＋2,x＋1)的取值范圍？【解】由于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ∈[0,2π))，∴k＝eq\f(y＋2,x＋1)＝eq\f(3＋sinθ,1＋cosθ)，∴sinθ－kcosθ＝k－3，即eq\r(1＋k2)sin(θ＋φ)＝k－3(φ由tanφ＝－k確定)，∴sin(θ＋φ)＝eq\f(k－3,\r(1＋k2)).依題意，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k－3,\r(1＋k2))))≤1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－3,\r(1＋k2))))2≤1，解得k≥eq\f(4,3)，即eq\f(y＋2,x＋1)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)).[探究共研型]參數(shù)方程化為普通方程探究1參數(shù)方程為什么要化為普通方程？【提示】參數(shù)方程直接判斷點的軌跡的曲線類型并不容易，如果將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為熟悉的普通方程，就容易判斷了．探究2將參數(shù)方程化為普通方程時，常用的方法有哪些？【提示】(1)代入法．先由一個方程中求出參數(shù)的表達(dá)式(用直角坐標(biāo)變量表示)，再代入另一個方程．教科書例3(1)用的就是代入法．(2)利用代數(shù)或三角函數(shù)中的恒等式消去參數(shù)．教科書例3(2)就用此法．例如對于參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))cosθ，,y＝a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t)))sinθ.))如果t是常數(shù)，θ是參數(shù)，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1；如果θ是常數(shù)，t是參數(shù)，那么適當(dāng)變形后可以利用(m＋n)2－(m－n)2＝4mn.在方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋tcosθ，,y＝b＋tsinθ))(a，b為正常數(shù))中，(1)當(dāng)t為參數(shù)，θ為常數(shù)時，方程表示何種曲線？(2)當(dāng)t為常數(shù)，θ為參數(shù)時，方程表示何種曲線？【思路探究】(1)運用加減消元法，消t；(2)當(dāng)t＝0時，方程表示一個點，當(dāng)t為非零常數(shù)時，利用平方關(guān)系消參數(shù)θ，化成普通方程，進(jìn)而判定曲線形狀．【自主解答】方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋tcosθ，①,y＝b＋tsinθ，②))(a，b是正常數(shù))，(1)①×sinθ－②×cosθ得xsinθ－ycosθ－asinθ＋bcosθ＝0.∵cosθ、sinθ不同時為零，∴方程表示一條直線．(2)(ⅰ)當(dāng)t為非零常數(shù)時，原方程組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－a,t)＝cosθ，③,\f(y－b,t)＝sinθ.④))③2＋④2得eq\f(x－a2,t2)＋eq\f(y－b2,t2)＝1，即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一個圓．(ⅱ)當(dāng)t＝0時，表示點(a，b)．1．消去參數(shù)的常用方法：將參數(shù)方程化為普通方程，關(guān)鍵是消去參數(shù)，如果參數(shù)方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加減消元法．如果參數(shù)方程是分式方程，在運用代入消元或加減消元之前要做必要的變形．另外，熟悉一些常見的恒等式至關(guān)重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k2,1＋k2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,1＋k2)))2＝1等．2．把參數(shù)方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響．本題啟示我們，形式相同的方程，由于選擇參數(shù)的不同，可表示不同的曲線．[再練一題]3．將下列參數(shù)方程分別化為普通方程，并判斷方程所表示曲線的形狀：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝2sinθ))(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sin4θ＋cos4θ,y＝1－2sin2θcos2θ))(θ為參數(shù))；(3)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t))),y＝\f(b,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t)))))(a，b為大于零的常數(shù)，t為參數(shù))．【解】(1)將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝2sinθ))兩式平方相加，得x2＋y2＝4.∵0≤θ≤π，∴－2≤x≤2,0≤y≤2.即方程的曲線表示圓心為(0,0)，半徑為2的圓的上半部分．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sin4θ＋cos4θ，,y＝1－2sin2θcos2θ，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2sin2θcos2θ，,y＝1－2sin2θcos2θ，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(1,2)sin22θ，,y＝1－\f(1,2)sin22θ，))∴x－y＝0.∵0≤sin22θ≤1，∴eq\f(1,2)≤1－eq\f(1,2)sin22θ≤1.即方程x－y＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))表示一條線段．(3)∵x＝eq\f(a,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，∴t>0時，x∈[a，＋∞)，t<0時，x∈(－∞，－a]．由x＝eq\f(a,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，兩邊平方可得x2＝eq\f(a2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2＋2＋\f(1,t2)))， ①由y＝eq\f(b,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,t)))兩邊平方可得y2＝eq\f(b2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－2＋\f(1,t2)))， ②①×eq\f(1,a2)－②×eq\f(1,b2)并化簡，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b為大于0的常數(shù))，這就是所求的曲線方程，它表示的曲線是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線．[構(gòu)建·體系]eq\x(\a\al(參數(shù)方程,與普通方,程的互化))—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(參數(shù)方程化為普通方程),—\x(普通方程化為參數(shù)方程),—\x(參數(shù)方程中的最值、范圍問題)))1．把方程xy＝1化為以t為參數(shù)的參數(shù)方程是()\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t\f(1,2),y＝t－\f(1,2))) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sint,y＝\f(1,sint)))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cost，,y＝\f(1,cost))) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tant，,y＝\f(1,tant)))【答案】D2．下列在曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sin2θ,y＝cosθ＋sinθ))(θ為參數(shù))上的點是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(1,2)))C．(2，eq\r(3)) D．(1，eq\r(3))【解析】化為普通方程：y2＝1＋x(－1≤x≤1)，當(dāng)x＝－eq\f(3,4)時，y＝±eq\f(1,2).【答案】B3．與參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t),y＝2\r(1－t)))(t為參數(shù))等價的普通方程為()A．x2＋eq\f(y2,4)＝1B．x2＋eq\f(y2,4)＝1(0≤x≤1)C．x2＋eq\f(y2,4)＝1(0≤y≤2)D．x2＋eq\f(y2,4)＝1(0≤x≤1,0≤y≤2)【解析】x2＝t，eq\f(y2,4)＝1－t＝1－x2，x2＋eq\f(y2,4)＝1，而由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≥0,1－t≥0))得0≤t≤1，從而0≤x≤1,0≤y≤2.【答案】D4．在極坐標(biāo)系中，圓C1的方程為ρ＝4eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面坐標(biāo)系，圓C2的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋acosθ,y＝－1＋asinθ))(θ為參數(shù))，若圓C1與C2相外切，則實數(shù)a＝________.【導(dǎo)學(xué)號：91060019】【解析】圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4x＋4y，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8，圓心為(2,2)，半徑長為2eq\r(2)，圓C2的圓心坐標(biāo)為(－1，－1)，半徑長為|a|，由于圓C1與圓C2外切，則|C1C2|＝2eq\r(2)＋|a|＝3eq\r(2)?a＝±eq\r(2).【答案】±eq\r(2)5．化下列參數(shù)方程為普通方程．(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－t,1＋t),y＝\f(2t,1＋t)))(t∈R且t≠－1)；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tanθ＋\f(1,tanθ),y＝\f(1,cosθ)＋\f(1,sinθ)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ≠kπ，kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).【解】(1)變形為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(2,1＋t)，,y＝2－\f(2,1＋t)，))∴x≠－1，y≠2，∴x＋y＝1(x≠－1)．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,sinθcosθ)，①,y＝\f(sinθ＋cosθ,sinθ·cosθ)，②))②式平方結(jié)合①得y2＝x2＋2x，由x＝tanθ＋eq\f(1,tanθ)知|x|≥2，所以方程為(x＋1)2－y2＝1(|x|≥2)．我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測評(六)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝|sinθ|,y＝cosθ))(θ為參數(shù))的方程等價于()A．x＝eq\r(1－y2) B．y＝eq\r(1－x2)C．y＝±eq\r(1－x2) D．x2＋y2＝1【解析】由x＝|sinθ|得0≤x≤1；由y＝cosθ得－1≤y≤1.故選A.【答案】A2．參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3t2＋2，,y＝t2－1))(0≤t≤5)表示的曲線是()A．線段 B．雙曲線的一支C．圓弧 D．射線【解析】消去t，得x－3y－5＝0.∵0≤t≤5，∴－1≤y≤24.【答案】A3．直線y＝2x＋1的參數(shù)方程是()\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2,y＝2t2＋1)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t－1,y＝4t＋1))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t－1,y＝2t－1)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ,y＝2sinθ＋1))【解析】由y＝2x＋1知x，y可取全體實數(shù)，故排除A、D，在B、C中消去參數(shù)t，知C正確．【答案】C4．若x，y滿足x2＋y2＝1，則x＋eq\r(3)y的最大值為()A．1B．2C．3D．4【解析】由于圓x2＋y2＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，則x＋eq\r(3)y＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，故x＋eq\r(3)y的最大值為2.故選B.【答案】B5．能化為普通方程x2＋y－1＝0的參數(shù)方程為()\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sint,y＝cos2t)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tanφ,y＝1－tan2φ))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(1－t),y＝t)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ,y＝sin2θ))【解析】對A，可化為x2＋y＝1(y∈[0,1])；對B，可化為x2＋y－1＝0；對C，可化為x2＋y－1＝0(x≥0)；對D，可化為y2＝4x2－4x4(x∈[－1,1])．【答案】B二、填空題6．已知曲線C的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r(5)cosα，,y＝2＋\r(5)sinα))(α為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，并取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程是________.【導(dǎo)學(xué)號：91060020】【解析】曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r(5)cosα,y＝2＋\r(5)sinα))(α為參數(shù))，它表示以點(1,2)為圓心，以eq\r(5)為半徑的圓，則曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5，化為一般方程即x2＋y2－2x－4y＝0，化為極坐標(biāo)方程得ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＝0，即ρ2＝2ρcosθ＋4ρsinθ，兩邊約去ρ得ρ＝2cosθ＋4sinθ.【答案】ρ＝2cosθ＋4sinθ7．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4的直線與曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3))(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則|AB|＝________.【解析】由ρcosθ＝4，知x＝4.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3，))∴x3＝y(tǒng)2(x≥0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,x3＝y(tǒng)2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－8，))∴|AB|＝eq\r(4－42＋8＋82)＝16.【答案】168．點(x，y)是曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π)上任意一點，則eq\f(y,x)的取值范圍是________．【解析】曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosθ，,y＝sinθ))是以(－2,0)為圓心，1為半徑的圓，即(x＋2)2＋y2＝1.設(shè)eq\f(y,x)＝k，∴y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，k取得最小值與最大值，∴eq\f(|－2k|,\r(k2＋1))＝1，k2＝eq\f(1,3)，∴eq\f(y,x)的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))三、解答題9．已知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)－\f(1,\r(t))，,y＝3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，))(t為參數(shù)，t>0)，求曲線C的普通方程．【解】由x＝eq\r(t)－eq\f(1,\r(t))兩邊平方得x2＝t＋eq\f(1,t)－2，又y＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))，則t＋eq\f(1,t)＝eq\f(y,3)(y≥6)．代入x2＝t＋eq\f(1,t)－2，得x2＝eq\f(y,3)－2，∴3x2－y＋6＝0(y≥6)．故曲線C的普通方程為3x2－y＋6＝0(y≥6)．10．已知P(x，y)是圓x2＋y2－2y＝0上的動點．(1)求2x＋y的取值范圍；(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．【解】方程x2＋y2－2y＝0變形為x2＋(y－1)2＝1，其參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ為參數(shù))．(1)2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝eq\r(5)sin(θ＋φ)＋1其中φ由tanφ＝2確定，∴1－eq\r(5)≤2x＋y≤1＋eq\r(5).(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cosθ＋sinθ＋1)對一切θ∈R恒成立．∵－(cosθ＋sinθ＋1)的最大值是eq\r(2)－1，∴當(dāng)且僅當(dāng)c≥eq\r(2)－1時，x＋y＋c≥0恒成立．[能力提升]1．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中圓C的參數(shù)方程為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋3cosθ，,y＝1＋3sinθ))(θ為參數(shù))，以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線極坐標(biāo)方程為：ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝0，則圓C截直線所得弦長為()\r(2) B．2eq\r(2)C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)【解析】圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋3cosθ,y＝1＋3sinθ))的圓心為(eq\r(3)，1)，半徑為3，直線普通方程為ρcosθcoseq\f(π,6)－sinθsineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)x－eq\f(1,2)y＝0，即eq\r(3)x－y＝0，圓心C(eq\r(3)，1)到直線eq\r(3)x－y＝0的距離為d＝eq\f(|\r(3)2－1|,\r(3＋1))＝1，所以圓C截直線所得弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－12)＝4eq\r(2).【答案】D2．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為