山西省大同市閣老山中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

山西省大同市閣老山中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等差數(shù)列項(xiàng)和為等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C

解析：

2.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，，△ABC的面積為，那么b=A．

B．

C．

D．參考答案：B3.等于（）A． B． C． D．1參考答案：A【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】利用兩角和的正弦函數(shù)公式，兩角和的正切函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可化簡(jiǎn)求值得解．【解答】解：原式==×=×=．故選：A．4.函數(shù)與的圖象關(guān)于下列那種圖形對(duì)稱(

)A．軸

B．軸

C．直線

D．原點(diǎn)中心對(duì)稱參考答案：D5.半徑為R的球的內(nèi)接正方體的表面積是

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：D6.函數(shù)的圖象的大致形狀是()參考答案：D7.若直線ax+my+2a=0（a≠0）過(guò)點(diǎn)，則此直線的斜率為（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：D【考點(diǎn)】直線的一般式方程；直線的斜率．【分析】根據(jù)直線過(guò)所給的點(diǎn)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，整理后得到關(guān)于a，m的等式，得到這兩個(gè)字母相等，寫出斜率的表示式，根據(jù)所得的a，m之間的關(guān)系，寫出斜率的值．【解答】解：∵直線ax+my+2a=0（a≠0）過(guò)點(diǎn)，∴a﹣m+2a=0，∴a=m，∴這條直線的斜率是k=﹣=﹣，故選D．8.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則的單調(diào)增區(qū)間()

A．

B．

C．

D．參考答案：A9.集合，，，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：D【分析】先求出，再求中元素的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出子集的個(gè)數(shù)?！驹斀狻坑深}可得，所以，里面有2個(gè)元素，所以子集個(gè)數(shù)為個(gè)故選D【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，指元素個(gè)數(shù)10.直線被圓截得的劣弧與優(yōu)弧的長(zhǎng)之比是（

）A.1：5 B.1：2 C.1：3 D.1：4參考答案：A【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，根據(jù)垂徑定理，結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系，可以求出劣弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，根據(jù)弧度制的定義，這樣就可以求出劣弧與優(yōu)弧的長(zhǎng)之比.【詳解】圓心O到直線的距離為：，直線被圓截得的弦為AB,弦AB所對(duì)的圓心角為，弦AB的中點(diǎn)為C，由垂徑定理可知：，所以，劣弧與優(yōu)弧的長(zhǎng)之比為：，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理、點(diǎn)到直線距離公式、弧長(zhǎng)公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.計(jì)算_________.參考答案：

12.若變量x，y滿足約束條件，則的最大值為___________.參考答案：2【分析】畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，平移動(dòng)直線可得的最大值.【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示：平移動(dòng)直線至?xí)r，有最大值，又得，故，故填.【點(diǎn)睛】二元一次不等式組條件下的二元函數(shù)的最值問(wèn)題，常通過(guò)線性規(guī)劃來(lái)求最值，求最值時(shí)往往要考二元函數(shù)的幾何意義，比如表示動(dòng)直線的橫截距的三倍，而則表示動(dòng)點(diǎn)與的連線的斜率．13.y=x﹣的值域是．參考答案：{y|y≤}【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．【分析】先求函數(shù)的定義域，然后利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)進(jìn)行求解即可．【解答】解：由1﹣4x≥0得x≤，設(shè)t=，則t≥0，且x=（1﹣t2），則函數(shù)等價(jià)為y=（1﹣t2）﹣t=﹣（t+2）2+，∵t≥0，∴當(dāng)t=0時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=，∴y≤，即函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≤}，故答案為：{y|y≤}【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．14.已知集合A＝，則集合A的子集的個(gè)數(shù)是_______．

參考答案：815.在△ABC中，，，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，則______.參考答案：試題分析：即,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，為邊的三等分點(diǎn)，考點(diǎn)：向量的數(shù)量積16.如圖所示，以正方體的頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，棱AB、AD、AA1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，且正方體的棱長(zhǎng)為2，則該正方體外接球的球心坐標(biāo)為_________．參考答案：(1,1,1)17.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足，則{an}的前n項(xiàng)和Sn最大時(shí)的序號(hào)n的值為____．參考答案：5【分析】先由已知條件解得，得到的通項(xiàng)公式.當(dāng)時(shí)，有最大值，即把前面的所有正數(shù)項(xiàng)相加時(shí)所得最大.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得則.易得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以最大時(shí)的序號(hào)的值為5.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本問(wèn)題，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值.對(duì)于等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，有最小值.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖是某設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)的Y型飾品的平面圖，其中支架OA，OB，OC兩兩成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB．現(xiàn)設(shè)計(jì)師在支架OB上裝點(diǎn)普通珠寶，普通珠寶的價(jià)值為M，且M與OB長(zhǎng)成正比，比例系數(shù)為k（k為正常數(shù)）；在△AOC區(qū)域（陰影區(qū)域）內(nèi)鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價(jià)值為N，且N與△AOC的面積成正比，比例系數(shù)為．設(shè)OA=x，OB=y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（2）求N-M的最大值及相應(yīng)的x的值．參考答案：（1）（）；（2），的最大值是.試題分析：（1）運(yùn)用題設(shè)和實(shí)際建立函數(shù)關(guān)系并確定定義域；（2）運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值和取得最值的條件.試題解析：（1）因?yàn)椋?，，由余弦定理，，解得，由，得．又，得，解得，所以的取值范圍是．?），，則，設(shè)，則．當(dāng)且僅當(dāng)即取等號(hào)，此時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的最大值是．19.（14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，3），設(shè)圓C的半徑為1，圓心C（a，b）在直線l：y=2x﹣4上．（1）若圓心也在直線y=﹣x+5上，求圓C的方程；（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；（3）若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|=|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)： 直線與圓相交的性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題： 綜合題；直線與圓．分析： （1）聯(lián)立直線l與直線y=﹣x+5，求出方程組的解得到圓心C坐標(biāo)，可得圓C的方程；（2）根據(jù)A坐標(biāo)設(shè)出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；（3）設(shè)M（x，y），由MA=2MO，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長(zhǎng)，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．解答： （1）由…（1分）

得圓心C為（3，2），…（2分）∵圓C的半徑為，∴圓C的方程為：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1…（4分）（2）由題意知切線的斜率一定存在，…（5分）（或者討論）設(shè)所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx﹣y+3=0…（6分）∴…（7分）∴∴2k（4k+3）=0∴k=0或者…（8分）∴所求圓C的切線方程為：y=3或者即y=3或者3x+4y﹣12=0…（9分）（3）設(shè)M為（x，y），由…（11分）整理得直線m：y=…（12分）∴點(diǎn)M應(yīng)該既在圓C上又在直線m上，即：圓C和直線m有公共點(diǎn)∴，∴…（13分）終上所述，a的取值范圍為：…（14分）點(diǎn)評(píng)： 此題考查了圓的切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識(shí)有：兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)間的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．20.（10分）設(shè)=（1，），=（cos2x，sin2x），f（x）=2（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（2）若x，求函數(shù)f（x）的最大值、最小值及其對(duì)應(yīng)的x的值．參考答案：考點(diǎn)： 兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的最值．專題： 計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： （1）由兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=4sin（2x+），由2k≤2x+≤2k（k∈Z）可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）由x，可得2x+∈，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最大值、最小值及其對(duì)應(yīng)的x的值．解答： 解：（1）f（x）=2（cos2x+sin2x）=4（cos2x+sin2x）=4sin（2x+）…（3分）由2k≤2x+≤2k（k∈Z）可解得：kπ﹣≤x≤kπ（k∈Z）故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：（k∈Z）…（5分）（2）∵x，∴2x+∈，…（6分）∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為4…（8分）當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為﹣2…（10分）點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．21.(本小題滿分10分)已知向量，設(shè)函數(shù)其中x?R.

（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．（2）將函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍，然后再向右平移個(gè)單位得到的圖象，求的解析式.參考答案：（1），

3分

4分

增區(qū)間：[]，k?Z

6分

（2）橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍，得,

8分向右平移個(gè)單位，得,所以:g(x)=2sinx.

10分22.已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3，b3=a7，問(wèn)：b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等？參考答案：【考點(diǎn)】8F：等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比數(shù)列的首項(xiàng)及公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求b6，