初中數(shù)學(xué)建模宣講

初中數(shù)學(xué)建模選講一、數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義九年義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對(duì)現(xiàn)代社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇與判斷，同時(shí)為人們交流信息提供了一種有效、簡(jiǎn)捷的手段。數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問(wèn)題，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。近幾年，不僅每年高考都出了應(yīng)用題，中考也加強(qiáng)了應(yīng)用題的考察，這些應(yīng)用題以數(shù)學(xué)建模為中心，以考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，但學(xué)生在應(yīng)用題中的得分率遠(yuǎn)底于其他題，原因之一就是學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)。因此中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，

二、如何進(jìn)行初中數(shù)學(xué)建模？數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程的縮略表示，可用下面的框圖來(lái)說(shuō)明這一過(guò)程：實(shí)際問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化，明確變量和參數(shù)根據(jù)某種“定律”或“規(guī)律”建立變量和參數(shù)間的一個(gè)明確的數(shù)學(xué)關(guān)系解析地或近似地求解該數(shù)學(xué)問(wèn)題解釋、驗(yàn)證投入使用通不過(guò)通過(guò)三、初中數(shù)學(xué)建模的過(guò)程審題建立數(shù)學(xué)模型，首先要認(rèn)真審題。實(shí)際問(wèn)題的題目一般都比較長(zhǎng)，涉及的名詞、概念較多，因此要耐心細(xì)致地讀題，深刻分解實(shí)際問(wèn)題的背景，明確建模的目的；弄清問(wèn)題中的主要已知事項(xiàng)，盡量掌握建模對(duì)象的各種信息；挖掘?qū)嶋H問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律，明確所求結(jié)論和對(duì)所求結(jié)論的限制條件。簡(jiǎn)化根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要簡(jiǎn)化。抓住主要因素，拋棄次要因素，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，用精確的語(yǔ)言作出假設(shè)。抽象將已知條件與所求問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子、圖形或表格等形式表達(dá)出來(lái)，從而建立數(shù)學(xué)模型。按上述方法建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型，是不是符合實(shí)際，理論上、方法上是否達(dá)到了優(yōu)化，在對(duì)模型求解、分析以后通常還要用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?。四、初中?shù)學(xué)建模具體分析方法關(guān)系分析法：通過(guò)尋找關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系的方法來(lái)建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型方法。列表分析法：通過(guò)列表的方式探索問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的方法。圖象分析法：通過(guò)對(duì)圖象中的數(shù)量關(guān)系分析來(lái)建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的方法。五、初中常見(jiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的基本數(shù)學(xué)模型建立幾何圖形模型建立方程或不等式模型建立三角函數(shù)模型建立函數(shù)模型建立統(tǒng)計(jì)模型1、建立幾何模型

諸如工程定位、邊角余料加工、拱橋計(jì)算、皮帶傳動(dòng)、修復(fù)破殘輪片、跑道的設(shè)計(jì)與計(jì)算等應(yīng)用問(wèn)題，涉及一定圖形的性質(zhì)常需建立幾何模型，轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解．例1如圖1，足球賽中，一球員帶球沿直線l逼近球門AB，他應(yīng)在什么地方起腳射門最為有利？分析這是幾何定位問(wèn)題，根據(jù)常識(shí)，起腳射門的最佳位置P應(yīng)該是直線l上對(duì)AB張角最大的點(diǎn)，此時(shí)進(jìn)球的可能性最大，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線l上求點(diǎn)P．使∠APB最大．為此，過(guò)AB兩點(diǎn)作圓與直線l相切，切點(diǎn)P即為所求．當(dāng)直線l垂直線段AB時(shí)，易知P點(diǎn)離球門越近，起腳射門越有利．可見(jiàn)“臨門一腳”的功夫理應(yīng)包括選取起腳射門的最佳位置。例2（2004年淄博市中考題）在日常生活中，我們經(jīng)常看到一些窗戶上安裝著遮陽(yáng)蓬，如圖（1）。現(xiàn)在要為一個(gè)面向正南的窗戶設(shè)計(jì)安裝一個(gè)遮陽(yáng)蓬，已知該地區(qū)冬天正午太陽(yáng)最低時(shí)，光線與水平線的夾角為34°；夏天正午太陽(yáng)最高時(shí)，光線與水平線的夾角為76°。把圖①畫(huà)成圖②，其中AB表示窗戶的高，BCD表示直角形遮陽(yáng)蓬。（1）遮陽(yáng)蓬BCD怎樣設(shè)計(jì)，才能正好在冬天正午太陽(yáng)最低時(shí)光線最大限度地射入室內(nèi)而夏天正午太陽(yáng)最高時(shí)光線剛好不射入室內(nèi)？請(qǐng)?jiān)趫D③中畫(huà)圖表示；（2）已知AB＝150cm，在（1）的條件下，求出BC，CD的長(zhǎng)度（精確到1cm）。解：（1）如圖。（2）如圖，設(shè)BC＝x，CD＝y(tǒng)。在Rt△ADC和Rt△DBC中，，答：BC、CD的長(zhǎng)度分別約為30cm、45cm。二、建立三角模型

對(duì)測(cè)高、測(cè)距、航海，燕尾槽、攔水壩、人字架的計(jì)算等應(yīng)用問(wèn)題，則可建立三角模型，轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．例1海中有一小島A，它周圍8海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°．如果漁船不改變航向，繼續(xù)向東捕撈，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？簡(jiǎn)析根據(jù)題意作出如圖2的示意圖，繼續(xù)航行能否觸礁，就是比較AC與8的大小。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形，求AC的長(zhǎng)。

AC3、建立方程模型

對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的等量關(guān)系，如增長(zhǎng)率、儲(chǔ)蓄利息、濃度配比、工程施工及人員調(diào)配、行程等問(wèn)題，則可列出方程轉(zhuǎn)化為方程求解問(wèn)題．例1某家俱的標(biāo)價(jià)為132元，若降價(jià)為9折出售即優(yōu)惠10％)，仍可獲利10％(相對(duì)于進(jìn)資價(jià))。求該家俱的進(jìn)貨價(jià)。

簡(jiǎn)析設(shè)該家懼的進(jìn)貨價(jià)為x元．則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程例2如圖3(1)，在寬為20m，長(zhǎng)為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路(兩條縱向一條橫向且橫向與縱向互相垂直)．把耕地分成大小相等的六塊作實(shí)驗(yàn)田，要使實(shí)驗(yàn)地面積為570m2，問(wèn)道路應(yīng)為多寬？(1997年安徽省中考題)簡(jiǎn)析如圖3(2)．作整體思考，設(shè)道路的寬為x，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程(20－x)(32－2x)＝570的解，解得x1＝1，x2＝35(不合題意，舍去)。例3（2004年山東省棗莊市中考題）某家庭新購(gòu)住房需要裝修，如果甲、乙兩個(gè)裝飾公司合做，12天可以完成，需付裝修費(fèi)1.04萬(wàn)元；如果甲公司先做9天，剩下的由乙公司來(lái)做，還需16天完成，共需付裝修費(fèi)1.06萬(wàn)元。若只選一個(gè)裝飾公司來(lái)完成裝修任務(wù)，應(yīng)選擇哪個(gè)裝飾公司？試說(shuō)明理由解：設(shè)甲公司單獨(dú)做x天完成，乙公司單獨(dú)做y天完成。根據(jù)題意，得解之，得。

設(shè)甲公司單獨(dú)完成裝修工程需裝修費(fèi)a萬(wàn)元，乙公司單獨(dú)完成裝修工程需裝修費(fèi)b萬(wàn)元。則解之，得所以，甲公司完成裝修工程需21天，裝修費(fèi)0.98萬(wàn)元；乙公司完成裝修工程需28天，裝修費(fèi)1.12萬(wàn)元。從節(jié)約時(shí)間、節(jié)省開(kāi)支的角度考慮，應(yīng)選擇甲公司來(lái)完成此項(xiàng)裝修任務(wù)。4、建立直角坐標(biāo)系模型

當(dāng)變量的變化具有(近似)函數(shù)關(guān)系，或物體運(yùn)動(dòng)的軌跡具有某種規(guī)律時(shí)，可通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問(wèn)題求解。例1在如圖4所示的自動(dòng)噴灌設(shè)備中，噴出的水流呈現(xiàn)拋物線狀．設(shè)水管AB高出地面1．5米．水流最高點(diǎn)C比噴頭B高2米，且與B點(diǎn)連線夾角與水平面成45°，求水流落地點(diǎn)到A點(diǎn)的距離。

簡(jiǎn)析因水流路線是拋物線，可建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．由已知條件可求得拋物例2（2004年安徽南山區(qū)中考題）如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員跳起投籃，球沿拋物線運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi)。已知籃框的中心離地面的距離為3.05米。（1）球在空中運(yùn)行的最大高度為多少米？

（2）如果該運(yùn)動(dòng)員跳投時(shí)，球出手離地面的高度為2.25米，請(qǐng)問(wèn)他距離籃框中心的水平距離是多少？的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3.5）∴球在空中運(yùn)行的最大高度為3.5米解：（1）∵拋物線（2）在當(dāng)y＝3.05時(shí)x＝±1.5又∵x＞0∴x＝1.5當(dāng)y＝2.25時(shí)x＝±2.5又∵x＜0∴x＝－2.5故運(yùn)動(dòng)員距離籃球中心水平距離為｜1.5｜＋｜－2.5｜＝4米對(duì)于飛機(jī)投物、打炮射擊、投籃、平拋等問(wèn)題，其物體運(yùn)動(dòng)的軌跡都是拋物線，往往可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象問(wèn)題去解決．當(dāng)變量之間具有線性關(guān)系時(shí)，則可轉(zhuǎn)化為直線或平面區(qū)域問(wèn)題去解決．5、建立目標(biāo)函數(shù)模型

對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的最優(yōu)化問(wèn)題，如造價(jià)用料最少，利潤(rùn)產(chǎn)出最大等，可透過(guò)實(shí)際背景、建立變量之間的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問(wèn)題．例1某商店如將進(jìn)貨價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售200件，現(xiàn)在采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的方法增加利潤(rùn)，已知這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷售量就減少10件，問(wèn)應(yīng)將售價(jià)定為多少時(shí)，才能使所賺利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．簡(jiǎn)析設(shè)每件售價(jià)提高x元，則每件得利潤(rùn)(2＋x)元，每天銷售量變?yōu)?200－20x)件，所獲利潤(rùn)y＝(2＋x)(200－20x)＝－20(x－4)2＋720．故當(dāng)x＝4時(shí)，即售價(jià)定為14元時(shí)，每天可獲最大利潤(rùn)720元．例2（2004年山東省煙臺(tái)市）先閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：

在一條直線上有依次排列的n（n＞1）臺(tái)機(jī)床在工作，我們要設(shè)置零件供應(yīng)站P，使這n臺(tái)機(jī)床到供應(yīng)站P的距離總和最小，要解決這個(gè)問(wèn)題，先退到比較簡(jiǎn)單的情形：如圖①，如果直線上有2臺(tái)機(jī)床時(shí)，很明顯設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，因?yàn)榧缀鸵易叩木嚯x之和等于A1到A2的距離。如圖②，如果直線上有3臺(tái)機(jī)床時(shí)，不難判斷，供應(yīng)站設(shè)在中間一臺(tái)機(jī)床A2處最合適，因?yàn)槿绻鸓放在A2處，甲乙和丙所走的距離之和恰好為A1到A3的距離，而如果把P放到別處，例如D處，那么甲和丙所走的距離之和仍是A1到A3的距離，可是乙還得走從A2到D的這一段，在是多出來(lái)的，一次P放在A2處是最佳選擇。

不難知道，如果直線上有4臺(tái)機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第2臺(tái)與第3臺(tái)之間的任何地方；有5臺(tái)機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺(tái)的位置。

問(wèn)題（1）：有n臺(tái)機(jī)床時(shí)，P應(yīng)設(shè)置在何處？

問(wèn)題（2）：根據(jù)問(wèn)題⑴的結(jié)論,求︱x－1︱+︱x－2︱+︱x－3︱+…+︱x－617︱的最小值。

解：（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，P應(yīng)設(shè)在第臺(tái)和（＋1）臺(tái)之間的任何地方，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，p應(yīng)設(shè)在第臺(tái)的位置。（2）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，求︱x－1︱+︱x－2︱+︱x－3︱+…+︱x－617︱的最小值就是在數(shù)軸上找出表示x的點(diǎn)，使它到表示1，2，…，617各點(diǎn)的距離之和最小，根據(jù)問(wèn)題1的結(jié)論，當(dāng)x＝309時(shí)，原式的值最小。最小值是：︱309－1︱+︱309－2︱+︱309－3︱+…+︱309－308︱+0+︱309－310︱+︱309－311︱+…+︱309－311︱＋+︱309－616︱+︱309－617︱＝308＋307＋306＋…＋1＋1＋2＋…＋308＝308×309＝95172。6、建立不等式模型

在市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)、生產(chǎn)決策和社會(huì)生活中，如估計(jì)生產(chǎn)數(shù)量，核定價(jià)格范圍，盈虧平衡分析，投資決策等，則可挖掘?qū)嶋H問(wèn)題所隱含的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式(組)的求解或目標(biāo)函數(shù)在閉區(qū)間的最值問(wèn)題。例1某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品每件單價(jià)是80元，直接生產(chǎn)成本是60元，該工廠每月其它總開(kāi)支是50000元．如果該工廠計(jì)劃每月至少要獲得200000元利潤(rùn)，假定生產(chǎn)的全部產(chǎn)品都能賣出，問(wèn)每月的生產(chǎn)量應(yīng)是多少？簡(jiǎn)析設(shè)每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則總收入為80x，直接生產(chǎn)成本為60x，每月利潤(rùn)為80x－60x－50000＝20x－50000．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不等式20x－50000≥200000的解．解得x≥12500(件)。例2

（2004年河北省中考題）光華農(nóng)機(jī)租賃公司共有50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型20臺(tái)，乙型30臺(tái)。先將這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往A、B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺(tái)派往A地區(qū)，20臺(tái)派往B地區(qū)。

兩地區(qū)與該農(nóng)機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見(jiàn)下表：

每臺(tái)甲型收割機(jī)的租金每臺(tái)乙形收割機(jī)的租金A地區(qū)1800元1600元B地區(qū)1600元1200元（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金為y（元），求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）若使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于79600元，說(shuō)明有多少種分配方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來(lái)；（3）如果要使這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請(qǐng)你為光華農(nóng)機(jī)租賃公司提一條合理化建議。解：（1）若派往A地區(qū)的乙型收割機(jī)為x臺(tái)，則派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為（30－x）臺(tái)；派往B地區(qū)的乙型收割機(jī)為（30－x）臺(tái)，派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為（x－10）臺(tái)。

∴y＝1600x＋1800（30－x）＋1200（30－x）＋1600（x－10）＝200x＋74000

x的取值范圍是：10≤x≤30（x是正整數(shù)）（2）由題意得200x＋74000≥79600

解不等式得x≥28由于10≤x≤30（x是正整數(shù)）

∴x取28，29，30這三個(gè)值。

∴有3種不同的分配方案。①當(dāng)x＝28時(shí)，即派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為2臺(tái)，乙型收割機(jī)為28臺(tái)；派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為18臺(tái)，乙型收割機(jī)為2臺(tái)。

②當(dāng)x＝29時(shí)，即派往A地區(qū)的甲型收割機(jī)為1臺(tái)，乙型收割機(jī)為29臺(tái)；派往B地區(qū)的甲型收割機(jī)為19臺(tái)，乙型收割機(jī)為1臺(tái)。

③當(dāng)x＝30時(shí)，即30臺(tái)乙型收割機(jī)全部派往A地區(qū)；20臺(tái)甲型收割機(jī)全部派往B地區(qū)。（3）由于一次函數(shù)y＝200x＋74000的值y是隨著x的增大而增大的，所以當(dāng)x＝30時(shí)，y取得最大值。如果要使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得租