山西省大同市馬軍營(yíng)第二中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

山西省大同市馬軍營(yíng)第二中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，則A. B.C. D.參考答案：C，，所以，所以，選C.2.如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，則在該正方體各個(gè)面上的正投影可能是（

）A．①②

B．①④

C．②③

D．②④參考答案：B3.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式是(

) A． B．

C． D．參考答案：B略4.已知兩條直線和互相平行，則等于（

）

A.1或-3

B.-1或3

C.1或3

D.-1或3參考答案：A因?yàn)橹本€的斜率存在且為，所以，所以的斜截式方程為，因?yàn)閮芍本€平行，所以且，解得或，選A.5.如圖1，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，若四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是（）A． B．6π C． D．12π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】由已知得PA、PF、PE兩兩垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，則四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球上，由此能求出該球的表面積．【解答】解：∵ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，∴PA、PF、PE兩兩垂直，且PA=2，PE=PF=1，以PA、PE、PF為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，則四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球上，∴這個(gè)球的半徑為R==，∴該球的表面積是S=4πR2=4π×=6π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意球、四面體的性質(zhì)及構(gòu)造法的合理應(yīng)用．6.圓C：（為參數(shù)）的普通方程為_(kāi)_________，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M（）在C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P（x，y）是線段OM的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______________。參考答案：，7.已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕，將折成直二面角，則過(guò)，，，四點(diǎn)的球的表面積為（

）A．3π B．4π C．5π D．6π參考答案：C8.設(shè)向量的（

）A．充分非必要條件

B．必要非充分條件C．充分必要條件

D．既非充分又非必要條件參考答案：B9.已知為的三個(gè)內(nèi)角，向量滿足，且，若最大時(shí)，動(dòng)點(diǎn)使得、、成等差數(shù)列，則的最大值是（）A．

B．

C．

D．參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】橢圓兩角和與差的三角函數(shù)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算【試題解析】由條件知：

所以

即，即

所以

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，A最大為

設(shè)BC=2c，因?yàn)?、、成等差?shù)列，

所以PB+PC=4c=2a，所以P的軌跡為，以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，

橢圓方程為：由題知：A（），設(shè)P，

時(shí)，PA最大，為。

所以的最大值是。10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積等于（）A．12 B．4 C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，一條側(cè)棱垂直底面，根據(jù)公式可求體積．【解答】解：由三視圖復(fù)原幾何體，如圖，它的底面是直角梯形，一條側(cè)棱垂直底面高為2，這個(gè)幾何體的體積：，故選B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖、棱錐的體積；考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖的運(yùn)用；培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象能力和基本的運(yùn)算能力；是中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，則

．參考答案：3或12.△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c.D是BC邊的中點(diǎn)，且，，，則△ABC面積為

．參考答案：13.已知，函數(shù)若函數(shù)在上的最大值比最小值大，則的值為 .參考答案：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是1，最小值是，則，得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是，最小值是，則，此種情況不成立；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是，最小值是1，則，得，綜上得。14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值_______．參考答案：2【分析】作出可行域，求出區(qū)域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將頂點(diǎn)坐標(biāo)一一代入，即可判斷函數(shù)的最大值?！驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域，如圖求得區(qū)域的頂點(diǎn)分別為，，，分別將三點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)得：，，，所以的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，作出可行域，當(dāng)不等式組為線性約束條件，目標(biāo)函數(shù)是線性函數(shù)，可行域?yàn)槎噙呅螀^(qū)域時(shí)（或有頂點(diǎn)的無(wú)限區(qū)域），直接代端點(diǎn)即可求得目標(biāo)函數(shù)的最值。15.若關(guān)于的不等式：的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

參考答案：16.的值為_(kāi)_______.參考答案：1。17.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專(zhuān)題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】由三視圖可知：該幾何體左邊為一個(gè)四棱錐、右邊為一個(gè)直三棱柱．即可得出．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體左邊為一個(gè)四棱錐、右邊為一個(gè)直三棱柱．∴該幾何體的體積V=+=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的有關(guān)知識(shí)、四棱錐與直三棱柱的體積計(jì)算公式，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（2017?唐山一模）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=2，M、N分別是AB、A1C的中點(diǎn)．（1）求證：MN∥平面BB1C1C；（2）若平面CMN⊥平面B1MN，求直線AB與平面B1MN所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連接AC1，BC1，則N∈AC1且N為AC1的中點(diǎn)，證明：MN∥BC1，即可證明MN∥平面BB1C1C；（2）以C為原點(diǎn)，分別以CB，CC1，CA所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面B1MN，即可求直線AB與平面B1MN所成角的正弦值．【解答】（1）證明：連接AC1，BC1，則N∈AC1且N為AC1的中點(diǎn)，又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴MN∥BC1，又BC1?平面BB1C1C，MN?平面BB1C1C，故MN∥平面BB1C1C．…（4分）（2）解：由A1A⊥平面ABC，得AC⊥CC1，BC⊥CC1．以C為原點(diǎn)，分別以CB，CC1，CA所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CC1=2λ（λ＞0），則M（1，0，1），N（0，λ，1），B1（2，2λ，0），，=（﹣1，λ，0），．取平面CMN的一個(gè)法向量為，由，得：，令y=1，得，同理可得平面B1MN的一個(gè)法向量為，∵平面CMN⊥平面B1MN，∴，解得，得，又，設(shè)直線AB與平面B1MN所成角為θ，則．所以，直線AB與平面B1MN所成角的正弦值是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查線面角，考查向量方法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）已知(1)求函數(shù)上的最小值；(2)若對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明:對(duì)一切,都有成立.參考答案：解（1），

—————1分當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增

—————2分①，即時(shí)，

；

②，即時(shí)，上單調(diào)遞增，；所以

—————5分（2），則，[/]

設(shè)，則，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以

—————8分所以；

—————9分（3）問(wèn)題等價(jià)于證明，

—————10分[/]由（1）可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，設(shè)，則，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，從而對(duì)一切，都有成立

—————12分略20.設(shè)，求證：，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.參考答案：由柯西不等式，得．將上式兩邊同時(shí)乘以，再將兩邊同時(shí)加上，有，即，所以，．由柯西不等式中等號(hào)成立的條件及上述推導(dǎo)過(guò)程可知，原不等式中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．21.已知二次函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿足，且．令。（1）若函數(shù)在上的最小值為0，求的值；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：（1），（2）解：設(shè)，于是所以又，則．所以．

（2分）（1）則．

（2分）令，得（舍），．①當(dāng)>1時(shí)，1

-0+↘↗∴當(dāng)時(shí),．令，得．

②當(dāng)時(shí)，≥0在上恒成立，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí),．令，得（舍）．

綜上所述，所求為．

（2分）（2）記，，則據(jù)題意有有3個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，且這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．（?。┯?個(gè)不同的實(shí)根，只需滿足；（ⅱ）有3個(gè)不同的實(shí)根，因，令，得或，當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，而，不符合題意，舍；當(dāng)即時(shí)，不符合題意，舍；當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，；所以；因?yàn)椋á。áⅲ┮瑫r(shí)滿足，故．

（4分）下證：這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時(shí)成立；若存在使得，由，即，得，當(dāng)時(shí)，，不符合，舍去；當(dāng)時(shí)，既有

①；又由，即

②；聯(lián)立①②式，可得；而當(dāng)時(shí)，沒(méi)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，故舍去，所以這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)．

（4分）

略22.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，點(diǎn)E為CC1中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD1中點(diǎn)．（1）證明EF為BD1與CC1的公垂線；（2）求點(diǎn)D1到面BDE的距離．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專(zhuān)題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）欲證明EF為BD1與CC1的公垂線，只須證明EF分別與為BD1與CC1垂直即可，可由四邊形EFMC是矩形→EF⊥CC1．由EF⊥面DBD1→EF⊥BD1．（2）欲求點(diǎn)D1到面BDE的距離，將距離看成是三棱錐的高，利用等體積法：VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．求解即得．【解答】解：（1）取BD中點(diǎn)M．連接MC，F(xiàn)M．∵F為BD