山西省太原市外語(yǔ)科技實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

山西省太原市外語(yǔ)科技實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意的x1，x2∈D，當(dāng)x1+x2=2a時(shí)，恒有f（x1）+f（x2）=2b，則稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心．研究函數(shù)f（x）=x3+sinx+1的某一個(gè)對(duì)稱中心，并利用對(duì)稱中心的上述定義，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=(

) A．0 B．2014 C．4028 D．4031參考答案：D考點(diǎn)：函數(shù)的值．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：函數(shù)f（x）=x3+sinx+1圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（0，1），即x1+x2=0時(shí)，總有f（x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到結(jié)論解答： 解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，函數(shù)f（x）=x3+sinx+1圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（0，1），即x1+x2=0時(shí)，總有f（x1）+f（x2）=2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，確定函數(shù)的對(duì)稱中心，利用倒序相加x1+x2=0時(shí)，總有f（x1）+f（x2）=2，是解題的關(guān)鍵．2.設(shè)Sn是公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且a1>0，若S5=S9，則當(dāng)Sn最大時(shí)，n=A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：B3.已知，，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：D4.某幾何體由圓柱挖掉半個(gè)球和一個(gè)圓錐所得，三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，求該幾何體的表面積（）A．60π B．75π C．90π D．93π參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由正視圖與側(cè)視圖可知：圓柱的底面直徑為6，高為7，球的直徑為6，圓錐的底面直徑為6，高為4，代入公式，可得答案．【解答】解：由正視圖與側(cè)視圖可知：圓柱的底面直徑為6，高為7，球的直徑為6，圓錐的底面直徑為6，高為4．可得該幾何體的表面積S=2π×3×7+π×3×+2π×32=75π，故選：B．5.△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量，滿足＝2，＝2+，則下列結(jié)論正確的是（）A．||＝1 B．⊥ C．?＝1 D．（4+）⊥參考答案：D試題分析：,,．由題意知．．．故D正確．考點(diǎn)：1向量的加減法；2向量的數(shù)量積；3向量垂直．6.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．

B．

C．

D．參考答案：B7.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B略8.若函數(shù)與在區(qū)間[1，2]上都是減函數(shù)，則的取值范圍是（）

A．（－1，0）

B．（0，1]

C．（0，1）

D．（－1，0）∪（0，1]參考答案：B由在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，則；

由在區(qū)間[1，2]上都是減函數(shù)，則，得。

因此函數(shù)與在區(qū)間[1，2]上都是減函數(shù)，則，故選擇B。9.若是方程式的解，則屬于區(qū)間

（

）A．（0，1）

B．（1，2）.

C．（2，3）

D．（3，4）參考答案：B略10.的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是，設(shè)向量

，若，則角的大小為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)m滿足，均有，且，則稱為上的m高調(diào)函數(shù)．如果定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且為R上的8高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：12.若直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：13.等差數(shù)列{an}的公差d≠0，a1=20，且a3，a7，a9成等比數(shù)列．Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則S10的值為

．參考答案：110【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)建立條件關(guān)系，求出等差數(shù)列的公差，即可得到結(jié)論．【解答】解：由a3，a7，a9成等比數(shù)列，則a3a9=（a7）2，即（a1+2d）（a1+8d）=（a1+6d）2，化簡(jiǎn)可得2a1d+20d2=0，由a1=20，d≠0，解得d=﹣2．則S10=10a1+×（﹣2）=110，故答案為：110．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的求和，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)函數(shù)的定義域是D，，有的反函數(shù)為，已知，則=___________。（用表示）；參考答案：15.當(dāng)0<x<1時(shí)，的大小關(guān)系是_____________；參考答案：

16.函數(shù)的圖象與的圖象（且）交于兩點(diǎn)（2,5），（8,3），則的值等于

；參考答案：1017.若集合A={x|lgx＜1}，B={y|y=sinx，x∈R}，則A∩B=．參考答案：（0，1]分析： 由對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)求出集合A、B，再由交集的運(yùn)算求出A∩B．解答： 解：由lgx＜1=lg10得，0＜x＜10，則集合A={x|0＜x＜10}=（0，10），由﹣1≤sinx≤1得，集合B={y|﹣1≤y≤1}=[﹣1，1]，所以A∩B=（0，1]，故答案為：（0，1]．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了交集及其運(yùn)算，以及對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.一水渠的橫截面如下圖所示，它的橫截面曲線是拋物線形，AB寬2m，渠OC深為1.5m，水面EF距AB為0.5m.（1）求截面圖中水面寬度；（2）如把此水渠改造成橫截面是等腰梯形，要求渠深不變，不準(zhǔn)往回填土，只準(zhǔn)挖土，試求截面梯形的下邊長(zhǎng)為多大時(shí)，才能使所挖的土最少？參考答案：（2）如上圖，設(shè)拋物線一點(diǎn)M(t,t2-)（t>0），因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿過(guò)點(diǎn)M與拋物線相切的切線挖土.由y=x2-,求導(dǎo)得y′=3x，∴過(guò)點(diǎn)M的切線斜率為3t，切線方程為y-(t2-)=3t(x-t).令y=0，則x1=,令y=-,則x2=,故截面梯形面積為S=(2x1+2x2)·=(+t)≥,當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)所挖土最少，此時(shí)下底寬m.

略19.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的方程為，曲線C2的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線C3的方程為，（），曲線C3與曲線C1，C2分別交于P，Q兩點(diǎn)．（Ⅰ）求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)?，，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，即由（為參數(shù)），消去，即得曲線直角坐標(biāo)方程為將，，代入化簡(jiǎn)，可得曲線的極坐標(biāo)方程為（Ⅱ）曲線的極坐標(biāo)方程為，由（1）得，即因?yàn)?，所以，所?/p>

20.已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)．M為橢圓上任意一點(diǎn)，△MF1F2面積的最大值為4．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C上的任意一點(diǎn)N（x0，y0），從原點(diǎn)O向圓N：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3作兩條切線，分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)．試探究|OA|2+|OB|2是否為定值，若是，求出其值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）求得拋物線的焦點(diǎn)，可得c，再由當(dāng)M位于橢圓短軸端點(diǎn)處△MF1F2面積取得最大值．可得b，由a，b，c的關(guān)系求得a，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線OA：y=k1x，OB：y=k2x，A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)過(guò)原點(diǎn)圓（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3的切線方程為y=kx，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，聯(lián)立直線OA、OB方程和橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)整理，即可得到定值．【解答】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為（2，0），由題意可得c=2，△MF1F2面積的最大值為4，可得當(dāng)M位于橢圓短軸端點(diǎn)處取得最大值．即有b?2c=4，解得b=2，a2=b2+c2=4+8=12，則橢圓方程為+=1；

（2）證明：設(shè)直線OA：y=k1x，OB：y=k2x，A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)過(guò)原點(diǎn)圓（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3的切線方程為y=kx，則有=，整理得（x02﹣3）k2﹣2x0y0k+y02﹣3=0，即有k1+k2=，k1k2=，又因?yàn)?=1，所以可求得k1k2==﹣，將y=k1x代入橢圓方程x2+3y2=12，得x12=，則y12=，同理可得x22=，y22=，所以|OA|2+|OB|2=+===16．所以|OA|2+|OB|2的值為定值16．21.(2011·福州高二檢測(cè))當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z=(m2－8m+15)+(m2+3m－28)i(m∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，(1)在x軸上？

(2)在第四象限？

(3)位于x軸負(fù)半軸上？參考答案：解：(1)由已知得：m2+3m－28=0，∴(m+7)(m－4)=0，解得：m=－7或m=4.(2)由已知得：，∴，∴－7<m<3.(3)由已知得：，∴，∴m=4.

22.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足（為常數(shù)），成等差數(shù)列.（Ⅰ）求p的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，證明：.參考答案：解：（Ⅰ）由得∵成等差數(shù)列，∴即得………（2分）依題意知，當(dāng)時(shí)，…相加得∴∴……………（4分）又適合上式，………（5分）故……………………（6分）（Ⅱ）證明：∵∴∵

…（8分）若則即當(dāng)時(shí)，有…………………（10分）又因?yàn)椤?1分）故……………………（12分）（Ⅱ）法二：要證

只要證…………（7分）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①