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山西省太原市小店區(qū)第一中學2023年高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.如果一組數(shù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)是,方差是s2,則另一組數(shù)x1+,x2+,…,xn+的平均數(shù)和方差分別是()A.x,s2
B.x+,s2C.x+,3s2 D.x+,3s2+2s+2參考答案:C【考點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù);極差、方差與標準差.【分析】根據(jù)一組數(shù)是前一組數(shù)x1,x2,…,xn擴大倍后,再增大,故其中平均數(shù)也要擴大倍后,再增大,而其方差擴大()2倍,由此不難得到答案.【解答】解:∵x1,x2,…,xn的平均數(shù)是,方差是s2,∴的平均數(shù)為,的方差為3s2故選C2.函數(shù)的最小值為
A.5
B.6
C
7
D.8參考答案:D3.要得到函數(shù)y=sin()的圖象,需將函數(shù)的圖象(A)向左平單位
(B)向右平移單位(C)向左平移單位
(D)向右平移單位
參考答案:B4.用秦九韶算法求多項式在時的值,的結(jié)果是(
)
A.
B.
C.5
D.6參考答案:D5.在區(qū)域內(nèi)任意取一點,則的概率是
(
)A.0
B.
C.
D.參考答案:D略6.命題:“若a2+b2=0(a,b∈R),則a=b=0”的逆否命題是()A.若a≠b≠0(a,b∈R),則a2+b2≠0B.若a=b≠0(a,b∈R),則a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0(a,b∈R),則a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0(a,b∈R),則a2+b2≠0參考答案:D【考點】四種命題.【分析】根據(jù)逆否命題的定義,直接作答即可,注意常見邏輯連接詞的否定形式.【解答】解:“且”的否定為“或”,因此其逆否命題為“若a≠0或b≠0,則a2+b2≠0”;故選D.【點評】此類題型考查四種命題的定義與相互關(guān)系,一般較簡單,但要注意常見邏輯連接詞的運用與其各自的否定方法、形式.7.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為(
)A.
B.16
C.8
D.24參考答案:C由三視圖可知:該幾何體為三棱錐,由正視圖及側(cè)視圖可知底面三角形的底為4,由側(cè)視圖可知底面三角形的高為,三棱錐的高為,故可得幾何體的體積,故選C.
8.一個幾何體的三視圖如圖,其中正視圖中△是邊長為的正三角形,俯視圖為正六邊形,則側(cè)視圖的面積為(
)A
B
C
D參考答案:A9.在等差數(shù)列中,已知,則該數(shù)列前11項的和等于A.58
B.88
C.143
D.176參考答案:B10.在平面直角坐標系中,若方程表示的曲線為橢圓,則的取值范圍是(
)參考答案:D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a,b為異面直線,且a,b所成角為40°,直線c與a,b均異面,且所成角均為θ,若這樣的c共有四條,則θ的范圍為.參考答案:(70°,90°)考點:異面直線及其所成的角.專題:空間位置關(guān)系與距離.分析:由已知中a,b所成角為40°,平面α上兩條直線m,n分別滿足m∥a,n∥b,則m,n相交,且夾角為40°,且直線c與m,n所成角均為θ,分類討論θ取不同值時,直線c的條數(shù),最后根據(jù)討論結(jié)果,可得答案.解答:解:設(shè)平面α上兩條直線m,n分別滿足m∥a,n∥b則m,n相交,且夾角為40°,若直線c與a,b均異面,且所成角均為θ,則直線c與m,n所成角均為θ,當0°≤θ<20°時,不存在這樣的直線c,當θ=20°時,這樣的c只有一條,當20°<θ<70°時,這樣的c有兩條,當θ=70°時,這樣的c有三條,當70°<θ<90°時,這樣的c有四條,當θ=90°時,這樣的c只有一條,故答案為:(70°,90°)點評:本題考查的知識點是異面直線及其所成的角,熟練掌握空間直線與直線夾角的定義及幾何特征是解答的關(guān)鍵.12.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足,且為偶函數(shù),,則不等式的解集為______參考答案:(0,+∞)【分析】令,利用導(dǎo)數(shù)和已知即可得出其單調(diào)性.再利用函數(shù)的奇偶性和已知可得,即可得出.【詳解】設(shè),,.所以函數(shù)是上的減函數(shù),函數(shù)是偶函數(shù),函數(shù),函數(shù)關(guān)于對稱,(4),原不等式等價為,不等式等價,.在上單調(diào)遞減,.故答案為:【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)的奇偶性及對稱性的應(yīng)用.13.已知集合,,則=___________.參考答案:14.樣本中共有五個個體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1,則樣本方差為
.參考答案:2【考點】極差、方差與標準差;眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).【分析】根據(jù)平均數(shù)公式先求出a,再求出方差,開方得出標準差.【解答】解:由已知a,0,1,2,3,的平均數(shù)是1,即有(a+0+1+2+3)÷5=1,易得a=﹣1,根據(jù)方差計算公式得s2=[(﹣1﹣1)2+(0﹣1)2+(1﹣1)2+(2﹣1)2+(3﹣1)2]=×10=2故答案為:215.在等差數(shù)列中已知,a7=8,則a1=_______________參考答案:D略16.如果函數(shù),那么函數(shù)的最大值等于
▲
.參考答案:3
17.已知直線是曲線的切線,則實數(shù)k的值為
.參考答案:e若,則,設(shè)曲線上點的坐標為,則切點處切線的斜率,此時切線方程為:,切線為,則切線過坐標原點,即:,解得:,則:.
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知橢圓的焦點在軸上,中心在原點,離心率,直線和以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓相切.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)橢圓的左、右頂點分別為、,點是橢圓上異于、的任意一點,設(shè)直線、的斜率分別為、,證明為定值.參考答案:(Ⅰ)橢圓方程
19.某校統(tǒng)計了高一年級兩個重點班的所有學生期中考試數(shù)學成績,根據(jù)考試分數(shù),學生成績在[90,150]范圍內(nèi),得結(jié)果如表:甲班:分組[90,105)[105,120)[120,135)[135,150)頻數(shù)1025105乙班:分組[90,105)[105,120)[120,130)[135,150)頻數(shù)3172010(1)規(guī)定分數(shù)120分以上的為學生為優(yōu)秀學生,分別估計兩個班的優(yōu)秀學生率;(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表,并問是否有99%的把握認為“兩個班的優(yōu)秀學生有差異”.(參考9題數(shù)據(jù))參考答案:【考點】BP:回歸分析.【分析】(1)求出甲、乙班人數(shù)和優(yōu)秀人數(shù),計算優(yōu)秀率;(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表,計算K2,對照臨界值得出結(jié)論.【解答】解:(1)甲班人數(shù)是10+25+10+5=50,優(yōu)秀人數(shù)是10+5=15,優(yōu)秀率是=30%;乙班人數(shù)是3+17+20+10=50,優(yōu)秀人數(shù)是20+10=30,優(yōu)秀率是=60%;(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表如下,
非優(yōu)秀學生優(yōu)秀學生總計甲班351550乙班203050總計5545100根據(jù)表中數(shù)據(jù),計算K2=≈9.091>6.635,對照臨界值得出,能有99%的把握認為“兩個班的優(yōu)秀學生有差異”.20.(本題滿分12分)(文)已知函數(shù)f(x)=x2(x-a).(1)若f(x)在(2,3)上單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)在(2,3)上不單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍.參考答案:解:由f(x)=x3-ax2得f′(x)=3x2-2ax=3x(x-).…………3分(1)若f(x)在(2,3)上單調(diào),則≤0,或0<≤2,解得:a≤3.…………6分∴實數(shù)a的取值范圍是(-∞,3].…………8分(2)若f(x)在(4,6)上不單調(diào),則有4<<6,解得:6<a<9.…………11分∴實數(shù)a的取值范圍是(6,9).…………12分
略21.如圖,在直三棱柱中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分別是AA1和B1C的中點求證:DE∥平面ABC;求三棱錐E-BCD的體積。參考答案:⑴取BC中點G,連接AG,EG,因為是的中點,所以EG∥,且.由直棱柱知,,而是的中點,
所以,…………4分所以四邊形是平行四邊形,所以,又平面,
所以∥平面.
………7分⑵因為,所以平面,
所以,………10分由⑴知,∥平面,所以.…14分
22.
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