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山西省忻州市華榮中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中,,則(
)A.9:7:8 B. C.6:8:7 D.參考答案:B【分析】設(shè)求出,再利用正弦定理求解.【詳解】設(shè)所以,所以,所以,得所以故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積,考查余弦定理和正弦定理邊角互化,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.2.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,則此函數(shù)的解析式是(A)
(B)
(C)
(D)
參考答案:B由圖象可知,所以函數(shù)的周期,又,所以。所以,又,所以,即,所以,所以,選B.3.一幾何體的三視圖如圖所示,若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為,則該幾何體外接球的表面積為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B4.某程序框圖如圖所示,該程序運(yùn)行后,輸出的值為31,則等于(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:C5.我國(guó)的《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方:將1,2,…,9填入3×3的方格內(nèi),使三行、三列、二對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15,如圖1所示,一般地,將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,…,填入×個(gè)方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形就叫做階幻方,記階幻方的對(duì)角線上數(shù)的和為,如圖1的幻方記為,那么的值為
(
)A.869
B.870
D.875
C.871參考答案:B
略6.已知橢圓+=1(m>0)與雙曲線=1(n>0)有相同的焦點(diǎn),則m+n的最大值是()A.3 B.6 C.18 D.36參考答案:B【考點(diǎn)】K4:橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】根據(jù)題意,由橢圓雙曲線的幾何性質(zhì),可得25﹣m2=7+n2,變形可得:m2+n2=18,進(jìn)而由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,橢圓+=1(m>0)與雙曲線=1(n>0)有相同的焦點(diǎn),則有25﹣m2=7+n2,變形可得:m2+n2=18,又由≥()2,則有()2≤9,即m+n≤6,則m+n的最大值是6;故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),涉及基本不等式的性質(zhì),關(guān)鍵是得到m2與n2的關(guān)系.7.將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),則所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為(
)A. B.C. D.參考答案:A【分析】將圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍得,再利用誘導(dǎo)公式得出結(jié)果.【詳解】先將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得故選A【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的圖像變化和誘導(dǎo)公式,正確的掌握?qǐng)D像的平移變化和伸縮變化是解題的關(guān)鍵.8.已知定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x)無(wú)極值,且,若在上與函數(shù)f(x)的單調(diào)性相同,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(
)A.(-∞,-2] B.[-2,+∞)C.(-∞,2] D.[-2,-1]參考答案:A【分析】根據(jù)連續(xù)可導(dǎo)且無(wú)極值,結(jié)合,判斷出為單調(diào)遞減函數(shù).對(duì)求導(dǎo)后分離常數(shù),利用三角函數(shù)的值域求得的取值范圍.【詳解】由于連續(xù)可導(dǎo)且無(wú)極值,故函數(shù)為單調(diào)函數(shù).故可令,使成立,故,故為上的減函數(shù).故在上為減函數(shù).即在上恒成立,即,由于,故,,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.9.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則等于(▲)A.1
B.-1
C.2
D.參考答案:A略10.(5分)已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)是(﹣4,0),(4,0),則雙曲線方程為()A.B.C.D.參考答案:A【考點(diǎn)】:雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【專題】:計(jì)算題.【分析】:根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得c,再根據(jù)離心率求得a,最后根據(jù)b=求得b,雙曲線方程可得.解.已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)是(﹣4,0),(4,0),則c=4,a=2,b2=12,雙曲線方程為,故選A.【點(diǎn)評(píng)】:本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)x,y滿足,則z=2x﹣y的最大值為3,則m=
.參考答案:考點(diǎn):簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.專題:不等式的解法及應(yīng)用.分析:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合z=2x﹣y的最大值為3,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論..解答: 解:由z=2x﹣y,得y=2x﹣z,作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域(陰影部分),平移直線y=2x﹣z,由平移可知當(dāng)直線y=2x﹣z,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),直線y=2x﹣z的截距最小,此時(shí)z取得最大值3,由,解得,即A(,).將A的坐標(biāo)代入x﹣y+m=0,得m=y﹣x=﹣=,故答案為:.點(diǎn)評(píng):本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則等于__________參考答案:84略13.已知,奇函數(shù)在上單調(diào),則字母應(yīng)滿足的條件是__________.參考答案:;提示:由是奇函數(shù)得,,得a=c=0;在[1,]單調(diào)得恒成立(不可能)得b.14.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2),則=
.參考答案:答案:
15.執(zhí)行右圖的程序框圖,若輸入的x=2,則輸出的y的值為
.
參考答案:16.已知是虛數(shù)單位,則▲.參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.L4
解析:,故答案為?!舅悸伏c(diǎn)撥】在分式的分子分母同時(shí)乘以即可。17.設(shè)函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則的大小為
(按由小到大的順序)參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且Sn為an與的等差中項(xiàng).(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求{bn}的前100項(xiàng)和.參考答案:(1)證明見解析;(2)10.【分析】(1)利用已知條件化簡(jiǎn)出,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),再利用進(jìn)行化簡(jiǎn),得出,即可證明出為等差數(shù)列;
(2)根據(jù)(1)中,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再化簡(jiǎn)出,可直接求出的前100項(xiàng)和.【詳解】解:(1)由題意知,即,①當(dāng)時(shí),由①式可得;又時(shí),有,代入①式得,整理得,∴是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可得,∵是各項(xiàng)都為正數(shù),∴,∴,又,∴,則,,即:.∴的前100項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,通項(xiàng)公式的求法以及裂項(xiàng)相消法求和,考查分析解題能力和計(jì)算能力.19.一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定:在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次,如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和大于2n,則算過(guò)關(guān).問(wèn):⑴某人在這項(xiàng)游戲中最多能過(guò)幾關(guān)?⑵他連過(guò)前三關(guān)的概率是多少?參考答案:解:⑴設(shè)他能過(guò)n關(guān),則第n關(guān)擲n次,至多得6n點(diǎn),由6n>2n,知,n≤4.即最多能過(guò)4關(guān).⑵要求他第一關(guān)時(shí)擲1次的點(diǎn)數(shù)>2,第二關(guān)時(shí)擲2次的點(diǎn)數(shù)和>4,第三關(guān)時(shí)擲3次的點(diǎn)數(shù)和>8.第一關(guān)過(guò)關(guān)的概率==;第二關(guān)過(guò)關(guān)的基本事件有62種,不能過(guò)關(guān)的基本事件有為不等式x+y≤4的正整數(shù)解的個(gè)數(shù),有C個(gè)(亦可枚舉計(jì)數(shù):1+1,1+2,1+3,2+1,2+2,3+1)計(jì)6種,過(guò)關(guān)的概率=1-=;第三關(guān)的基本事件有63種,不能過(guò)關(guān)的基本事件為方程x+y+z≤8的正整數(shù)解的總數(shù),可連寫8個(gè)1,從8個(gè)空檔中選3個(gè)空檔的方法為C==56種,不能過(guò)關(guān)的概率==,能過(guò)關(guān)的概率=;∴連過(guò)三關(guān)的概率=′′=.20.某市為了引導(dǎo)居民合理用水,居民生活用水實(shí)行二級(jí)階梯式水價(jià)計(jì)量方法,具體如下;第一階梯,每戶居民每月用水量不超過(guò)12噸,價(jià)格為4元/噸;第二階梯,每戶居民用水量超過(guò)12噸,超過(guò)部分的價(jià)格為8元/噸,為了了解全是居民月用水量的分布情況,通過(guò)抽樣獲得了100戶居民的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照(全市居民月用水量均不超過(guò)16噸)分成8組,制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求頻率分布直方圖中字母a的值,并求該組的頻率;(Ⅱ)通過(guò)頻率分布直方圖,估計(jì)該市居民每月的用水量的中位數(shù)m的值(保留兩位小數(shù));(Ⅲ)如圖2是該市居民張某2016年1~6月份的月用水費(fèi)y(元)與月份x的散點(diǎn)圖,其擬合的線性回歸方程是若張某2016年1~7月份水費(fèi)總支出為312元,試估計(jì)張某7月份的用水噸數(shù).參考答案:(Ⅰ)第四組的頻率為0.2(Ⅱ)8.15(Ⅲ)15試題分析:(Ⅰ)根據(jù)小長(zhǎng)方形的面積之和為1,即可求出a;(Ⅱ)由頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù),規(guī)律是:中位數(shù),出現(xiàn)在概率是0.5的地方;(Ⅲ)根據(jù)回歸方程即可求出答案.詳解:(Ⅰ),第四組的頻率為:(Ⅱ)因所以(Ⅲ)且所以張某7月份的用水費(fèi)為設(shè)張某7月份的用水噸數(shù)噸,則張某7月份的用水噸數(shù)15噸.點(diǎn)睛:這個(gè)題目考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,方圖中求中位數(shù)的方法,即出現(xiàn)在概率是0.5的地方,以及回歸方程的求法,在頻率分布直方圖中求平均值,需要將每個(gè)長(zhǎng)方條的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)的概率值相加即可.21.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,取相同的長(zhǎng)度單位,若曲線C1的極坐標(biāo)方程為,曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè)P是曲線C1上任一點(diǎn),Q是曲線C2上任一點(diǎn).(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)已知直線,點(diǎn)P在曲線C2上,求點(diǎn)P到l的距離的最大值.參考答案:(1)的直角坐標(biāo)方程為,的普通方程為由,得或又,所以與的交點(diǎn)極坐標(biāo)為與(2)圓的圓心到直線的距離為,圓半徑為2所以點(diǎn)到的距離的最大值為.
22.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=0,a1+a2+a3+…+an+n=an+1,n∈N*.(Ⅰ)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,b1=1,點(diǎn)(Tn+1,Tn)在直線上,若不等式對(duì)于n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值.參考答案:【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;等比關(guān)系的確定.【分析】(Ⅰ)利用遞推式可得:an+1=2an+1,變形利用等比數(shù)列的定義即可證明;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由點(diǎn)(Tn+1,Tn)在直線上,可得,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:,利用遞推式可得bn=n.利用不等式,可得Rn=,利用“錯(cuò)位相減法”可得:.對(duì)n分類討論即可得出.【解答】解:(Ⅰ)由a1+a2+a3+…+an+n=an+1,得a1+a2+a3+…+an﹣1+n﹣1=an(n≥2),兩式相減得an+1=2an+1,變
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