隨機(jī)過(guò)程 第三章

3泊松過(guò)程內(nèi)容提要泊松過(guò)程的定義和例子泊松過(guò)程的基本性質(zhì)非齊次泊松過(guò)程復(fù)合泊松過(guò)程引言[(0-1)分布]

隨機(jī)變量

X只可能有兩個(gè)值:0和1，其概率分布為：[二項(xiàng)分布]隨機(jī)變量

X為n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B

(n,p)[泊松定理]在二項(xiàng)分布中，設(shè)

np=

是常數(shù)，則有泊松分布[泊松分布]隨機(jī)變量X

的所有可能取值為0,1,2,…

，而取各個(gè)值的概率為則隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為的泊松分布，簡(jiǎn)記為()。泊松簡(jiǎn)介

泊松（Poisson)，法國(guó)數(shù)學(xué)家。1781年6月21日生于法國(guó)盧瓦雷省的皮蒂維耶，1840年4月25日卒于法國(guó)索鎮(zhèn)。

1798年入巴黎綜合工科學(xué)校深造。在畢業(yè)時(shí)，因優(yōu)秀的研究論文而被指定為講師。1806年接替J.-B.-J.傅里葉任該校教授。1809年任巴黎理學(xué)院力學(xué)教授。1812年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士。1816年應(yīng)聘為索邦大學(xué)教授.1826年被選為彼得堡科學(xué)院名譽(yù)院士.1837年被封為男爵.

“我建立了描述隨機(jī)現(xiàn)象的一種概率分布.”──泊松泊松簡(jiǎn)介泊松的科學(xué)生涯開(kāi)始于研究微分方程及其在擺的運(yùn)動(dòng)和聲學(xué)理論中的應(yīng)用。他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問(wèn)題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)。他對(duì)積分理論、行星運(yùn)動(dòng)理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢(shì)理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)。泊松是19世紀(jì)概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域里的卓越人物.他改進(jìn)了概率論的運(yùn)用方法，特別是用于統(tǒng)計(jì)方面的方法，建立了描述隨機(jī)現(xiàn)象的一種概率分布──泊松分布.他推廣了“大數(shù)定律”，并導(dǎo)出了在概率論與數(shù)理方程中有重要應(yīng)用的泊松積分.他是從法庭審判問(wèn)題出發(fā)研究概率論的，1837年出版了他的專著《關(guān)于刑事案件和民事案件審判概率的研究》.

泊松過(guò)程簡(jiǎn)介泊松過(guò)程是一類較為簡(jiǎn)單的時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的隨機(jī)過(guò)程。泊松過(guò)程在物理學(xué)、地質(zhì)學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、天文學(xué)、服務(wù)系統(tǒng)和可靠性理論等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，是一類非常重要的隨機(jī)過(guò)稱。許多偶然的現(xiàn)象都可以用Poisson分布來(lái)描述。大量自然界的物理過(guò)程可以用Poisson過(guò)程來(lái)刻畫(huà)。它是隨機(jī)建模的重要基石，也是學(xué)習(xí)隨機(jī)過(guò)程理論的重要直觀背景。泊松過(guò)程簡(jiǎn)介最著名的例子：蓋格計(jì)數(shù)器上的粒子流、二次大戰(zhàn)時(shí)倫敦空襲的彈著點(diǎn)、電話總機(jī)所接到的傳呼次數(shù)、交通流中的事故數(shù)、地震記錄、細(xì)胞中染色體的交換等。上述過(guò)程有如下兩個(gè)性質(zhì)：一是在時(shí)間或空間上的均勻性二是未來(lái)的變化與過(guò)去的變化沒(méi)有關(guān)系3.1泊松過(guò)程的定義和例子[定義1]稱{N(t),t0}為計(jì)數(shù)過(guò)程，若N(t)表示到時(shí)間t

為止已發(fā)生的“事件A”的總數(shù)，且N(t)滿足下列條件：

(1)N(t)0，且N(0)=0;

(2)N(t)取非負(fù)整數(shù)值;

(3)若s<t，N(s)N(t);

(4)當(dāng)s<t時(shí)，N(t)N(s)等于區(qū)間(s,t]中“事件A”發(fā)生的次數(shù)。泊松過(guò)程[定義2]稱計(jì)數(shù)過(guò)程{X(t),t0}為具有參數(shù)

的泊松過(guò)程，若它滿足下列條件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是獨(dú)立增量過(guò)程;

(3)（平穩(wěn)性）在任一長(zhǎng)度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)

>0的泊松分布，即對(duì)任意s,t0，有定義分析要判斷一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程是泊松過(guò)程，必須證明它滿足條件(1)(2)(3)。條件(1)說(shuō)明事件A的計(jì)數(shù)是從t=0時(shí)開(kāi)始的。條件(2)通常可以從我們對(duì)過(guò)程的了解中去檢驗(yàn)。條件(3)的檢驗(yàn)是非常困難的。為此，我們給出了泊松過(guò)程的另一個(gè)定義。泊松過(guò)程的另一個(gè)定義[定義2]稱計(jì)數(shù)過(guò)程{X(t),t0}為具有參數(shù)

>0的泊松過(guò)程，若它滿足下列條件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程;

(3)X(t)滿足下列兩式：泊松過(guò)程的另一個(gè)定義注解：定義中的條件(3)說(shuō)明在充分小的時(shí)間間隔內(nèi)，最多有一個(gè)事件發(fā)生，而不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的事件同時(shí)發(fā)生。這種現(xiàn)象假設(shè)對(duì)許多物理現(xiàn)象教容易得到滿足。泊松過(guò)程的幾個(gè)例子考慮某一電話交換臺(tái)在某段時(shí)間接到的呼叫。令X(t)表示電話交換臺(tái)在[0,t]時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，則{X(t),t0}是一個(gè)泊松過(guò)程。泊松過(guò)程的幾個(gè)例子考慮來(lái)到某火車站售票窗口購(gòu)買車票的旅客。若記X(t)為時(shí)間[0,t]內(nèi)到達(dá)售票窗口的旅客數(shù)，則{X(t),t0}是一個(gè)泊松過(guò)程。泊松過(guò)程的幾個(gè)例子考慮機(jī)器在(t,t+h]內(nèi)發(fā)生故障這一事件。若機(jī)器發(fā)生故障，立即修理后繼續(xù)工作，則在(t,t+h]內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障而停止工作的事件數(shù)構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)過(guò)程，它可以用泊松過(guò)程來(lái)描述。定理定理：Poisson過(guò)程兩個(gè)定義等價(jià)。證明略[見(jiàn)課本]。本節(jié)注解：泊松過(guò)程的樣本函數(shù)是一條階梯曲線。若用時(shí)刻ti表示第i個(gè)事件發(fā)生的時(shí)刻，那么在時(shí)刻ti階梯曲線上跳一個(gè)單位；而在任何一個(gè)有限區(qū)間在[0,t)內(nèi)這種跳躍的次數(shù)是有限的。3.2泊松過(guò)程的基本性質(zhì)泊松分布:(1)泊松過(guò)程的數(shù)字特征均值函數(shù)方差函數(shù)相關(guān)函數(shù)(1)泊松過(guò)程的數(shù)字特征協(xié)方差函數(shù)(2)時(shí)間間隔與等待時(shí)間設(shè)

{X(t),t0}是泊松過(guò)程，令X(t)表示t時(shí)刻事件A發(fā)生的次數(shù)，T1T2T3Tn0W1W2W3Wn-1WntWn

——第n次事件A發(fā)生的時(shí)刻，或稱等待時(shí)間，或者到達(dá)時(shí)間Tn

——從第n-1次事件A發(fā)生到第n次事件A發(fā)生的時(shí)間間隔，或稱第n個(gè)時(shí)間間隔時(shí)間間隔TnTn的分布函數(shù)：[定理]設(shè)

{X(t),t0}是具有參數(shù)的泊松過(guò)程，{Tn,n1}是對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔序列，則隨機(jī)變量Tn(n=1,2,…)是獨(dú)立同分布的均值為1/的指數(shù)分布。Tn的概率密度函數(shù)：Tn的數(shù)字特征：Tn的特征函數(shù)：時(shí)間間隔Tn證明：首先注意到事件{T1>t}發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)泊松過(guò)程在區(qū)間[0,t]內(nèi)沒(méi)有事件發(fā)生，因而即所以T1服從均值為1/的指數(shù)分布。利用泊松過(guò)程的獨(dú)立、平穩(wěn)增量性質(zhì)，有時(shí)間間隔Tn故T2服從均值為1/的指數(shù)分布。時(shí)間間隔Tn所以對(duì)任一Tn（n1），其分布是均值為1/的指數(shù)分布。對(duì)于任意n1和t,s1,s2,…sn-1≥0,有等待時(shí)間（到達(dá)時(shí)間）Wn[定理]設(shè)

{X(t),t0}是具有參數(shù)的泊松過(guò)程，{Wn,n1}是對(duì)應(yīng)的等待時(shí)間序列，則隨機(jī)變量Wn服從參數(shù)為n與的分布（又稱為愛(ài)爾蘭分布），其概率密度為等待時(shí)間（到達(dá)時(shí)間）Wn[證明]：第n個(gè)事件在時(shí)刻t或者之前發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)間t已發(fā)生的事件數(shù)目至少是n，即對(duì)上式求導(dǎo)，得Wn的概率密度[例1]已知儀器在[0,t]內(nèi)發(fā)生振動(dòng)的次數(shù)X(t)是具有參數(shù)的泊松過(guò)程。若儀器振動(dòng)k(k1)次就會(huì)出現(xiàn)故障，求儀器在時(shí)刻t0正常工作的概率。[解]故儀器在時(shí)刻t0正常工作的概率為:儀器發(fā)生第k振動(dòng)的時(shí)刻Wk就是故障時(shí)刻T

，則T的概率分布為分布:(3)到達(dá)時(shí)間的條件分布假設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生一次，確定這一事件到達(dá)時(shí)間W1的分布分布函數(shù)：分布密度：——均勻分布到達(dá)時(shí)間的條件分布[定理]設(shè)

{X(t),t0}是泊松過(guò)程，已知在[0,t]內(nèi)事件A發(fā)生n次，則這n次到達(dá)時(shí)間W1<W2<…<Wn與相應(yīng)于n個(gè)[0,t]上均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量有相同的分布，參數(shù)為n和s/t的二項(xiàng)分布[例2]

設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，且0<s<t，對(duì)于0<k<n，求在[0,s]內(nèi)事件A發(fā)生k次的概率。[例3]設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，求第k次(k<n)事件A發(fā)生的時(shí)間Wk的條件概率密度函數(shù)。Beta分布[例4]

設(shè){X1(t),t0}和{X2(t),t0}是兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過(guò)程，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)平均出現(xiàn)的事件數(shù)分別為1和2。記Wk(1)為過(guò)程X1(t)的第k次事件到達(dá)時(shí)間，W1(2)為過(guò)程X2(t)的第1次事件到達(dá)時(shí)間，求P{Wk(1)<W1(2)}，即第一個(gè)泊松過(guò)程的第k次事件發(fā)生早于第二個(gè)泊松過(guò)程的第1次事件發(fā)生

的概率。3.3非齊次泊松過(guò)程[引言]當(dāng)Poisson過(guò)程的強(qiáng)度不再是常數(shù)，而與時(shí)間t有關(guān)時(shí)，Poisson過(guò)程就被推廣為非齊次泊松過(guò)程。一般來(lái)說(shuō)，非齊次泊松過(guò)程不具有平穩(wěn)獨(dú)立增量。在實(shí)際中，非齊次泊松過(guò)程應(yīng)用非常廣泛。例如：(1)研究設(shè)備的故障率時(shí)，由于設(shè)備使用年限的變化，出故障的可能性會(huì)隨之變化;放射性物質(zhì)的衰變速度，會(huì)隨各種外部條件的變化而隨之變化;昆蟲(chóng)產(chǎn)卵的平均數(shù)量隨年齡和季節(jié)而變化；非齊次泊松過(guò)程[定義]稱計(jì)數(shù)過(guò)程{X(t),t0}為具有跳躍強(qiáng)度函數(shù)

(t)的非齊次泊松過(guò)程，若它滿足下列條件：

(1)X(0)=0;

(2)X(t)是獨(dú)立增量過(guò)程;

(3)非齊次泊松過(guò)程的均值和方差函數(shù)為:非齊次泊松過(guò)程的分布[定理]設(shè){X(t),t0}為具有均值函數(shù)

的非齊次泊松過(guò)程，則有或例6設(shè){X(t),t0}是具有跳躍強(qiáng)度

的非齊次泊松過(guò)程。求E[X(t)]和D[X(t)]。[例7]

設(shè)某路公共汽車從早上5時(shí)到晚上9時(shí)有車發(fā)出。乘客流量如下：5時(shí)平均乘客為200人/時(shí)；5時(shí)至8時(shí)乘客線性增加，8時(shí)達(dá)到1400人/時(shí)；8時(shí)至18時(shí)保持平均到達(dá)率不變；18時(shí)至21時(shí)到達(dá)率線性下降，到21時(shí)為200人/時(shí)。假定乘客數(shù)在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)是相互獨(dú)立的。求12時(shí)至14時(shí)有2000人來(lái)站乘車的概率，并求出這兩小時(shí)內(nèi)乘客人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。3.4復(fù)合泊松過(guò)程[定義]設(shè){N(t),t0}是強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，{Yk

,k=1,2,…}是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與{N(t),t0}獨(dú)立，令

則稱{X(t),t0}為復(fù)合泊松過(guò)程。3.4復(fù)合泊松過(guò)程[注解]（1）復(fù)合泊松過(guò)程不一定是計(jì)數(shù)過(guò)程，但當(dāng)Yi=C,i=1,2,…C為常數(shù)時(shí)，可化為泊松過(guò)程。（2）泊松過(guò)程、非齊次泊松過(guò)程、復(fù)合泊松過(guò)程的關(guān)系。泊松過(guò)程非齊次泊松過(guò)程復(fù)合泊松過(guò)程復(fù)合泊松過(guò)程的例子（1）

超市營(yíng)業(yè)額問(wèn)題復(fù)合泊松過(guò)程的例子(1)設(shè)N(t)是時(shí)間段(0,t]內(nèi)來(lái)到的顧客人數(shù)。{N(t),t≥0}是泊松過(guò)程。若Yk是第k個(gè)顧客在商店所花的錢數(shù)。則{Yk,k=1,2,…}是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且與{N(t),t≥0}獨(dú)立。記X(t)為該商店(0,t]時(shí)間內(nèi)的營(yíng)業(yè)額，則是一個(gè)復(fù)合隨機(jī)過(guò)程。復(fù)合泊松過(guò)程的例子(2)保險(xiǎn)索賠問(wèn)題復(fù)合泊松過(guò)程的例子(2)保險(xiǎn)公司接到的索賠次數(shù)服從一個(gè)泊松過(guò)程{N(t),t≥0}，每次要求賠付的金額Yi都是相互獨(dú)立，且有共同分布

。每次的索賠額與它發(fā)生的時(shí)刻無(wú)關(guān)，則(0,t]時(shí)間內(nèi)保險(xiǎn)公司需要賠付的總金額{X(t)}就是