山西省忻州市趙家營(yíng)學(xué)校2023年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

山西省忻州市趙家營(yíng)學(xué)校2023年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得360和504的最大公約數(shù)是（）A．72 B．36 C．24 D．2520參考答案：A【考點(diǎn)】用輾轉(zhuǎn)相除計(jì)算最大公約數(shù)．【分析】用較大的數(shù)字除以較小的數(shù)字，得到商和余數(shù)，然后再用上一式中的除數(shù)和得到的余數(shù)中較大的除以較小的，以此類(lèi)推，當(dāng)整除時(shí)，就得到要求的最大公約數(shù)．【解答】解：∵504÷360=1…144360÷144=2…72144÷72=2∴360和504的最大公約數(shù)是72故選A．2.對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．該函數(shù)的值域是

B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取最大值1

D．該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)參考答案：B由圖象知，函數(shù)值域?yàn)?，A錯(cuò)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值，C錯(cuò)；最小正周期為，D錯(cuò).3.設(shè)，直線(xiàn)x=﹣1，x=1，y=0，y=e圍成的區(qū)域?yàn)镸，曲線(xiàn)y=f（x）與直線(xiàn)x=1，y=0圍成的區(qū)域?yàn)镹，在區(qū)域M內(nèi)任取一點(diǎn)P，則P點(diǎn)在區(qū)域N的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出曲線(xiàn)y=f（x）與直線(xiàn)x=1，y=0圍成的區(qū)域?yàn)镹（陰影部分），以及直線(xiàn)x=﹣1，x=1，y=0，y=e圍成的區(qū)域?yàn)镸，計(jì)算陰影面積與正方形面積比即可．【解答】解：如圖，SN=×1×1+exdx=+ex|=+e﹣1=e﹣，SM=2e，∴P點(diǎn)在區(qū)域N的概率為==﹣，故選：A4.已知的圖象與的圖象的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為，要得到的圖象，只需把的圖象A．向右平移個(gè)單位B．向左平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位參考答案：A5.下圖給出4個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)的大致對(duì)應(yīng)是（）A．①，②y=x2，③，④y=x﹣1B．①y=x3，②y=x2，③，④y=x﹣1C．①y=x2，②y=x3，③，④y=x﹣1D．①，②，③y=x2，④y=x﹣1參考答案：B略6.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a=，A=，則b+c的最大值為（）A．4 B．3 C．2 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理可得：===2，于是b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin=2sin，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：===2，∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin=2sinB+2cosB+=3sinB+cosB=2sin≤2，當(dāng)且僅當(dāng)B=時(shí)取等號(hào)．∴b+c的最大值為2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7.定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)，，，中，偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是(

)A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：8.過(guò)橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-c,）,或（-c,-），因?yàn)?，那么，這樣根據(jù)a,b,c的關(guān)系式化簡(jiǎn)得到結(jié)論為，選B

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S是（）A．10 B．15 C．20 D．35參考答案：D【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的p，s，i的值，當(dāng)i=6時(shí)，不滿(mǎn)足條件i≤5，退出循環(huán)，輸出s的值為35．【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有i=1，p=0，s=0滿(mǎn)足條件i≤5，p=1，s=1，i=2滿(mǎn)足條件i≤5，p=3，s=4，i=3滿(mǎn)足條件i≤5，p=6，s=10，i=4滿(mǎn)足條件i≤5，p=10，s=20，i=5滿(mǎn)足條件i≤5，p=15，s=35，i=6不滿(mǎn)足條件i≤5，退出循環(huán)，輸出s的值為35．故選：D．10.已知函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且有兩個(gè)零點(diǎn)和(),則的最小值為A．

B．

C．

D．以上都不對(duì)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若偶函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意都有，且當(dāng)時(shí)，，則

.參考答案：-1

略12.下列命題的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．對(duì)于命題p：?x∈R，x2+x+1＞0，則?p：?x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件C．若命題p∧q為假命題，則p，q都是假命題D．命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】利用命題的否定判斷A的正誤；充要條件判斷B的正誤；復(fù)合命題的真假判斷C的正誤；四種命題的逆否關(guān)系判斷D的正誤；【解答】解：對(duì)于A，命題p：?x∈R，x2+x+1＞0，則?p：?x0∈R，x02+x0+1≤0，滿(mǎn)足命題的否定關(guān)系，正確；對(duì)于B，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件，滿(mǎn)足“x=1”?“x2﹣3x+2=0”，反之，不成立，所以B正確；對(duì)于C，若命題p∧q為假命題，則p，q至少一個(gè)是假命題，所以C不正確；對(duì)于D，命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”，滿(mǎn)足逆否命題的形式，正確．故選：C．13.投擲兩顆相同的正方體骰子（骰子質(zhì)地均勻，且各個(gè)面上依次標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6）一次，則兩顆骰子向上點(diǎn)數(shù)之積等于12的概率為_(kāi)___________.參考答案：略14.已知點(diǎn)，當(dāng)兩點(diǎn)間距離取得最小值時(shí)，x的值為_(kāi)________.

參考答案：略15.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若，，則m+n的取值范圍為．參考答案：[2，+∞）【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】由三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，以任意點(diǎn)為起點(diǎn)，這三點(diǎn)為終點(diǎn)的三向量，其中一向量可用另外兩向量線(xiàn)性表示，其系數(shù)和為1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三點(diǎn)共線(xiàn)，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號(hào)，故m+n的取值范圍為[2，+∞），故答案為：[2，+∞）16.已知為等差數(shù)列，，為其前n項(xiàng)和，則使達(dá)到最大值的n等于___________.參考答案：617.已知F1，F(xiàn)2是橢圓=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A，B分別是該橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，則的最小值為．參考答案：﹣【分析】求得橢圓的焦點(diǎn)和A，B的坐標(biāo)，以及直線(xiàn)AB的方程，設(shè)出P（m，n），求得的坐標(biāo)表示，由m2+n2的幾何意義：表示原點(diǎn)與AB上的點(diǎn)的距離的平方，運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得到所求最小值．【解答】解∵橢圓=1，∴A（﹣2，0），B（0，1），F(xiàn)1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），可得AB的方程為x﹣2y+2=0，設(shè)P（m，n），則=（﹣﹣m，﹣n）（﹣m，﹣n）=m2+n2﹣3，由m2+n2的幾何意義：表示原點(diǎn)與AB上的點(diǎn)的距離的平方．可得原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離取得最小，且為=，即有m2+n2﹣3的最小值為﹣3=﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程和性質(zhì)，考查向量的坐標(biāo)表示及最值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意m2+n2的幾何意義的合理運(yùn)用，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知，，，是常數(shù)．⑴求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)．⑵是否存在常數(shù)，使也是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)．若存在，求的值；若不存在，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．⑶設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性．參考答案：⑴，，……1分，所以直線(xiàn)的方程為。⑵設(shè)在處的切線(xiàn)為，則有……4分，解得，即，當(dāng)時(shí)，是曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)．⑶．當(dāng)，時(shí)，……7分，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，……9分，在單調(diào)遞增，在單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，解得，，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，解得，（舍去）……13分，在單調(diào)遞增，在單調(diào)減少．19.中學(xué)高三文科班學(xué)生參加了數(shù)學(xué)與地理水平測(cè)試，學(xué)校從測(cè)試合格的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚撼煽?jī)分為優(yōu)秀、良好、及格三個(gè)等級(jí)，橫向、縱向分別表示地理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)，例如：表中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榱己玫墓灿?0+18+4=42人.（1）若在該樣本中，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率為30%，求a，b的值；（2）若樣本中，求在地理成績(jī)及格的學(xué)生中，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.

參考答案：（1），；（2）.

（1）由，得，

3分∵∴，∴，；

6分（2）由題意知，且，∴滿(mǎn)足條件的有,共14組.且每組出現(xiàn)的可能性相同.

9分其中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的有：共6組.

11分∴數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率為.

12分20.（14分）已知函數(shù)f（x）=e﹣x（x2+ax）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)斜率為2．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）設(shè)g（x）=﹣x（x﹣t﹣）（t∈R），若g（x）≥f（x）對(duì)x∈[0，1]恒成立，求t的取值范圍；（Ⅲ）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，an+1=（1+）an，求證：當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)f（）+f（）+L+f（）＜n?（）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828）．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題；壓軸題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=﹣e﹣x（x2+ax）+e﹣x（2x+a）=﹣e﹣x（x2+ax﹣2x﹣a）；從而可得f′（0）=﹣（﹣a）=2，從而解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣x（x2+2x），從而化簡(jiǎn)g（x）≥f（x）得﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；從而分x=0與x∈（0，1]討論，再化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題求解即可．（Ⅲ）由an+1=（1+）an，及a1=1可得an=n；再由當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0知f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，且f（x）≥f（0）=0；故f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），從而化簡(jiǎn)[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]＜f（x）dx；再由f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x得f（x）dx≤g（x）dx=+，從而證明．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e﹣x（x2+ax），∴f′（x）=﹣e﹣x（x2+ax）+e﹣x（2x+a）=﹣e﹣x（x2+ax﹣2x﹣a）；則由題意得f′（0）=﹣（﹣a）=2，故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣x（x2+2x），由g（x）≥f（x）得，﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣x（x2+2x），x∈[0，1]；當(dāng)x=0時(shí)，該不等式成立；當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，不等式﹣x+t+≥e﹣x（x+2）在（0，1]上恒成立，即t≥[e﹣x（x+2）+x﹣]max．設(shè)h（x）=e﹣x（x+2）+x﹣，x∈（0，1]，h′（x）=﹣e﹣x（x+1）+1，h″（x）=x?e﹣x＞0，∴h′（x）在（0，1]單調(diào)遞增，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）在（0，1]單調(diào)遞增，∴h（x）max=h（1）=1，∴t≥1．（Ⅲ）證明：∵an+1=（1+）an，∴=，又a1=1，∴n≥2時(shí)，an=a1??…?=1??…?=n；對(duì)n=1也成立，∴an=n．∵當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0，∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，且f（x）≥f（0）=0．又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示長(zhǎng)為f（），寬為的小矩形的面積，∴f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），∴[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]＜f（x）dx．又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x，∴f（x）dx≤g（x）dx=+，∴[f（）+f（）+…+f（）]＜+，∴f（）+f（）+…+f（）＜n（+）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力．21.數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，前項(xiàng)和為,且對(duì)任意，都有.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.參考答案：證明：（I）在已知式中，當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?，所?

所以，解得

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，

①

②

當(dāng)時(shí)，

①

②

①－②得，

因?yàn)?/p>

所以，

即

因?yàn)檫m合上式

所以(n∈N+)

（Ⅲ）由（I）知③

當(dāng)時(shí)，

④

③－④得－

因?yàn)?/p>

,所以所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，可得略22.（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范圍；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求證：．參考答案：【考點(diǎn)】不等式的證明．【專(zhuān)題】選作題；轉(zhuǎn)化思想；演繹法；不等式．【分析】（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2