山西省忻州市青年報希望中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

山西省忻州市青年報希望中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.個人排成一行,其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.已知直線與圓交于,兩點(diǎn)，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的值為（ ）A.2 B. C.2或－2 D.或參考答案：C詳解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，又圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑R=2，∴AB=.∴圓心到直線y=﹣x+a的距離d=AB==，∴|a|=2，∴a=±2．故答案為：C．

3.通過隨機(jī)詢問100名性別不同的高二學(xué)生是否愛吃零食，得到如下的列聯(lián)表：

男女總計(jì)愛好104050不愛好203050總計(jì)3070100

P(K2≥k)0.100.050.025k2.7063.8415.024

其中則下列結(jié)論正確的是（

）A．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“是否愛吃零食與性別無關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，認(rèn)為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，認(rèn)為“是否愛吃零食與性別無關(guān)”參考答案：A4.已知一個平面，那么對于空間內(nèi)的任意一條直線，在平面內(nèi)一定存在一條直線，使得直線與直線（

)A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直參考答案：D【知識點(diǎn)】點(diǎn)線面的位置關(guān)系【試題解析】因?yàn)楫?dāng)直線垂直于平面時，直線與平面內(nèi)任一條直線垂直，直線不垂直于平面時，作在平面內(nèi)的射影，在平面內(nèi)一定存在一條直線，使得直線的射影與直線垂直

所以，

故答案為：D5.命題：“若，則”的逆否命題是（

）A．若，則

B．若，則C．若，則

D．若，則參考答案：D略6.若|，且，則與的夾角是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：試題分析：根據(jù),有,得,所以,所以.考點(diǎn)：向量垂直,夾角.7.方程所表示的曲線是 (A)一個圓 (B)兩個圓 (C)半個圓 (D)兩個半圓參考答案：D8.在△ABC中，，則A等于（

）A．45° B．120° C．60° D．30°參考答案：C由等式可得：，代入關(guān)于角的余弦定理：．所以．故選C．9.一個機(jī)器人每一秒鐘前進(jìn)一步或后退一步，程序設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)的程序是讓機(jī)器人以先前進(jìn)3步，然后再后退2步的規(guī)律移動.如果將機(jī)器人放在數(shù)軸的原點(diǎn)，面向正的方向在數(shù)軸上移動(1步的距離為1個單位長度).令表示第n秒時機(jī)器人所在位置的坐標(biāo)，且記,則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D由題意可知，程序設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)的程序是讓機(jī)器人以先前進(jìn)步，然后再后退步的規(guī)律移動，所以機(jī)器人的移動方式具有以秒為周期的移動方式，且每秒前進(jìn)個單位，所以是正確的；由，，所以是正確的；由，，所以是不正確，故選D．

10.物體運(yùn)動方程為，則時瞬時速度為（

）A．2

B．4

C．6

D．8

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖(如下圖)．根據(jù)頻率分布直方圖推測這3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的學(xué)生數(shù)是

。參考答案：60012.（x﹣2）（x﹣1）5的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和等于．參考答案：0【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】二項(xiàng)式定理．【分析】令x=1，即可得到展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和．【解答】解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展開式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和等于0．故答案為：0．【點(diǎn)評】本題考查了利用賦值法求二項(xiàng)展開式系數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．13.已知平面α的一個法向量為，點(diǎn)A（2，6，3）在平面α內(nèi)，則點(diǎn)D（﹣1，6，2）到平面α的距離等于．參考答案：【考點(diǎn)】平面的法向量．【分析】點(diǎn)D（﹣1，6，2）到平面α的距離d=，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵平面α的一個法向量為，點(diǎn)A（2，6，3）在平面α內(nèi)，點(diǎn)D（﹣1，6，2），∴=（﹣3，0，﹣1），∴點(diǎn)D（﹣1，6，2）到平面α的距離d==．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．14.不等式的解集為

參考答案：15.如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為、，虛軸兩端點(diǎn)為、，兩焦點(diǎn)為、，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為、、、，則雙曲線的離心率e＝

▲

.參考答案：略16.與空間四邊形ABCD四個頂點(diǎn)距離相等的平面共有______個。參考答案：717.已知a＞0且a≠1，關(guān)于x的方程|ax﹣1|=5a﹣4有兩個相異實(shí)根，則a的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】先畫出a＞1和0＜a＜1時的兩種圖象，根據(jù)圖象可直接得出答案．【解答】解：據(jù)題意，函數(shù)y=|ax﹣1|（a＞0，a≠1）的圖象與直線y=5a﹣4有兩個不同的交點(diǎn)．當(dāng)a＞1時，0＜5a﹣4＜1，所以a∈（，1），舍去．當(dāng)0＜a＜1時由圖知，0＜5a﹣4＜1，所以a∈（，1），故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=0時，求f（x）在上的值域．（Ⅱ）對任意的b，函數(shù)g（x）=|f（x）|﹣的零點(diǎn)不超過4個，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=0時，求得f（x），求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得上的值域；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，則△=4a2﹣12，根據(jù)△的取值范圍，利用韋達(dá)定理及函數(shù)的單調(diào)性，即可求得a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=0時，f（x）=x3﹣2x2+3x，求導(dǎo)，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，3）時，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，由f（0）=f（0）=0，f（1）=，∴f（x）在上的值域?yàn)?；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，則△=4a2﹣12，①當(dāng)△≤0，即a2≤3時，f′（x）≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增，滿足題意，②當(dāng)△＞0，即a2＞3時，方程f′（x）=0有兩根，設(shè)兩根為x1，x2，且x1＜x2，則x1+x2=2a，x1x2=3，則f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，由題意可知丨f（x1）﹣f（x2）丨≤，∴丨﹣a（x12﹣x22）+3（x1﹣x2）丨≤，化簡得：（a2﹣3）≤，解得：3＜a2≤4，綜合①②，可得a2≤4，解得：﹣2≤a≤2．a(chǎn)的取值范圍[-2,2]．19.（本小題滿分13分）如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測量，已知，，于A處測得水深，于B處測得水深，于C處測得水深，求∠DEF的余弦值。

參考答案：作交BE于N，交CF于M．，………………3分

，………………6分．………………9分在中，由余弦定理，.

………………13分20.(本小題滿分13分)一個暗箱里放著6個黑球、4個白球．（每個球的大小和質(zhì)量均相同）（1）不放回地依次取出2個球，若第1次取出的是白球，求第2次取到黑球的概率；（2）有放回地依次取出2個球，求兩球顏色不同的概率；（3）有放回地依次取出3個球，求至少取到兩個白球的概率．參考答案：解：(1)

(2)

(3)

21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為E，過F1于x軸垂直的直線與橢圓C相交，其中一個交點(diǎn)為M（﹣，）．（I）求橢圓C的方程；（II）經(jīng)過點(diǎn)P（1，0）的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．（i）若直線AE，BE的斜率為k1，k2（k1≠0，k2≠0），證明：k1?k2為定值；（ii）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（I）由已知中橢圓通徑的端點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)造方程組，可得a，b的值，進(jìn)而可得橢圓C的方程；（II）經(jīng)過點(diǎn)P（1，0）的直線l可設(shè)為x=my+1，（i）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可得y1+y2=，y1y2=，由橢圓的右頂點(diǎn)為E（2，0），可得：k1?k2=?==，進(jìn)而得到答案；（ii）由題意得：△OAB面積S=×1×|y1﹣y2|，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得△OAB面積的最大值．【解答】解：（I）由已知中過F1于x軸垂直的直線與橢圓C相交，其中一個交點(diǎn)為M（﹣，）．可得：c=，=，a2﹣b2=c2，解得：a=2，b=1，∴橢圓C的方程為：；…3分（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）證明：（i）∵直線l過定點(diǎn)（1，0），設(shè)x=my+1，由得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，…5分∴y1+y2=，y1y2=，∵右頂點(diǎn)為E（2，0），∴k1?k2=?====﹣，∴k1?k2為定值；…8分（ii）由題意得：△OAB面積S=×1×|y1﹣y2|=?=，令t=，t≥，則S==≤=，故△OAB面積的最大值為…12分22.【題文】（本小題滿分9分）在一個特定時段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的10海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北40海里處有一個雷達(dá)觀測站A，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東30°且與點(diǎn)A相距100海里的位置B，經(jīng)過2小時又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東60°且與點(diǎn)A相距20海里的位置C.（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）;（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由.參考答案：（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系：設(shè)一個單位為10海里

則坐標(biāo)平面中AB=10，AC=2