大學物理 馬文蔚 課堂筆記28

P*O式中d=rsin稱為力F對轉(zhuǎn)軸Z的力臂.如圖剛體繞Oz軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體橫截面上點P且在此平面內(nèi),為由點O到力的作用點P的徑矢.力

對轉(zhuǎn)軸的力矩.

一、力矩§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物體為什么會轉(zhuǎn)動？一個力作用在物體上一定能使物體由靜止到轉(zhuǎn)動嗎？(1)力矩大小:力矩是矢量.力矩方向:右手法則---拇指伸直,四指由r彎向F,這時拇指的指向就力矩的方向.力矩的單位:N·m.當力矩沿Z軸正向時為正,反之為負./15要使一個剛體由靜止到轉(zhuǎn)動必須要有力矩的作用!OO'F1O§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量(1)討論(i)當作用力通過轉(zhuǎn)軸時,其力矩為零.如右圖.(ii)

若力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi),應(yīng)把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量.如右下圖.O其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零.因為F//不能使物體繞Z轉(zhuǎn)動.注意,式中是分力F與r的夾角,而不是力F與r的夾角.故對轉(zhuǎn)軸的力矩為(2)/152§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量(iv)剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消.O如右圖所示.由于剛體內(nèi)質(zhì)點間相互作用的內(nèi)力是作用力和反作用力,因此,剛體內(nèi)各質(zhì)元間的作用力對轉(zhuǎn)軸的合力矩為零.(3)(v)合力為零時,其合力矩不一定為零.如下圖.(iii)

合力矩等于各分力矩的矢量和/153

例1

有一大型水壩高110m、長1000m，水深100m水面與大壩表面垂直,如圖所示.求作用在大壩上的力,以及這個力對通過大壩基點Q且與x軸平行的力矩.解

(i)求作用在大壩上的作用力:

設(shè)水深h，壩長L.§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量yOhyxQyOx在壩面上取面積元作用在此面積元上的力為令大氣壓為，則面積元dA處的壓強為因此面積元上的受力為上式積分,可得整個大壩作受的作用力為/154對通過點Q的軸的力矩yQOhy§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量(ii)求作用在大壩上的力矩/155O二、轉(zhuǎn)動定律1.單個質(zhì)點m與轉(zhuǎn)軸剛性連接§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生變化的原因,使剛體產(chǎn)生角加速度.力是使物體運動狀態(tài)發(fā)生變化的原因,使物體產(chǎn)生加速度,且有F=ma那么力矩與角加速度之間有什么數(shù)量的關(guān)系呢?如圖質(zhì)點m繞轉(zhuǎn)軸Z作定軸轉(zhuǎn)動.轉(zhuǎn)動平面上的任意力F可分解為切向和法向的分力.可見,質(zhì)點繞定軸轉(zhuǎn)動時,角加速度與力矩成M正比,與mr2成反比.與a=F/m,相比較,可見,mr2反映了剛體轉(zhuǎn)動的慣性大小./15質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量:J=mr2稱為質(zhì)點繞Z軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量.r是質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離62.質(zhì)量連續(xù)分布的剛體質(zhì)量元受外力，內(nèi)力外力矩內(nèi)力矩O§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量在剛體內(nèi)任意取一質(zhì)元m.在切線方向應(yīng)用牛頓定律得上式兩邊乘以rj,得即(4)對剛體上所有質(zhì)元示和,則由(4)式得/15因為合內(nèi)力矩等于零.7剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比,

與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比.

(7)式稱為剛體做定軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動定律:定義轉(zhuǎn)動慣量O(5)§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量由(5)可見,在外力矩一定時,剛體角加速度與成反比,同外力一定時,物體加速度與質(zhì)量成反比類似.對分立質(zhì)點系(6)對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體(6)式代入(5)式,得到(7)轉(zhuǎn)動慣量的大小表示剛體轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生變化的難易程度.與之相對應(yīng)的是質(zhì)量表示物體運動狀態(tài)發(fā)生變化的難易程度.不同的剛體,轉(zhuǎn)動慣量不同,同一個剛體對不同的轉(zhuǎn)軸其轉(zhuǎn)動慣量也是不同的.轉(zhuǎn)動慣量J的物理意義：轉(zhuǎn)動慣性大小的量度./158三、轉(zhuǎn)動慣量的計算1.質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量2.質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量式中r是質(zhì)量元dm到轉(zhuǎn)軸的垂直距離.§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量O式中ri是質(zhì)點mi到轉(zhuǎn)軸的垂直距離.(8)(9)O(質(zhì)量線密度)

對質(zhì)量線分布的剛體：

對質(zhì)量面分布的剛體：(質(zhì)量面密度)

對質(zhì)量體分布的剛體：(質(zhì)量體密度)書上P110表4-2列舉了幾種常見剛體轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量.下面舉二例驗證之.轉(zhuǎn)動慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置(三要素).注意/159解

(i)

轉(zhuǎn)軸O1O1′通過中心,建立坐標系如右圖,

設(shè)棒的線密度為，例1

一質(zhì)量為m、長為的均勻細長棒，求:(i)通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量;(ii)通過棒端點并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.(ii)

轉(zhuǎn)軸O2O2′通過端點并垂直于棒,如右下圖§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量取一距離轉(zhuǎn)軸O1O1′為r處的質(zhì)量元dm,質(zhì)量元dm對轉(zhuǎn)軸OO′的轉(zhuǎn)動慣量為計算結(jié)果與書上P110表4-2的結(jié)果一致./15r繞中點轉(zhuǎn)動繞端點轉(zhuǎn)動10例2

一質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓盤,求通過圓盤中心并與圓盤垂直的OO′軸的轉(zhuǎn)動慣量.§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量在距離轉(zhuǎn)軸OO′為r處取一質(zhì)量元dm,質(zhì)量元dm對轉(zhuǎn)軸OO′的轉(zhuǎn)動慣量為計算結(jié)果與書上P110表4-2的結(jié)果一致./15R整個圓盤對轉(zhuǎn)軸OO′的轉(zhuǎn)動慣量為如何計算通過任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量?OR設(shè)圓盤的面密度為,則有解11§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量/15J1是繞通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量,J2是繞通過端點的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量,是兩個轉(zhuǎn)軸之間的距離.繞中點轉(zhuǎn)動繞端點轉(zhuǎn)動四、平行軸定理CO(10)如圖所示,質(zhì)量為m的剛體,如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為JC，則可以證明,對任一與該軸平行,相距為d的轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為PCR例如,對均勻圓盤,對通過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量為對通過圓盤邊緣并垂直圓盤的轉(zhuǎn)軸Ｐ的轉(zhuǎn)動慣量為通過平行軸定理,可以方便地計算通過任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量.12例2(P111)

質(zhì)量為mA的物體A靜止在光滑水平面上,和一質(zhì)量不計的繩索相連接,繩索跨過一半徑為R、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪C,并系在另一質(zhì)量為mB的物體B上.滑輪與繩索間沒有滑動,且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計.問：(1)兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？(2)物體B從靜止落下距離y時,其速率是多少？§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量ABCOO物體A、B作平動，滑輪作轉(zhuǎn)動.解(1)

當考慮滑輪質(zhì)量時,跨過滑輪兩端的繩索上張力是不相等的.對A、B、C分別列牛頓定律及轉(zhuǎn)動定律方程對系統(tǒng)作隔離受力分析,并建立坐標系如圖.對物體A對物體B對圓盤C轉(zhuǎn)動與平動的聯(lián)系/1513§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量ABCOO對物體A對物體B對圓盤C轉(zhuǎn)動與平動的聯(lián)系將上述四個方程聯(lián)立求解得，由此可見,如令mC=0,則可得即當不考慮圓盤質(zhì)量時,跨過圓盤兩端的繩索的張力是相等的./1514(2)

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動,下落的速率§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量ABCO由和得即/15力的作用使物體的運動狀態(tài)發(fā)生變化,產(chǎn)生加速度,即