鄭州大學(xué)周小平電磁場及電磁波3.1

第3章恒定磁場3．1恒定磁場的基本規(guī)律3．2恒定磁場的邊界條件3．3矢量磁位3．4標(biāo)量的磁位3．5電感3．6磁場的能量和力3．7恒定磁場的應(yīng)用3．1恒定磁場的基本規(guī)律3．1．1磁感應(yīng)強(qiáng)度B1．畢奧－薩伐爾定律畢奧－薩伐爾定律給出一個電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度一個線電流回路產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度場為同理，可以寫出體電流和面電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度場本節(jié)簡要地復(fù)習(xí)大學(xué)物理中已經(jīng)學(xué)過的恒定磁場的基本規(guī)律。源到場點(diǎn)的方向2．磁感應(yīng)線方程可以仿照電力線方程寫出磁感應(yīng)線方程，在直角坐標(biāo)系中為圓柱坐標(biāo)系中的磁感應(yīng)線方程為球坐標(biāo)中的磁感應(yīng)線方程為3．1．2恒定磁場的基本方程其中是閉合回路l內(nèi)包圍的所有電流（包括傳導(dǎo)電流和磁化電流）。有電？介質(zhì)時，恒定磁場的基本方程可以寫為恒定磁場的基本方程也是包括高斯定理和環(huán)路定理其中是閉合回路l內(nèi)包圍的所有傳導(dǎo)電流。下面來證明（3.10）式。為了簡化，只討論無界真空中的磁場。在直流回路L的磁場中任取一閉合曲面S，穿過S面的磁通量上式的推導(dǎo)中利用了（1.101）式，利用矢量恒等式（見附錄3）可得因?yàn)?，所以由高斯定理可以寫出?.12）式的微分形式為：圖3.1中的P點(diǎn)（場點(diǎn)）是積分路徑L上的一個點(diǎn)，電流回路C所包圍的表面對場點(diǎn)P構(gòu)成的立體角為Ω。P點(diǎn)沿回路L位移dl時，立體角改變dΩ，這同保持P點(diǎn)不動，而回路C位移－dl時立體角的改變是完全一樣的。下面我們來證明（3.11）式，在直流閉合回路C的磁場中任取一個閉合回路L，如圖3.1所示，由畢奧－薩伐爾定律可以寫出圖3.1證明安培環(huán)路定理示意圖即圖中S與S’之間的環(huán)形表面面元為，是圖中陰影部分平行四邊形的面積，整個環(huán)形的面積為dS對P點(diǎn)的立體角為不變但立體角發(fā)生了變化。表面的增量為圖3-10環(huán)路定律從圖3.1中可以看出，如果回路C位移－dl，則回路包圍的表面由S變?yōu)镾’，面積

S、S'、dS構(gòu)成的閉合曲面對P點(diǎn)的立體角為零，即－Ω1＋Ω2＋dΩ＝0，所以立體角的變化為這就是P點(diǎn)位移dl時立體角的改變量。P點(diǎn)沿著回路L移動一周時，立體角的變化為面對O點(diǎn)的立體角是Ω2，與Ω1等量異號，所以整個閉合曲面對O點(diǎn)所張的立體角圖3.1證明安培環(huán)路定理示意圖回顧：如果O點(diǎn)位于閉合曲面之外，如圖2.3（b）所示。從O點(diǎn)向閉合曲面作切線，所有的切點(diǎn)構(gòu)成的曲線把閉合曲面分成兩部分：S1面和S2面，S1面對O點(diǎn)的立體角是Ω1，是負(fù)值；S2張角最大比較（3.14）式和（3.15）式可得環(huán)積分的結(jié)果取決于ΔΩ，一般分為兩種情況：⑴積分回路L不與電流回路C套鏈，如圖3.1所示。可以看出，當(dāng)從某點(diǎn)開始沿閉合回路L繞行一周并回到起始點(diǎn)時，立體角又回復(fù)到原來的值，即ΔΩ＝0，由（3.16）式⑵若積分回路L與電流回路C相套鏈，即L穿過C所包圍的面S，如圖3.2所示。如果取積分回路的起點(diǎn)為S面上側(cè)的A點(diǎn)，終點(diǎn)為在S面下側(cè)的B點(diǎn)。由于面元對它上表面上的點(diǎn)所張的立體角為（一2π），對下表面上的點(diǎn)所張的立體角為（＋2π），所以S對A點(diǎn)的立體角為（一2π），對B點(diǎn)的立體角為（＋2π），ΔΩ＝2π－（－2π）＝4π，由（3.16）式

圖3..2積分回路L與電流回路C相套鏈SΩ1是負(fù)值Ω2是正值O點(diǎn)位于閉合曲面外圖3.3積分回路L包圍的電流因?yàn)長與C相套鏈，I也就是穿過回路L所包圍平面S的電流，而且當(dāng)電流與回路L成右螺旋關(guān)系時I為正，反之I為負(fù)。綜合上述兩種情況，可以用一個方程表示為其中，是L所包圍的電流的代數(shù)和，在圖3.3中積分與I3無關(guān)。必須說明的是:環(huán)積分與I3無關(guān)，而被積函數(shù)H（r）卻是三個電流回路產(chǎn)生的總磁場強(qiáng)度。由斯托克斯定理，（3.18）式的微分形式可以寫為（3.13）式和（3.20）式給定了恒定磁場的散度和旋度，根據(jù)亥姆霍茲定理，恒定磁場的性質(zhì)是完全確定的。3．1．3磁介質(zhì)的磁化

常用公式其中M是磁化強(qiáng)度矢量。面磁化電流密度為體磁化電流密度為（3.23）、（3.24）適用于各向同性的線性介質(zhì)，其中是介質(zhì)的磁化率。其中μ是介質(zhì)的磁導(dǎo)率，是真空磁導(dǎo)率，是介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率。

根據(jù)r和m的取值可以把磁介質(zhì)分為順磁質(zhì)、抗磁質(zhì)（順磁質(zhì)和抗磁質(zhì)統(tǒng)稱為非鐵磁質(zhì)、非磁性物質(zhì)）和鐵磁質(zhì)。順磁質(zhì)的m>0（例如鋁、錳、氧等），抗磁質(zhì)的m<0（例如銅、銀、氫等），真空中的m=0。順磁質(zhì)和抗磁質(zhì)的m都非常接近于0，所以r都非常接近于1，所以工程上對于非鐵磁性物質(zhì)r都取為1（非磁性物質(zhì)的磁導(dǎo)率與自由空間的相同）。鐵磁質(zhì)是非線性介質(zhì)，（3.23）式和（3.24）式都不成立，鐵磁質(zhì)的r>>1（例如鐵、鈷、鎳等），并且不是常數(shù)，隨磁場的強(qiáng)弱變化（從鐵磁質(zhì)的磁滯回線上可以看出）。關(guān)于線性和非線性介質(zhì)、各向同性和各向異性介質(zhì)、均勻和非均勻介質(zhì)的概念與2.1.6節(jié)中介紹的電介質(zhì)中的相關(guān)概念類似。

鐵磁物質(zhì)的B與H不成線性關(guān)系，且B與H的函數(shù)關(guān)系隨鐵磁物質(zhì)的結(jié)構(gòu)而異，但我們?nèi)匀挥檬剑?.23）式和（3.24）來表示，只是其中的μ不再是常數(shù)。在磁介質(zhì)中還有一種各向異性的介質(zhì)，其B和H不再是同方向的矢量，磁導(dǎo)率為張量。例題3.1證明（3.26）式

證明：研究磁介質(zhì)可以用分子電流模型，任何物質(zhì)的分子都是由原子組成的，原子中原子核帶正電，電子帶負(fù)電，以恒速繞原子核作圓周運(yùn)動。分子中所有電子的運(yùn)動可以等效為一個電流i，稱為分子電流，它相當(dāng)于一個微小電流環(huán)可以等效為磁偶極子。分子電流與其環(huán)繞的面積S的乘積稱為分子磁矩pm（等效磁偶極矩），表達(dá)式為其中i和S、pm的方向滿足右手關(guān)系，如圖3.4所示。圖3.4分子電流和分子磁矩磁化強(qiáng)度矢量沒有外磁場時，由于介質(zhì)內(nèi)大量分子無規(guī)則的熱運(yùn)動，各分子磁矩的排列是雜亂無章的，這時介質(zhì)沒有被磁化。如圖（a）所示。在外磁場中，每個分子磁矩都受到一個力矩的作用，使其在一定程度上轉(zhuǎn)向外磁場方向，介質(zhì)被磁化，如圖3.5所示。外磁場越強(qiáng)，分子磁矩的排列越整齊，如圖（b）所示。單位體積中分子磁矩的矢量和就越大，（a)磁偶極子隨機(jī)排列的磁性物質(zhì)；圖3.5介質(zhì)磁化(b)外場B使磁偶極子有序排列；先計(jì)算穿過介質(zhì)內(nèi)任一曲面S的磁化電流Im，曲面S的邊界為C，如圖3.6所示。可以看出，在所有的分子電流中，只有環(huán)繞邊界C的分子電流對穿過S面的磁化電流有貢獻(xiàn)。為了計(jì)算所有環(huán)繞邊界C的分子電流，采用微積分的方法，先計(jì)算環(huán)繞邊界C上任一線元dl的分子電流。定義磁化強(qiáng)度矢量等于單位體積中分子磁矩的矢量和圖3.6（立體圖）

穿過介質(zhì)內(nèi)S面的磁化電流媒質(zhì)內(nèi)部磁偶極子的有序排列，相當(dāng)于沿媒質(zhì)表面流動的電流,(c)排列好的電流環(huán)等效于沿物質(zhì)表面的電流如圖3-11(c)所示。這些電流稱為束縛電流，它在媒質(zhì)內(nèi)部產(chǎn)生一個附加場。dl相交圖3.6

穿過介質(zhì)內(nèi)S面的磁化電流

圖3.7環(huán)繞線元dl的分子電流以dl為軸線作一個斜的圓柱面，底面S等于分子電流的面積，并與分子電流平行，長度為dl，如圖3.7所示。可以看出，只有中心在圓柱面內(nèi)的分子電流環(huán)繞dl，而中心在圓柱面內(nèi)的分子電流的數(shù)目，就是圓柱面內(nèi)分子的數(shù)目。設(shè)介質(zhì)的分子密度為N，分子電流為i，則環(huán)繞線元dl的分子電流對磁化電流的貢獻(xiàn)為單位體積分子數(shù)（立體圖）dl由（3.30）式可以寫出所以穿過S面的總的磁化電流為上式左側(cè)的磁化電流可以寫成體磁化電流密度對S面的積分，右側(cè)的線積分可以利用斯托克斯定理變換為面積分，可得最后可得斜圓柱體積套在dl上的分子數(shù)磁化強(qiáng)度矢量等于單位體積中分子磁矩的矢量和單位體積分子數(shù)均勻磁介質(zhì)內(nèi)部的分子電流相互抵消，介質(zhì)表面出現(xiàn)磁化電流，如圖3.8所示。作一個對比，金屬導(dǎo)體中自由電子定向運(yùn)動形成的電流稱為傳導(dǎo)電流；空間中帶電粒子定向運(yùn)動形成的電流稱為運(yùn)流電流。圖3.8磁介質(zhì)表面的磁化電流3.1.4磁場的計(jì)算方法1．利用畢奧—薩伐爾定律計(jì)算磁場根據(jù)畢奧—薩伐爾定律，線電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為體電流、面電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，可以寫出類似的方程。利用畢奧—薩伐爾定律計(jì)算磁場，有兩類問題：⑴直接利用畢—薩定律積分計(jì)算直線電流的磁場例題3.2計(jì)算長度為l的直線電流I的磁場。解：采用圓柱坐標(biāo)系，直線電流與z軸重合，直線電流的中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖3.9所示。r源點(diǎn)到場點(diǎn)P的距離，下面例題中應(yīng)為R。，源點(diǎn)的位置矢量，

到場點(diǎn)P的距離矢量為代入（3.32）式可得

顯然磁場的分布具有軸對稱性，可以只在φ等于某一常數(shù)的平面內(nèi)計(jì)算磁場。從圖3.9中可以看出，直線電流上的任一電流元，場點(diǎn)P的位置矢量圖3.9例3.2R積分見下頁一段直線電流的兩端無限延長即得到無限長直線電流，即利用（3.33）式可以求得無限長直線電流所產(chǎn)生的磁場為例題3.3求半徑為a的線電流圓環(huán)在其垂直軸線上的磁場。解：采用圓柱坐標(biāo)系，圓環(huán)軸線與z軸重合，圓環(huán)位于z=z’平面內(nèi)，如圖3.10所示。圓環(huán)上的任一電流元，場點(diǎn)P的位置矢量，源點(diǎn)的位置矢量Idl’到場點(diǎn)P的距離矢量為圖3.10計(jì)算載流圓環(huán)軸線上的磁場上式中因此圓環(huán)中心處的磁場（z=z’）為⑵利用⑴中的結(jié)論迭加利用畢奧—薩伐爾定律計(jì)算磁場的另一類問題需要利用(3.34)式或（3.35）式，再利用疊加原理計(jì)算。例題3.4一條扁平的直導(dǎo)體帶，寬為2a，中心線與軸z重合，流過電流I，證明在第一象限內(nèi)圖3.11例題3.3無限長直線電流線電流圓環(huán)其中,如圖3.11所示。解：利用微積分的方法求解，把導(dǎo)體帶分割成許許多多條無限長載流直導(dǎo)線，第一象限內(nèi)P點(diǎn)的磁場等于所有這些無限長載流直導(dǎo)線在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場的疊加。設(shè)分割出的任意一條無限長載流直導(dǎo)線的寬度為dx，其上的電流為,在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為x分量為缺缺負(fù)號所以，代入（3.37）式可得上式中含有三個變量，作一個變量代換，由同樣需要作一個變量代換，由代入（3.38）式可得由圖3.11中可以看出，沿－x方向。dB的y分量為2．利用安培環(huán)路定理計(jì)算具有軸對稱、面對稱的問題，計(jì)算磁場可以利用安培環(huán)路定理，沒有磁介質(zhì)時安培環(huán)路定理的表達(dá)式為有磁介質(zhì)時安培環(huán)路定理的表達(dá)式為等式右側(cè)是對環(huán)路所包圍的所有傳導(dǎo)電流求和。例題3.5長直導(dǎo)體圓柱中電流均勻分布，電流密度為J，其中有一平行的圓柱形空腔，如圖3.12所示。計(jì)算空腔內(nèi)的磁場并證明空腔內(nèi)的磁場是均勻的。解：設(shè)半徑為b帶有空腔的導(dǎo)體中的電流方向向外,可以看成是由半徑為b的實(shí)心導(dǎo)體圓柱（電流方向向外）與半徑為a的實(shí)心導(dǎo)體圓柱（電流方向?yàn)橄蚶铮┑寞B加。半徑為b的實(shí)心導(dǎo)體圓柱單獨(dú)存在時,由安培環(huán)路定理圖3.12例題3.3可以解出用矢量可以表示為半徑為a的實(shí)心導(dǎo)體圓柱單獨(dú)存在時，由安培環(huán)路定理可以解出空腔內(nèi)的磁場為其中C是在如圖3.12所示的橫截面內(nèi)，由半徑為b的實(shí)心導(dǎo)體圓柱的軸線指向半徑為a的實(shí)心導(dǎo)體圓柱軸線的一個常矢量，所以空腔內(nèi)的磁場是均勻的。z例題3.6鐵質(zhì)的無限長圓管中通有電流I，管的內(nèi)、外半徑分別是a和b。已知鐵的磁導(dǎo)率是μ，求管壁中、管內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，并計(jì)算管壁中的體磁化電流密度Jm和面磁化電流密度Jms。

解：設(shè)圓柱坐標(biāo)系的z軸與圓管的軸線重合，場是軸對稱的。電流沿z軸方向流動，磁場只有φ分量，管壁中，由安培環(huán)路定理所以有磁介質(zhì)時安培環(huán)路定理的表達(dá)式為：圓管外，由安培環(huán)路定理所以圓管內(nèi)，由安培環(huán)路定理所以管壁中（a≤r≤b）的磁化強(qiáng)度為管壁中的體磁化電流密度為在r＝a、r＝b處的面磁化電流密度為面磁化電流密度和體磁化電流密度:3.1.5磁路由于磁力線形成閉合回路，因而可以將磁通和閉合電路中的電流相比擬。磁通在磁性材料中流動的閉合通路稱為磁路（magneticcircuit）。在電路中電流完全在導(dǎo)線內(nèi)流動，在導(dǎo)線外部沒有任何泄漏。磁性材料中的磁通不能完全被限定在給定的路徑中，總有一些漏磁，但是如果磁性材料的磁導(dǎo)率比周圍物質(zhì)的磁導(dǎo)率大得多，絕大部分磁通將集中在磁性材料內(nèi)，泄漏的磁通可以被忽略。磁路在分析、計(jì)算電機(jī)、變壓器、電磁鐵、繼電器等器件的問題時有廣泛的應(yīng)用。1．磁路的歐姆定律如圖3.13所示，一個鐵芯磁環(huán)上繞有N匝線圈，通以電流I，由于鐵芯的磁導(dǎo)率>>0，磁感應(yīng)線主要在磁環(huán)內(nèi)流通，在忽略環(huán)外漏磁的條件下，H沿磁環(huán)內(nèi)的積分為可以解出鐵芯內(nèi)的H和B分別為鐵芯內(nèi)的磁通為圖3.13閉合磁路但我們?nèi)匀挥檬剑?.23）式來表示，只是其中的μ不再是常數(shù)。在磁介質(zhì)中還有一種各向異性的介質(zhì)，其B和H不再是同方向的矢量，磁導(dǎo)率為張量。鐵磁物質(zhì)的