激光原理第二章

學(xué)習(xí)目的

掌握激光器的基本原理及應(yīng)用光諧振腔理論速率方程理論改善與控制激光器特性的若干技術(shù)典型激光器激光應(yīng)用技術(shù)吸收輻射小結(jié)光學(xué)諧振腔的提出介質(zhì)中傳播的光能密度公式

z越大，光能密度也越大，

也就是可以增加增益介質(zhì)的長度L來增加光能密度。要使受激輻射幾率自發(fā)輻射幾率，即得到激光只有靠增大增益介質(zhì)中傳播的光能密度來實現(xiàn)。

增加增益介質(zhì)的長度L的方法：多次反射——光學(xué)諧振腔光學(xué)諧振腔的作用光學(xué)諧振腔的結(jié)構(gòu)：在增益介質(zhì)的兩端各加

一塊平面反射鏡M1、M2。

其中一塊為全反射鏡；另

一塊為部分反射鏡（反射

率接近于1）。兩者嚴(yán)格平行并與增益介質(zhì)的軸線垂直，這就是一個簡單的光學(xué)諧振腔——平行平面腔。光學(xué)諧振腔的三個作用再重述如下：倍增工作介質(zhì)作用長度，提高單色光能密度，控制光束傳播方向，對激光進(jìn)行選頻M1M2圖1-21受激光在諧振腔中的放大激光器的基本結(jié)構(gòu)激光工作物質(zhì)：能夠?qū)崿F(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)，產(chǎn)生受激光放大。激勵能源：能將低能級的粒子不斷抽運(yùn)到高能級，補(bǔ)充受激輻射減少的高能級上粒子數(shù)。光學(xué)諧振腔：提高光能密度，保證受激輻射大于受激吸收。第二章激光器諧振腔與高斯光束2.1光學(xué)諧振腔結(jié)構(gòu)與穩(wěn)定性2.2光學(xué)諧振腔的衍射理論2.3對稱共焦腔內(nèi)外的光場分2.4高斯光束的傳播特性2.5穩(wěn)定球面腔的光束傳播特2.1

光學(xué)諧振腔結(jié)構(gòu)與穩(wěn)定性2.1.1諧振腔的分類突出兩塊反射鏡的形狀時，將光學(xué)諧振腔分為：ABM1M2平行平面腔：平凹腔：平凸腔：

凹凸腔：雙凹腔：

雙凸腔：

ABM1M2OBOAM1M2

光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定性角度分類：穩(wěn)定腔：在腔中任意一束傍軸光線能夠經(jīng)過任意次往返傳播不逸出腔外的諧振腔。不穩(wěn)定腔：在腔中任意一束傍軸光線不能夠經(jīng)過任意次往返傳播不逸出腔外的諧振腔。2.1.2穩(wěn)定腔及其幾何光學(xué)分析距離大于兩倍焦距的不穩(wěn)定平凹腔：A1—A2—B1—B2—C1—逸出（分析計算省略）h0

不穩(wěn)定腔A1O1h0B1C1h1A2B'0FO2B2h2M1M2B0Lfh3穩(wěn)定腔條件光學(xué)諧振腔的穩(wěn)定與否是由諧振腔的幾何形狀決定的共軸球面腔結(jié)構(gòu)：兩個球面反射鏡的曲率半徑R1、R2，腔長L。規(guī)定凹面鏡的曲率半徑為正，凸面鏡的曲率半徑為負(fù)。穩(wěn)定腔條件為？BOAM1M2共軸球面腔的穩(wěn)定性條件推導(dǎo)過程OM1M2穩(wěn)定條件穩(wěn)定腔幾種典型的穩(wěn)定腔：平行平面腔----是一種臨界穩(wěn)定腔，能夠保證截面平行于反射鏡面的光束在反射鏡間傳播不逸出。（臨界腔）ABM1M2平行平面腔穩(wěn)定腔平凹腔：是由一塊平面鏡和一塊曲率半徑為R的凹面鏡組成的光學(xué)諧振腔，按照兩鏡之間距離可分為幾種：(a)

半共焦腔：凹面鏡的焦點正好落在平面鏡上，(b)

半共心腔：凹面鏡的球心正好落在平面鏡上，距離再遠(yuǎn)，平凹腔會變得不穩(wěn)定。（臨界腔）ABM1M2(a)半共焦腔F(b)半共心腔ABM1M2O要求兩鏡面的曲率半徑為正時必須同時大于腔長或同時小于腔長。對稱凹面鏡腔：兩塊曲率半徑相同的凹面鏡組成的諧振腔，按照兩鏡之間距離可分為幾種：(a)共焦腔：兩凹面鏡的焦點重合，(b)

共心腔：兩凹面鏡的球心重合，距離再遠(yuǎn)，對稱凹面鏡腔也會變得不穩(wěn)定。（臨界腔）B(a)共焦腔AM1M2F(b)共心腔BOAM1M2穩(wěn)定腔不穩(wěn)定腔對稱凸面鏡腔---都是不穩(wěn)定的不穩(wěn)定凸面腔鏡面的曲率半徑同時為負(fù)，盡管上式左邊成立，右邊的不等式卻不成立。穩(wěn)定圖及其說明穩(wěn)定性條件為：以g1為橫坐標(biāo)，g2為縱坐標(biāo)，上式表現(xiàn)為雙曲線，它們是穩(wěn)定腔和非穩(wěn)定腔的分界線。把穩(wěn)定腔大致分為四類，在圖上可以用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ標(biāo)出。ⅡⅠⅠⅡⅢⅢⅣⅣAB11

穩(wěn)定腔圖O穩(wěn)定圖及其說明

第一類腔(Ⅰ)---對稱腔（直線線段

BOA代表）特點是：R1=R2=R。線段OA：L≤R<∞；線段OB：L/2≤R≤L；坐標(biāo)原點O：R1=R2=L，即共焦腔；A點：R1=R2→∞，即平行平面腔；B點：R1=R2=L/2，即共心腔。（一）對稱腔（共焦腔、共心腔）ⅡⅠⅠⅡⅢⅢⅣⅣAB11

穩(wěn)定腔圖O穩(wěn)定圖及其說明

第二類腔，（即圖中的第Ⅱ部分，

和的區(qū)域，代表曲率半徑大于腔長的非對稱腔）。其特點：R1≠R2；R1＞L，R2＞L（二）長焦距非對稱腔（雙凹穩(wěn)定腔）ⅡⅠⅠⅡⅢⅢⅣⅣAB11

穩(wěn)定腔圖O（三）短焦距非對稱腔（雙凹穩(wěn)定腔）除去OB的整個和的區(qū)域，這是第三類腔，即圖中的第Ⅲ部分，代表曲率半徑小于腔長的非對稱腔。其特點：R1≠R2；0＜R1＜L，0＜R2＜L，但必須滿足R1+R2＞L穩(wěn)定圖及其說明ⅡⅠⅠⅡⅢⅢⅣⅣAB11

穩(wěn)定腔圖O（四）凹凸腔坐標(biāo)系上、和、的區(qū)域代表第四類腔，即圖中的第Ⅳ部分，它是由一塊R＜0的凸面鏡和一塊R＞L的凹面鏡構(gòu)成。其特點：｜R1｜＞R2－L；其中R1＜0，R2＞L穩(wěn)定圖及其說明ⅡⅠⅠⅡⅢⅢⅣⅣAB11

穩(wěn)定腔圖O穩(wěn)定圖的使用例一：一個腔長為L的對稱穩(wěn)定腔，其反射鏡曲率半徑如何確定?例二：穩(wěn)定腔的一塊反射鏡已有如R1=2L，另一塊反射鏡的曲率半徑的取值范圍如何確定？例三：如果兩塊反射鏡的曲率半徑分別為R1、R2，欲用它們組成穩(wěn)定腔，腔長的取值范圍如何確定？穩(wěn)定圖的應(yīng)用腔的分類突出焦距與腔長的關(guān)系時，穩(wěn)定腔分為：對稱共焦腔：半共焦腔：非共焦腔：除去圖中原點和點（1，0.5）外的整個穩(wěn)定區(qū)ABM1M2(a)半共焦腔FB(a)共焦腔AM1M2F腔的用途一般中小功率的氣體激光器常用穩(wěn)定腔它的優(yōu)點是容易產(chǎn)生激光；但對于增益系數(shù)大的固體激光器常用非穩(wěn)定腔產(chǎn)生激光，它的優(yōu)點是可以連續(xù)改變輸出光的功率非穩(wěn)定腔不宜用于中小功率的激光器，但有時光的準(zhǔn)直性均勻性較好，能夠連續(xù)地改變輸出光功率對稱共焦腔是建立模式理論的基礎(chǔ)，是一種最重要的穩(wěn)定腔33引言前兩章：激光產(chǎn)生的工作原理：在激光諧振腔中受激輻射大于自發(fā)輻射而導(dǎo)致光的受激輻射放大的過程和條件；諧振腔作用：倍增激光增益介質(zhì)的受激放大作用長度以形成光的高亮度；提高了光源發(fā)光的方向性；由于激光器諧振腔中分立的振蕩模式的存在，大大提高了輸出激光的單色性，實現(xiàn)了高度的相干性，改變了輸出激光的光束結(jié)構(gòu)及其傳輸特性。本章研究激光的輸出特性----從激光諧振腔中傳播到腔外的光束的強(qiáng)度與相位的大小與分布激光光束(高斯光束)。從諧振腔的衍射理論開始研究激光輸出的高斯光束傳播特性，激光器的輸出功率以及激光器輸出的線寬極限。34

2.2光學(xué)諧振腔的衍射理論2.2.1惠更斯-基爾霍夫衍射公式

惠更斯－菲涅耳原理:波面上每一點可看作次球面子波的波源。下一時刻新的波前形狀由次級子波的包絡(luò)面所決定?？臻g光場是各子波干涉疊加的結(jié)果。

設(shè)波陣面上任一源點則空間任一觀察點P的光場復(fù)振幅為的光場復(fù)振幅源點觀察點由下列積分式計算：惠更斯-菲涅耳原理362.2.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程

諧振腔衍射效應(yīng)光場分布特點：反射鏡的有限大小，它在對光束起反射作用的同時，還會引起光波的衍射效應(yīng)，引起反射回來的光束的強(qiáng)度減弱.特點1：當(dāng)反射次數(shù)足夠多時（大約三百多次反射）光束的橫向場分布便趨于穩(wěn)定，分布不再受衍射的影響。特點2：場分布在腔內(nèi)往返傳播一次后能夠“再現(xiàn)”出來，反射只改變光的強(qiáng)度大小，而不改變光的強(qiáng)度分布。這個穩(wěn)定的橫向場分布------激光諧振腔的自再現(xiàn)模。這種穩(wěn)態(tài)場經(jīng)一次往返后，鏡面上各點的場振幅按同樣的比例衰減，各點的相位發(fā)生同樣大小的滯后。37

圖所示為一個圓形鏡的平行平面腔，鏡面和上分別建立了坐標(biāo)軸兩兩相互平行的坐標(biāo)和。利用上式由鏡面上的光場分布可以計算出鏡面M上的場分布函數(shù)，即任意一個觀察點的光場強(qiáng)度。自再現(xiàn)模積分方程

鏡面上場分布的計算示意圖

假設(shè)為經(jīng)過q次渡越后在某一鏡面上所形成的場分布，表示光波經(jīng)過q+1次渡越后，到達(dá)另一鏡面所形成的光場分布，則

與之間應(yīng)滿足如下的迭代關(guān)系：

考慮對稱開腔的情況，按照自再現(xiàn)模的概念，除了一個表示振幅衰減和相位移動的常數(shù)因子以外，應(yīng)能夠?qū)⒃佻F(xiàn)出來，兩者之間應(yīng)有關(guān)系：

38

其中，稱為積分方程的核。綜合上兩式可得

簡化：對于一般的激光諧振腔來說，腔長L與反射鏡曲率半徑R通常都遠(yuǎn)大于反射鏡的線度a，而a又遠(yuǎn)大于光波長。對上式做兩點近似可得到自再現(xiàn)模所滿足的積分方程：

和的下標(biāo)表示該方程存在一系列的不連續(xù)的本征函數(shù)解與本征值解，這說明在某一給定開腔中，可以存在許多不同的分立的自再現(xiàn)模。

=1=L源點觀察點坐標(biāo)函數(shù)2.3共焦腔中的行波場與

腔內(nèi)外的光場分布40場分布特點

腔內(nèi)的光場:

可以通過基爾霍夫衍射公式計算由鏡面M1上的場分布在腔內(nèi)造成的行波求得，行波被反射鏡M2反射產(chǎn)生傳播方向相反的另一列行波，兩列行波在腔內(nèi)迭加成駐波。

腔外的光場:

則就是腔內(nèi)沿一個方向傳播的行波透過鏡面的部分。即行波函數(shù)乘以鏡面的透射率t。求空間場分布的關(guān)鍵是：求出鏡面場分布生成的行波在任意空間點的表達(dá)式。412.3.1共焦腔鏡面上的場分布如圖所示，將鏡面場分布代入基爾霍夫衍射公式可得：

計算腔內(nèi)外光場分布的示意圖422.3.1共焦腔鏡面上的場分布方形鏡面共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解析解

近軸情況下，積分方程有本征函數(shù)近似解析解（厄米特-高斯函數(shù)）：

本征值近似解Hm(X)和Hn(Y)均為厄密多項式：設(shè)方鏡每邊長為2a，共焦腔的腔長為L，光波波長為λ，

(x，y)

鏡面上的任意點。431.鏡面上自再現(xiàn)模場的特征

振幅分布:

令

,

則有的變化曲線及相應(yīng)的光強(qiáng)分布基橫模TEM00m、n的數(shù)值越大，光場也越向外擴(kuò)展。

44本征函數(shù)和激光橫模：本征函數(shù):模代表對稱開腔任一鏡面上的光場振幅分布，幅角則代表鏡面上光場的相位分布。它表示的是在激光諧振腔中存在的穩(wěn)定的橫向場分布，就是自再現(xiàn)模，通常叫做“橫?！保琺、n稱為橫模序數(shù)。圖3-3橫模光斑示意圖

用TEMmnq表示激光模式，TEM代表橫電磁波(transverseelectro-magneticwave)

m、n:代表在截面的x、y軸方向出現(xiàn)的節(jié)線數(shù)，為橫模序數(shù)。45鏡面上自再現(xiàn)模場的特征(續(xù))振幅分布:基橫模TEM00場分布為：鏡面上基模的“光斑有效截面半徑”

相位分布:

共焦腔反射鏡面本身構(gòu)成光場的一個等相位面。

單程衍射損耗：一般忽略不計，但是在討論激光器單橫模的選取時必須考慮單程衍射損耗

46

損耗包括衍射損耗和幾何損耗，但主要是衍射損耗，稱為單程衍射損耗，用表示。定義為2.本征值和單程衍射損耗、單程相移本征值的模

反映了自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越時所引起的功率損耗.自再現(xiàn)模在對稱開腔中單程渡越所產(chǎn)生的總相移定義為

自再現(xiàn)模在對稱開腔中的單程總相移一般并不等于由腔長L所決定的幾何相移，它們的關(guān)系為482.3.2光學(xué)諧振腔諧振頻率和激光縱模諧振條件、駐波和激光縱模光波在腔內(nèi)往返一周的總相移應(yīng)等于2的整數(shù)倍，即只有某些特定頻率的光才能滿足諧振條件每個q值對應(yīng)一個駐波，稱之為----縱模，q為縱模序數(shù)。49縱模頻率間隔舉例1：10cm腔長的He-Ne激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)（一種，單縱模）舉例2：30cm腔長的He-Ne激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)（三種，多縱模）腔中允許的縱模數(shù)腔內(nèi)兩個相鄰縱模頻率之差稱為縱模的頻率間隔同一個模式

方形共焦腔的頻率間隔：共焦腔諧振頻率簡并性：保證（2q+m+n+1）

不變,對應(yīng)的諧振頻率是

可以相同的.圓形鏡共焦腔：50方形鏡共焦腔的振蕩頻譜方形鏡共焦腔的振蕩頻率2.4高斯光束522.4.1高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布

基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化

基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律變化：在共焦腔中心(z＝0)的截面內(nèi)的光斑有極小值，稱為高斯光束的束腰半徑

53

當(dāng)場振幅為軸上()的值的e-1倍，即強(qiáng)度為軸上的值的e-2倍時，所對應(yīng)的橫向距離即z處截面內(nèi)基模的有效截面半徑為；

2.4.1高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布基橫模TEM00的場振幅U00和強(qiáng)度I00分布分別為：

在共焦腔中心(z＝0)的截面內(nèi)的光斑有極小值，稱為高斯光束的束腰半徑

542.4.1高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布(續(xù))

圖(3-8)基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化用束腰半徑表示的形式:

基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律變化：552.4.2高斯光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角

遠(yuǎn)場發(fā)散角

(全角)定義為雙曲線的兩根漸近線之間的夾角[參見圖(3-8)]

共焦腔基模光束的理論發(fā)散角具有毫弧度的數(shù)量級，它的方向性相當(dāng)好.

由于高階模的發(fā)散角是隨著模的階次的增大而增大，所以多模振蕩時，光束的方向性要比單基模振蕩差。圖(3-8)基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化共焦腔中等位相面的分布(0,0,z0)(x,y,z)2.4.3高斯光束的相位分布

隨坐標(biāo)而變化，與腔的軸線相交于Z0

點的等相位面的方程為

忽略由于z

變化引起的的微小變化，用代替，則在腔軸附近有583.3.2高斯光束的相位分布(續(xù))令則有：表明：等位相面在近軸區(qū)域

可看成半徑為R0的球面。(0,0,z0)(x,y,z)R0Z-Z0+R0X2+y2R02.4.3高斯光束的相位分布(續(xù))由式子可知：當(dāng)z0＞0時，z-z0＜0；而當(dāng)z0＜0時,z-z0＞0

當(dāng)當(dāng)共焦腔中等位相面的分布≈共焦腔反射鏡面是共焦場中曲率最大的等相位面602.4.4高斯光束的高亮度

亮度B:單位面積的發(fā)光面在其法線方向上單位立體角范圍內(nèi)輸出去的輻射功率。一般的激光器是向著數(shù)量級約為10－6

sr的立體角范圍內(nèi)輸出激光光束的。而普通光源發(fā)光(如電燈光)是朝向空間各個可能的方向的，它的發(fā)光立體角為4πsr。相比之下，普通光源的發(fā)光立體角是激光的約百萬倍。61小結(jié)一下高斯光束的主要特征參量：圖(3-8)基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化622.5穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性632.5.1穩(wěn)定球面腔的等價共焦腔

對稱共焦腔特點:

R