基于MATLAB優(yōu)化工具箱的優(yōu)化計(jì)算

基于MATLAB優(yōu)化工具箱

的優(yōu)化計(jì)算最優(yōu)化（optimization

）的定義

最優(yōu)化就是在眾多可行的方案或方法中找到最好的方案和方法。最優(yōu)方案就是達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的方案。最優(yōu)化方法就是搜尋最優(yōu)方案的方法。最優(yōu)化理論就是最優(yōu)化方法的理論。

建立最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的三要素：（1）決策變量和參數(shù)。決策變量是由數(shù)學(xué)模型的解確定的未知數(shù)。參數(shù)表示系統(tǒng)的控制變量，有確定性的也有隨機(jī)性的。（2）約束或限制條件。由于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的客觀物質(zhì)條件限制，模型必須包括把決策變量限制在它們可行值之內(nèi)的約束條件，而這通常是用約束的數(shù)學(xué)函數(shù)形式來表示的。（3）目標(biāo)函數(shù)。這是作為系統(tǒng)決策變量的一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)來衡量系統(tǒng)的效率，即系統(tǒng)追求的目標(biāo)。2023/2/54線性與非線性規(guī)劃問題例1.1運(yùn)輸問題:設(shè)有m個(gè)生產(chǎn)地點(diǎn)可供應(yīng)物資,其供應(yīng)量(產(chǎn)量)分別為.有n個(gè)銷售地點(diǎn),其需求量分別為,假設(shè)供需平衡既.用表示由運(yùn)輸單位物資的運(yùn)價(jià),如何確定一種調(diào)運(yùn)方案才能使總運(yùn)輸費(fèi)用最小.2023/2/55用表示由調(diào)運(yùn)物資的數(shù)量,則運(yùn)輸問題的數(shù)學(xué)模型為:2023/2/56例1.2背包問題：有一只背包(泛指倉庫、船艙、衛(wèi)星倉等)，最大裝載重量為w單位。現(xiàn)有k種物品，每種的數(shù)量無限。第i種物品每件重量為，價(jià)值。每種物品各取多少裝入背包，使其中的物品總價(jià)值最高。設(shè)取第i種物品件,則背包問題的數(shù)學(xué)模型為:

s.t.2023/2/57例1.3把半徑為1的實(shí)心金屬球熔化后，鑄成一個(gè)實(shí)心圓柱體,問圓柱體取什么尺寸才能使它的表面積最?。繘Q定圓柱體表面積大小有兩個(gè)決策變量：圓柱體底面半徑r、高h(yuǎn)。問題的約束條件是所鑄圓柱體重量與球重相等。即問題追求的目標(biāo)是圓柱體表面積最小。即

min2023/2/58則得原問題的數(shù)學(xué)模型：2023/2/59例1.4（混合飼料配合）以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。下面舉一個(gè)簡化了的例子予以說明。設(shè)每天需要混合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過1.2%的鈣;至少22%的蛋白質(zhì);至多5%的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營養(yǎng)成分為：2023/2/510配料每磅配料中的營養(yǎng)含量鈣蛋白質(zhì)纖維每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.3800.000.0010.090.02

0.500.08

0.01640.04630.1250設(shè)是生產(chǎn)100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。0.000.0022023/2/5112023/2/516基本概念1.約束最優(yōu)化2023/2/517（1）等式約束最優(yōu)化（2）不等式約束最優(yōu)化（3）混合約束最優(yōu)化：既有等式約束又有不等式約束的最優(yōu)化問題。2023/2/5182.無約束最優(yōu)化3.離散最優(yōu)化

最優(yōu)化模型中決策變量的取值為離散的最優(yōu)化問題。4.連續(xù)最優(yōu)化

最優(yōu)化模型中決策變量的取值為連續(xù)的最優(yōu)化問題。2023/2/5195.光滑最優(yōu)化連續(xù)最優(yōu)化模型中函數(shù)為光滑的最優(yōu)化問題。即模型（1.1.1）中所有函數(shù)都是連續(xù)可微的。只要有一個(gè)函數(shù)非光滑的，則稱為非光滑最優(yōu)化。6.線性規(guī)劃問題MATLAB優(yōu)化工具箱一、常用的優(yōu)化功能函數(shù)求解線性規(guī)劃問題的主要函數(shù)是linprog。求解二次規(guī)劃問題的主要函數(shù)是quadprog。求解無約束非線性規(guī)劃問題的主要函數(shù)是fminbnd、fminunc和fminsearch。求解約束非線性規(guī)劃問題的主要函數(shù)是fgoalattain和fminimax。二、一般步驟

建立目標(biāo)函數(shù)文件

針對具體工程問題建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型不等式約束條件表示成g(X)≥0的形式

建立調(diào)用優(yōu)化工具函數(shù)的命令文件文件內(nèi)容：必須的輸入?yún)?shù)、描述標(biāo)函數(shù)表達(dá)式等存儲：以自定義的目標(biāo)函數(shù)文件名存儲在文件夾中建立約束函數(shù)文件文件內(nèi)容：必須的輸入?yún)?shù)、約束函數(shù)表達(dá)式等存儲：以自定義的約束函數(shù)文件名存儲在文件夾中將優(yōu)化設(shè)計(jì)的命令文件復(fù)制到MATLAB命令窗口中進(jìn)行運(yùn)算求解。分析優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，選擇適用的優(yōu)化工具函數(shù)文件內(nèi)容：初始點(diǎn)，設(shè)計(jì)變量的邊界約束條件，運(yùn)算結(jié)果輸出等內(nèi)容存儲：以自定義的命令文件名存儲于文件夾中。9.2線性規(guī)劃問題一、線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型1.主要應(yīng)用對象：（1）在有限的資源條件下完成最多的任務(wù)；（2）如何統(tǒng)籌任務(wù)以使用最少資源。2.數(shù)學(xué)模型形式：

minfTXs.t.AX≤b（線性不等式約束條件）

AeqX=beq（線性等式約束條件）

lb≤X≤ub（邊界約束條件）約束條件決策變量目標(biāo)函數(shù)非負(fù)數(shù)線性3.MATLAB中函數(shù)調(diào)用格式

[xopt,fopt]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)最優(yōu)解最優(yōu)值目標(biāo)函數(shù)各維變量系數(shù)向量初始點(diǎn)可選項(xiàng)二、例題生產(chǎn)規(guī)劃問題：某廠利用a,b,c三種原料生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每種產(chǎn)品在消耗原料方面的各項(xiàng)指標(biāo)和單位產(chǎn)品的利潤，以及可利用的數(shù)量，試制定適當(dāng)?shù)纳a(chǎn)規(guī)劃使得該工廠的總利潤最大。生產(chǎn)每單位產(chǎn)品所消耗的原料現(xiàn)有原料數(shù)量（千克）ABCa342600b212400c132800單位產(chǎn)品利潤（萬元）243合計(jì)1800千克→x1→x2→x32x14x23x33x14x22x32x1x1x23x22x32x3≤≤≤++++++++3.確定約束條件：X=[x1,x2,x3]T4.編制線性規(guī)劃計(jì)算的M文件f=[2,4,3]’A=[3,4,2;2,1,2;1,3,2];b=[600;400;800];Aeq=[];beq=[];lb=zeros(3,1);[xopt,fopt]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)二、例題解：1.確定決策變量：max2x1+4x2+3x33x1+4x2+2x3≤6002x1+x2+2x3≤400x1+3x2+2x3≤800設(shè)生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品的數(shù)量分別是x1,x2,x3，決策變量：

根據(jù)三種單位產(chǎn)品的利潤情況，按照實(shí)現(xiàn)總的利潤最大化，建立關(guān)于決策變量的函數(shù)：2.建立目標(biāo)函數(shù)：根據(jù)三種資料數(shù)量限制，建立三個(gè)線性不等式約束條件5.M文件運(yùn)行結(jié)果：Optimizationterminatedsuccessfully.xopt=0.000066.6667166.6667fopt=-766.6667x1,x2,x3≥0[xopt,fopt]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)---9.3二次規(guī)劃問題1.研究意義：（1）最簡單的非線性規(guī)劃問題；（2）求解方法比較成熟。2.數(shù)學(xué)模型形式：

s.t.AX≤b（線性不等式約束條件）

AeqX=beq（線性等式約束條件）

lb≤X≤ub（邊界約束條件）一、二次規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型約束條件決策變量目標(biāo)函數(shù)二次函數(shù)3.MATLAB中函數(shù)調(diào)用格式

[xopt,fopt]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)最優(yōu)解最優(yōu)值目標(biāo)函數(shù)的海賽矩陣初始點(diǎn)可選項(xiàng)目標(biāo)函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)向量

結(jié)果xopt=[2.571,1.143,0.000]fopt=-16.4898二、例題求解約束優(yōu)化問題s.t.解：(1)將目標(biāo)函數(shù)寫成二次函數(shù)的形式，其中：[xopt,fopt]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)(2)編寫求解二次規(guī)劃的M文件：H=[4,-2,0;-2,4,0;0,0,2];C=[0,0,1];A=[1,3,2];b=[6];Aeq=[2,-1,1];beq=[4];lb=zeros(3,1);[xopt,fopt]=quadprig(H,C,A,b,Aeq,beq,lb)9.4無約束非線性規(guī)劃問題無約束非線性規(guī)劃問題的MATLAB函數(shù)有fminbnd要求目標(biāo)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)只求解單變量問題fminunc可求解單變量和多變量問題適用于簡單優(yōu)化問題可求解復(fù)雜優(yōu)化問題fminsearch1.使用格式：

[xopt,fopt]=fminbnd(fun,x1,x2,options)9.4.1函數(shù)fminbnd設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)迭代搜索區(qū)間目標(biāo)函數(shù)返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解2.例題：求解一維無約束優(yōu)化問題f(x)=(x3+cosx+xlogx/ex)

在區(qū)間[0,1]中的極小值。解：(1)編制求解優(yōu)化問題的M文件。

%求解一維優(yōu)化問題fun=inline(‘(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)’,‘x’);%目標(biāo)函數(shù)

x1=0;x2=1;%搜索區(qū)間

[xopt,fopt]=fminbnd(fun,x1,x2)(2)編制一維函數(shù)圖形的M文件。

ezplot(fun,[0,10])title('(x^3+cosx+xlogx)/e^x')gridon9.4.1函數(shù)fminbnd運(yùn)行結(jié)果：xopt=0.5223fopt=0.39741.使用格式：

[xopt,fopt]=fminsearch(fun,x0,options)9.4.2函數(shù)fminsearch設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)初始點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解2.例題：求解二維無約束優(yōu)化問題

f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2+6)的極小值。解：(1)編制求解二維無約束優(yōu)化問題的M文件。

%求解二維優(yōu)化問題

fun='x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6';

x0=[0,0];

%初始點(diǎn)

[xopt,fopt]=fminsearch(fun,x0)(2)討論。將目標(biāo)函數(shù)寫成函數(shù)文件的形式：

%目標(biāo)函數(shù)文件search.mfunctionf=search(x)

f=x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6;

則命令文件變?yōu)椋?/p>

%命令文件名稱為eg9_4.m

x0=[0,0];

%初始點(diǎn)

[xopt,fopt]=fminsearch(@search,x0)9.4.2函數(shù)fminsearch運(yùn)行結(jié)果：xopt=1.00002.0000fopt=4.00001.使用格式：

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(@fun,x0,options,P1,P2…)9.4.3函數(shù)fminunc設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)初始點(diǎn)調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的海色矩陣返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的梯度優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)返回算法的終止標(biāo)志返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解附加參數(shù)管道截面積：其中設(shè)計(jì)變量：9.4.3函數(shù)fminunc2.例題：已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度c，高度h，面積A=64516mm2，斜邊與底邊夾角為θ。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長s的倒數(shù)成比例關(guān)系。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。解：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

管道截面周長

hcθminx1x2f(X)目標(biāo)函數(shù)的文件(sc_wysyh.m)：functionf=sc_wysyh(x)%定義目標(biāo)函數(shù)調(diào)用格式a=64516;hd=pi/180;f=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*hd)+2*x(1)/sin(x(2)*hd);%定義目標(biāo)函數(shù)9.4.3函數(shù)fminunc2.例題：解：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

(2)編寫求解無約束非線性優(yōu)化問題的M文件[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminbnd(@fun,x0,options,P1,P2…)求最優(yōu)化解時(shí)的命令程序：x0=[25,45];%初始點(diǎn)[x,Fmin]=fminunc(@sc_wysyh,x0);%求優(yōu)語句fprintf(1,'截面高度hx(1)=%3.4fmm\n',x(1))fprintf(1,'斜邊夾角θx(2)=%3.4f度\n',x(2))fprintf(1,'截面周長sf=%3.4fmm\n',Fmin)計(jì)算結(jié)果截面高度hx(1)=192.9958mm斜邊夾角θx(2)=60.0005度截面周長sf=668.5656mmxx1=linspace(100,300,25);xx2=linspace(30,120,25);[x1,x2]=meshgrid(xx1,xx2);a=64516;hd=pi/180;f=a./x1-x1./tan(x2*hd)+2*x1./sin(x2*hd);subplot(1,2,1);h=contour(x1,x2,f);clabel(h);axis([100,300,30,120])xlabel('高度h/mm')ylabel('傾斜角\theta/(^{。})')9.4.3函數(shù)fminunc2.例題：解：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

(2)編寫求解無約束非線性優(yōu)化問題的M文件

(3)編寫繪制一維函數(shù)圖形的M文件title('目標(biāo)函數(shù)等值線')subplot(1,2,2);meshc(x1,x2,f);axis([100,300,30,120,600,1200])title('目標(biāo)函數(shù)網(wǎng)格曲面圖')控制參數(shù)options序號功能默認(rèn)值及其含義說明1輸出形式0，無中間結(jié)果輸出Options(1)=1,按照表格輸出結(jié)果Options(1)=-1,隱藏警告信息2解x的精度1e-4Options(2)設(shè)置x解的終止條件3函數(shù)f的精度1e-4Options(3)設(shè)置函數(shù)f的終止條件4約束g的精度1e-6Options(4)設(shè)置約束g的終止條件5選擇主要算法0Options(5)選擇主要優(yōu)化算法6搜索方向算法0fmin()函數(shù)為無約束優(yōu)化搜索方向提供3種算法：Options(6)=0,擬牛頓法BFGS公式Options(6)=1,擬牛頓法DFP公式Options(6)=2,梯度法7步長一維搜索0fmin()函數(shù)為無約束優(yōu)化的步長一維搜索提供2種算法：Options(7)=0,二次和三次混合插值法Options(7)=1,三次多項(xiàng)式插值法123控制參數(shù)options序號功能默認(rèn)值及其含義說明8函數(shù)值輸出Options(8)輸出最終迭代函數(shù)值9梯度檢驗(yàn)0，不檢驗(yàn)Options(9)比較梯度10函數(shù)計(jì)算次數(shù)Options(10)輸出函數(shù)計(jì)算次數(shù)11梯度計(jì)算次數(shù)Options(11)輸出函數(shù)梯度計(jì)算次數(shù)12約束計(jì)算次數(shù)Options(12)輸出約束計(jì)算次數(shù)13等式約束個(gè)數(shù)0，等式約束為0Options(13)輸入等式約束個(gè)數(shù)14最大迭代次數(shù)100n（n為變量維數(shù)）Options(14)輸入最大迭代次數(shù)15目標(biāo)個(gè)數(shù)0Options(15)輸入目標(biāo)個(gè)數(shù)16差分步長最小值1e-8Options(16)步長的下限或變量的最小梯度值17差分步長最大值0.1Options(17)步長的上限或變量的最大梯度值18步長Options(18)步長參數(shù)，第1次迭代時(shí)置11239.5約束非線性規(guī)劃問題1.數(shù)學(xué)模型形式：

minf（X）

s.t.AX≤b（線性不等式約束）

AeqX=beq（線性等式約束）

C(X)≤0（非線性不等式約束條件）

Ceq(X)=0（非線性等式約束）

Lb≤X≤Ub（邊界約束條件）約束條件2.使用格式：

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)初始點(diǎn)調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的海色矩陣返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的梯度優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)返回算法的終止標(biāo)志返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解附加參數(shù)非線性約束條件的函數(shù)名設(shè)計(jì)變量的下界和上界線性等式約束的常數(shù)向量線性等式約束的系數(shù)矩陣線性不等式約束的常數(shù)向量線性不等式約束的系數(shù)矩陣無定義時(shí)以空矩陣符號“[]”代替控制參數(shù)options序號功能默認(rèn)值及其含義說明1輸出形式0，無中間結(jié)果輸出Options(1)=1,按照表格輸出結(jié)果Options(1)=-1,隱藏警告信息2解x的精度1e-4Options(2)設(shè)置x解的終止條件3函數(shù)f的精度1e-4Options(3)設(shè)置函數(shù)f的終止條件4約束g的精度1e-6Options(4)設(shè)置約束g的終止條件5選擇主要算法0Options(5)選擇主要優(yōu)化算法6搜索方向算法0fmin()函數(shù)為無約束優(yōu)化搜索方向提供3種算法：Options(6)=0,擬牛頓法BFGS公式Options(6)=1,擬牛頓法DFP公式Options(6)=2,梯度法7步長一維搜索0fmin()函數(shù)為無約束優(yōu)化的步長一維搜索提供2種算法：Options(7)=0,二次和三次混合插值法Options(7)=1,三次多項(xiàng)式插值法控制參數(shù)options序號功能默認(rèn)值及其含義說明8函數(shù)值輸出Options(8)輸出最終迭代函數(shù)值9梯度檢驗(yàn)0，不檢驗(yàn)Options(9)比較梯度10函數(shù)計(jì)算次數(shù)Options(10)輸出函數(shù)計(jì)算次數(shù)11梯度計(jì)算次數(shù)Options(11)輸出函數(shù)梯度計(jì)算次數(shù)12約束計(jì)算次數(shù)Options(12)輸出約束計(jì)算次數(shù)13等式約束個(gè)數(shù)0，等式約束為0Options(13)輸入等式約束個(gè)數(shù)14最大迭代次數(shù)100n（n為變量維數(shù)）Options(14)輸入最大迭代次數(shù)15目標(biāo)個(gè)數(shù)0Options(15)輸入目標(biāo)個(gè)數(shù)16差分步長最小值1e-8Options(16)步長的下限或變量的最小梯度值17差分步長最大值0.1Options(17)步長的上限或變量的最大梯度值18步長Options(18)步長參數(shù)，第1次迭代時(shí)置1例9-6

某二級斜齒圓柱齒輪減速器，高速級輸入功率P1=6.2kW，轉(zhuǎn)速n1=1450r/min；總傳動比i=31.5，齒輪寬度系數(shù)ψa=0.4，齒輪材料和熱處理：大齒輪45號鋼正火187~207HB，小齒輪45號鋼調(diào)質(zhì)228~255HB，工作壽命10年以上。要求按照總中心距a∑最小來確定齒輪傳動方案。解:(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型①設(shè)計(jì)變量：將涉及總中心距a∑齒輪傳動方案的6個(gè)獨(dú)立參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量

X=[mn1,mn2,z1,z3,i1,β]T=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T②目標(biāo)函數(shù)：減速器總中心距a∑最小為目標(biāo)函數(shù)二、例題

③約束條件:含性能約束和邊界約束高速級齒輪接觸強(qiáng)度條件低速級齒輪接觸強(qiáng)度條件高速級大齒輪彎曲強(qiáng)度條件低速級大齒輪彎曲強(qiáng)度條件大齒輪與軸不干涉低速級齒輪副模數(shù)的下限和上限高速級小齒輪齒數(shù)的下限和上限高速級小齒輪齒數(shù)的下限和上限低速級小齒輪齒數(shù)的下限和上限高速級傳動比的下限和上限齒輪副螺旋角的下限和上限性能約束邊界約束二、例題(2)編制優(yōu)化設(shè)計(jì)的M文件

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)%兩級斜齒輪減速器總中心距目標(biāo)函數(shù)functionf=jsqyh_f(x);hd=pi/180;a1=x(1)*x(3)*(1+x(5));a2=x(2)*x(4)*(1+31.5/x(5));cb=2*cos(x(6)*hd);f=(a1+a2)/cb;%兩級斜齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)的非線性不等式約束函數(shù)function[g,ceq]=jsqyh_g(x);hd=pi/180;g(1)=cos(x(6)*hd)^3-3.079e-6*x(1)^3*x(3)^3*x(5);g(2)=x(5)^2*cos(x(6)*hd)^3-1.701e-4*x(2)^3*x(4)^3;g(3)=cos(x(6)*hd)^2-9.939e-5*(1+x(5))*x(1)^3*x(3)^2;g(4)=x(5)^2.*cos(x(6)*hd)^2-1.076e-4*(31.5+x(5))*x(2)^3*x(4)^2;g(5)=x(5)*(2*(x(1)+50)*cos(x(6)*hd)+x(1)*x(2)*x(3))-x(2)*x(4)*(31.5+x(5));ceq=[];[]文件名為：Jsqyh_g.m文件名為：Jsqyh_f.m二、例題(2)編制優(yōu)化設(shè)計(jì)的M文件

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)x0=[2;4;18;20;6.4;10];%設(shè)計(jì)變量的初始值lb=[2;3.5;14;16;5.8;8];%設(shè)計(jì)變量的下限ub=[5;6;22;22;7;15];%設(shè)計(jì)變量的上限[x,fn]=fmincon(@jsqyh_f,x0,[],[],[],[],lb,ub,@jsqyh_g);disp'************兩級斜齒輪傳動中心距優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解*************'fprintf(1,'高速級齒輪副模數(shù)Mn1=%3.4fmm\n',x(1))fprintf(1,'低速級齒輪副模數(shù)Mn2=%3.4fmm\n',x(2))fprintf(1,'高速級小齒輪齒數(shù)z1=%3.4fmm\n',x(3))fprintf(1,'低速級小齒輪齒數(shù)z2=%3.4fmm\n',x(4))fprintf(1,'高速級齒輪副傳動比i1=%3.4fmm\n',x(5))fprintf(1,'齒輪副螺旋角beta=%3.4fmm\n',x(6))fprintf(1,'減速器總中心距a12=%3.4fmm\n',fn)g=jsqyh_g(x);disp'==========最優(yōu)點(diǎn)的性能約束函數(shù)值=========='fprintf(1,'高速級齒輪副接觸疲勞強(qiáng)度約束函數(shù)值g1=%3.4fmm\n',g(1))fprintf(1,'低速級齒輪副接觸疲勞強(qiáng)度約束函數(shù)值g2=%3.4fmm\n',g(2))fprintf(1,'高速級大齒輪齒根彎曲強(qiáng)度約束函數(shù)值g3=%3.4fmm\n',g(3))fprintf(1,'低速級大齒輪齒根彎曲強(qiáng)度約束函數(shù)值g4=%3.4fmm\n',g(4))fprintf(1,'大齒輪頂圓與軸不干涉幾何約束函數(shù)值g5=%3.4fmm\n',g(5))[],[],[],[],文件名為eg9_6.m二、例題(3)M文件運(yùn)行結(jié)果

************兩級斜齒輪傳動中心距優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解*************高速級齒輪副模數(shù)Mn1=2.0461mm

低速級齒輪副模數(shù)Mn2=3.6059mm

高速級小齒輪齒數(shù)z1=18.5156mm

低速級小齒輪齒數(shù)z2=16.0000mm

高速級齒輪副傳動比i1=5.8000mm

齒輪副螺旋角beta=8.0000

減速器總中心距a12=317.4186mm==========最優(yōu)點(diǎn)的性能約束函數(shù)值==========

高速級齒輪副接觸疲勞強(qiáng)度約束函數(shù)值g1=0.0000mm

低速級齒輪副接觸疲勞強(qiáng)度約束函數(shù)值g2=0.0000mm

高速級大齒輪齒根彎曲強(qiáng)度約束函數(shù)值g3=-1.0042mm

低速級大齒輪齒根彎曲強(qiáng)度約束函數(shù)值g4=-15.1854mm

大齒輪頂圓與軸不干涉幾何約束函數(shù)值g5=-761.8043mm2mm4mm19165.88338.292mm340mm9.838(4)優(yōu)化結(jié)果處理

9.6多目標(biāo)優(yōu)化問題多目標(biāo)優(yōu)化問題的MATLAB函數(shù)有fgoalattain需確定各分目標(biāo)的加權(quán)系數(shù)需知各分目標(biāo)的單個(gè)的最優(yōu)值目標(biāo)函數(shù)的最大值逐次減小fminimax9.6.1函數(shù)fgoalattain

minvs.t.fi(X)-wiv≤goali

i=1,2,…,tAX≤b（線性不等式約束）

AeqX=beq（線性等式約束）

C(X)≤0（非線性不等式約束條件）

Ceq(X)=0（非線性等式約束）

Lb≤X≤Ub（邊界約束條件）一、多目標(biāo)優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型標(biāo)量變量各分目標(biāo)函數(shù)分目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重各分目標(biāo)函數(shù)的目標(biāo)值

二、優(yōu)化函數(shù)使用格式

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=

fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)各分目標(biāo)權(quán)重各分目標(biāo)期望值目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的海色矩陣返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的梯度優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)返回算法的終止標(biāo)志返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解附加參數(shù)非線性約束條件的函數(shù)名設(shè)計(jì)變量的下界和上界線性等式約束的常數(shù)向量線性等式約束的系數(shù)矩陣線性不等式約束的常數(shù)向量線性不等式約束的系數(shù)矩陣無定義時(shí)以空矩陣符號“[]”代替9.6.1函數(shù)fgoalattain初始點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)文件名三、例題

設(shè)計(jì)帶式輸送機(jī)傳動裝置上的普通V帶傳動。已知電機(jī)額定功率P=4kW，轉(zhuǎn)速n1=1440r/min，傳動比i=3，采用A型V帶，每天工作不超過10小時(shí)。要求傳動結(jié)構(gòu)緊湊（帶的根數(shù)盡量少，帶輪直徑和中心距盡量小）。

解:(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型①設(shè)計(jì)變量：

V帶傳動的獨(dú)立設(shè)計(jì)變量是小帶輪直徑dd1和帶的基準(zhǔn)長度LdX=[dd1,Ld]T=[x1,x2]T②目標(biāo)函數(shù)：小帶輪直徑：中心距:帶的根數(shù):9.6.1函數(shù)fgoalattain1.1擬合直線P0=(0.02424dd1-1.112879)(kW)0.17kWKL=0.20639Ld0.211806擬合冪函數(shù)方程擬合雙曲線方程minf1(X)=dd1=x1

③約束條件:含性能約束和邊界約束小帶輪直徑>=推薦的A型帶輪最小直徑最大帶速<25m/s小帶輪包角>120°帶傳動的中心距要求小帶輪基準(zhǔn)直徑的下限和上限帶基準(zhǔn)長度的下限和上限性能約束邊界約束三、例題9.6.1函數(shù)fgoalattain9.6.1函數(shù)fgoalattain三、例題解:(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型①設(shè)計(jì)變量：

X=[dd1,Ld]T=[x1,x2]T②目標(biāo)函數(shù)：小帶輪直徑：中心距:帶的根數(shù):minf1(X)=dd1=x180~100mm320~400mm1~4按容限值確定權(quán)重，以使目標(biāo)函數(shù)值在數(shù)量級上統(tǒng)一

③約束條件:(2)確定分目標(biāo)和它們的權(quán)重(3)編制優(yōu)化設(shè)計(jì)的M文件[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)%V帶傳動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)文件functionf=VDCD_3mb_MB(x)P=4;i=3;KA=1.1;

%已知條件：功率，傳動比，工況系數(shù)f(1)=x(1);

%f1-小帶輪基準(zhǔn)直徑:目標(biāo)函數(shù)1a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;a2=x(1)^2*(i-1)^2/8;a=a1+sqrt(a1^2-a2);f(2)=a;

%f2,中心距：目標(biāo)函數(shù)2P0=0.02424*x(1)-1.1128789;

%單根帶額定功率DP0=0.17;

%功率增量alpha=180-180*x(1)*(i-1)/pi/a;

%小帶輪包角Kalp=alpha/(0.549636*alpha+80.396114);%包角系數(shù)KL=0.20639*x(2)^0.211806;

%長度系數(shù)f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/KL;

%f3-V帶根數(shù)：目標(biāo)函數(shù)39.6.1函數(shù)fgoalattain三、例題(3)編制優(yōu)化設(shè)計(jì)的M文件

%V帶傳動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束函數(shù)文件

function[g,ceq]=VDCD_3mb_YS(x)i=3;n1=1440;%已知條件：傳動比，轉(zhuǎn)速

g(1)=100-x(1);%小帶輪直徑>=Ddming(2)=pi*x(1)*n1/6e4-25%帶速范圍V<=Vmaxa1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;a2=x(1)^2*(i-1)^2/8;a=a1+sqrt(a1^2-a2);g(3)=120-180*(1-x(1)*(i-1)/a/pi);%小帶輪包角>=alpming(4)=0.7*x(1)*(i+1)-a;%中心距范圍a>=aminceq=[];9.6.1函數(shù)fgoalattain三、例題[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)(3)編制優(yōu)化設(shè)計(jì)的M文件%V帶傳動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的調(diào)用命令P=4;i=3;n1=1440;KA=1.1;

%已知條件：功率，傳動比，轉(zhuǎn)速，工況系數(shù)x0=[100;1250];

%初始點(diǎn)（小帶輪直徑，V帶基準(zhǔn)長度）goal=[75,280,2];

%分目標(biāo)w=[10^(-2),40^(-2),1.5^(-2)];

%分目標(biāo)加權(quán)系數(shù)lb=[80,630];

%最小帶輪直徑和A型V帶的基準(zhǔn)長度ub=[100;4000];

%最大帶輪直徑和A型V帶基準(zhǔn)長度[xopt,fopt]=fgoalattain(@VDCD_3mb_MB,x0,goal,w,[],[],[],[],lb,ub,@VDCD_3mb_YS)9.6.1函數(shù)fgoalattain三、例題[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)[],[],[],[],Optimizationterminatedsuccessfully:Searchdirectionlessthan2*options.xopt=1.0e+003*0.10001.2269fopt=100.0000281.52963.5957(4)M文件運(yùn)算結(jié)果9.6.1函數(shù)fgoalattain三、例題(5)優(yōu)化結(jié)果處理

dd1100mm1227mmLd小帶輪基準(zhǔn)直徑帶傳動中心距帶的根數(shù)1250mm圓整4圓整%優(yōu)化結(jié)果數(shù)據(jù)處理后部分參數(shù)計(jì)算Dd1=100;Dd2=Dd1*i;z=4;Ld=1250;v=pi*Dd1*n1/6e4;a1=Ld/4-pi*Dd1*(i+1)/8;a2=Dd1^2*(i-1)^2/8;a=a1+sqrt(a1^2-a2);alpha=180-180*Dd1*(i-1)/pi/a;disp''disp'***************計(jì)算結(jié)果*****************'fprintf(1,'小帶輪基準(zhǔn)直徑Dd1=%3.0fmm\n',Dd1);fprintf(1,'大帶輪基準(zhǔn)直徑Dd2=%3.0fmm\n',Dd2);fprintf(1,'V帶基準(zhǔn)長度Ld=%3.0fmm\n',Ld);fprintf(1,'傳動中心距a=%3.2fmm\n',a);fprintf(1,'小帶輪包角alpha=%3.2f度\n',alpha);fprintf(1,'V帶根數(shù)z=%3.0fmm\n',z);(4)M文件運(yùn)算結(jié)果9.6.1函數(shù)fgoalattain三、例題(5)優(yōu)化結(jié)果處理

***************計(jì)算結(jié)果*****************小帶輪基準(zhǔn)直徑Dd1=100mm大帶輪基準(zhǔn)直徑Dd2=300mmV帶基準(zhǔn)長度Ld=1250mm傳動中心距a=293.82mm小帶輪包角alpha=141.00度V帶根數(shù)z=4mm(4)M文件運(yùn)算結(jié)果9.6.1函數(shù)fgoalattain三、例題(5)優(yōu)化結(jié)果處理

(6)最終方案

9.6.2函數(shù)fminimax

minmax{f1,f2,…,f3}s.t.AX≤b（線性不等式約束）

AeqX=beq（線性等式約束）

C(X)≤0（非線性不等式約束條件）

Ceq(X)=0（非線性等式約束）

Lb≤X≤Ub（邊界約束條件）一、多目標(biāo)優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型各分目標(biāo)函數(shù)

二、優(yōu)化函數(shù)使用格式

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=

fminimax(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的海色矩陣返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的梯度優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)返回算法的終止標(biāo)志返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解附加參數(shù)非線性約束條件的函數(shù)名設(shè)計(jì)變量的下界和上界線性等式約束的常數(shù)向量線性等式約束的系數(shù)矩陣線性不等式約束的常數(shù)向量線性不等式約束的系數(shù)矩陣無定義時(shí)以空矩陣符號“[]”代替9.6.2函數(shù)fminimax初始點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)文件名三、例題

已知直徑為1單位長度的圓柱梁，要求將它制成矩形截面梁，滿足重量最輕和強(qiáng)度最大的條件，試確定矩形截面尺寸。

解:(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型①設(shè)計(jì)變量：矩形截面的寬和高

X=[x1,x2]T②目標(biāo)函數(shù)：重量→截面積：彎曲強(qiáng)度→矩形截面矩量:9.6.2函數(shù)fminimaxminf1(X)=x1x2r=1x1x2

③約束條件:含性能約束和邊界約束變量x1的上下限變量x2的上下限等式約束性能約束邊界約束9.6.2函數(shù)fminimax三、例題(2)編制優(yōu)化設(shè)計(jì)的M文件[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminimax(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)%矩形截面梁兩目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)文件functionf=JXL_2mb_MB(x)f(1)=x(1)*x(2);

%f1：梁的截面積f(2)=-x(1)*x(2)^2/6;

%f2:梁的截面矩量%矩形截面梁兩目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束函數(shù)文件function[c,ceq]=JXL_2mb_YS(x)ceq=x(1)^2+x(2)^2-1;%非線性等式約束c=[];%所有非線性不等式約束%矩形截面梁兩目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)x0=[1;1];lb=[0;0];ub=[1;1];[xopt,fopt]=fminimax(@JXL_2mb_MB,x0,[],[],[],[],lb,ub,@JXL_2mb_YS)(3)運(yùn)行結(jié)果Optimizationterminatedsuccessfully:xopt=0.70710.7071fopt=0.5000-0.0589[],[],[],[],控制參數(shù)options序號功能默認(rèn)值及其含義說明1輸出形式0，無中間結(jié)果輸出Options(1)=1,按照表格輸出結(jié)果Options(1)=-1,隱藏警告信息2解x的精度1e-4Options(2)設(shè)置x解的終止條件3函數(shù)f的精度1e-4Options(3)設(shè)置函數(shù)f的終止條件4約束g的精度1e-6Options(4)設(shè)置約束g的終止條件5選擇主要算法0Options(5)選擇主要優(yōu)化算法6搜索方向算法0fmin()函數(shù)為無約束優(yōu)化搜索方向提供3種算法：Options(6)=0,擬牛頓法BFGS公式Options(6)=1,擬牛頓法DFP公式Options(6)=2,梯度法7步長一維搜索0fmin()函數(shù)為無約束優(yōu)化的步長一維搜索提供2種算法：Options(7)=0,二次和三次混合插值法Options(7)=1,三次多項(xiàng)式插值法12控制參數(shù)options序號功能默認(rèn)值及其含義說明8函數(shù)值輸出Options(8)輸出最終迭代函數(shù)值9梯度檢驗(yàn)0，不檢驗(yàn)Options(9)比較梯度10函數(shù)計(jì)算次數(shù)Options(10)輸出函數(shù)計(jì)算次數(shù)11梯度計(jì)算次數(shù)Options(11)輸出函數(shù)梯度計(jì)算次數(shù)12約束計(jì)算次數(shù)Options(12)輸出約束計(jì)算次數(shù)13等式約束個(gè)數(shù)0，等式約束為0Options(13)輸入等式約束個(gè)數(shù)14最大迭代次數(shù)100n（n為變量維數(shù)）Options(14)輸入最大迭代次數(shù)15目標(biāo)個(gè)數(shù)0Options(15)輸入目標(biāo)個(gè)數(shù)16差分步長最小值1e-8Options(16)步長的下限或變量的最小梯度值17差分步長最大值0.1Options(17)步長的上限或變量的最大梯度值18步長Options(18)步長參數(shù)，第1次迭代時(shí)置1125.1工具箱概述5.1.1工具箱的功能5.1.2工具箱的新特色5.1.3工具箱的結(jié)構(gòu)5.2工具箱函數(shù)5.3GUI優(yōu)化工具5.3.1GUI優(yōu)化工具的啟動5.3.2GUI優(yōu)化工具的界面5.3.3GUI優(yōu)化工具使用步驟5.3.4GUI優(yōu)化工具應(yīng)用實(shí)例5.4小結(jié)第5章MATLAB優(yōu)化工具箱5.1.1工具箱的功能優(yōu)化工具箱主要可以用于解決以下問題：（1）求解無約束條件非線性極小值；（2）求解約束條件下非線性極小值，包括目標(biāo)逼近問題、極大-極小值問題以及半無限極小值問題；（3）求解二次規(guī)劃和線性規(guī)劃問題；（4）非線性最小二乘逼近和曲線擬合；（5）非線性系統(tǒng)的方程求解；（6）約束條件下的線性最小二乘優(yōu)化；（7）求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的大規(guī)模優(yōu)化問題。5.1.2工具箱的新特色MATLABR2008b提供的優(yōu)化工具箱是4.1版本，4.1版本較之以前的3.x版本，主要增加了以下新的特色。（1）函數(shù)fmincon、fminimax和fgoalattain中引入了并行機(jī)制，加快了梯度的計(jì)算速度；（2）函數(shù)gatool和psearchtool整合到優(yōu)化工具箱GUI中；（3）函數(shù)fmincon的求解器中新增內(nèi)點(diǎn)算法；（4）提供了KNITRO優(yōu)化庫的接口；（5）函數(shù)lsqcurvefit、lsqnonlin和fsolve的優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)PrecondBandWidth默認(rèn)值由0變?yōu)閕nf；（6）優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)TolConSQP的默認(rèn)值修改為1e–6；（7）輸出結(jié)構(gòu)中引入了參數(shù)constrviolation。5.1.3工具箱的結(jié)構(gòu)5.2工具箱函數(shù)函數(shù)輸入?yún)?shù)函數(shù)輸出參數(shù)模型輸入時(shí)需要注意的問題（1）目標(biāo)函數(shù)最小化優(yōu)化函數(shù)fminbnd、fminsearch、fminunc、fmincon、fgoalattain、fminmax和lsqnonlin都要求目標(biāo)函數(shù)最小化。（2）約束非正優(yōu)化工具箱要求非線性不等式約束的形式為Ci(x)≤0，通過對不等式取負(fù)可以達(dá)到使大于零的約束形式變?yōu)樾∮诹愕牟坏仁郊s束形式的目的。（3）避免使用全局變量ceModel.vi”等VI來實(shí)現(xiàn)。5.3GUI優(yōu)化工具優(yōu)化工具（optimtool）是2006年9月在MATLAB7.2版本優(yōu)化工具箱3.1版本中推出的，它是執(zhí)行下列常見優(yōu)化任務(wù)的圖形用戶界面。選擇求解器并定義優(yōu)化問題；設(shè)置和檢查優(yōu)化選項(xiàng)；運(yùn)行問題并將結(jié)果可視化；在MATLAB工作空間和優(yōu)化工具之間導(dǎo)入和導(dǎo)出問題定義、算法選項(xiàng)和結(jié)果；自動生成M文件代碼，以獲取工作并自動執(zhí)行任務(wù)；帶有圖形選項(xiàng)，用來顯示對求解器執(zhí)行期間進(jìn)度的預(yù)定義或自定義測量標(biāo)準(zhǔn)。5.3.1GUI優(yōu)化工具的啟動圖5-2優(yōu)化工具圖形界面的菜單啟動方式

圖5-3優(yōu)化工具圖形界面

啟動GUIOptimizationtool有以下兩種方法。（1）在命令行上輸入optimtool；（2）在MATLAB主界面單擊左下角的“Start”按鈕，然后依次選擇“Toolboxes→Optimization→Optimizationtool(optimtool)。5.3.2GUI優(yōu)化工具的界面GUI優(yōu)化工具的界面主要分為三大塊：左邊為優(yōu)化