不等式經(jīng)典講義

不等式終極講義專題一、不等式性質(zhì)練習(xí)實數(shù)大小的基本性質(zhì):a-b＞0a＞b;a-b=0a=b;a-b＜0a＜b.不等式的性質(zhì):不等式的基本性質(zhì)有：對稱性：a>bb<a；傳遞性：若a>b，b>c，則a>c；可加性：a>ba+c>b+c；可乘性：a>b，當(dāng)c>0時，ac>bc；當(dāng)c<0時，ac<bc。不等式運算性質(zhì)：同向相加：若a>b，c>d，則a+c>b+d；異向相減：，.正數(shù)同向相乘：若a>b>0，c>d>0，則ac>bd。（4）乘方法則：若a>b>0，n∈N+，則；（5）開方法則：若a>b>0，n∈N+，則；（6）倒數(shù)法則：若ab>0，a>b，則。1.若，則下列不等式中，①②③④正確的不等式有____．（寫出所有正確不等式的序號）2.已知，那么“”是“”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充分必要條件D．既非充分又非必要條件3.若，則下列不等式中正確的是（）A．B．C．D．4.已知、、、均為實數(shù)，且，，則下列各式恒成立的是（）A． B． C． D．5.當(dāng)時，下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．6.已知三個不等式：，，（其中、、、均為實數(shù)）．用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．37.設(shè)，則是的（）8.如果，那么，下列不等式中正確的是（）A．B．C．D．9.設(shè)，若，則下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．10.若，則下列結(jié)論不正確的是（）A．B．C．D．11.若，則下列結(jié)論中正確的命題是（）A．和均不能成立B．和均不能成立C．不等式和均不能成立D．不等式和均不能成立專題二、比較大小 1．作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2．作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函數(shù)的單調(diào)性；7．尋找中間量或放縮法；8．圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。1.將，，按從大到小的順序排列應(yīng)該是．2.比較下列代數(shù)式的大?。孩排c；⑵與（其中，且）⑶與（其中）．3.、、、均為正實數(shù)，且，將、、與按從小到大的順序進(jìn)行排列．4.比較大?。骸⑴c（其中）5.已知，試將下列各數(shù)按大小順序排列：，，，．6.設(shè)，，其中且．試比較與的大?。?.若，，，，則的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．8.設(shè)、、、、、均為正實數(shù)，，，那么（）A． B． C． D．、間大小關(guān)系不確定，而與、的大小有關(guān)9.設(shè)實數(shù)、滿足，且，則下列四數(shù)中最大的是（）A． B． C． D．10.已知，則與的大小關(guān)系是．11.設(shè)a、b、c都是正數(shù)，那么三個數(shù)、、（）

A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于212.已知均為正數(shù),,則有（）A．B．C．D．13.設(shè)是兩個實數(shù)，且在①；②；③；④這四個式子中，恒成立的有A.1個B.2個C.3個D4.個14.已知函數(shù)，其中以4為最小值的函數(shù)個數(shù)是A.0B.1C.2D.3專題三、求參數(shù)、代數(shù)式的取值范圍一、基本策略――不等式法.求參數(shù)m的取值范圍的基本策略是列出關(guān)于m的不等式(組).由于得到不等式的根據(jù)是多方面的,因此列不等式求取值范圍有以下幾個常見類型：(1)根據(jù)實際問題有意義列不等式(2)利用不等式的放縮變形得不等式(3)利用恒不等成立的最值法得不等式(4)利用某些變量的有界性得不等式（5)利用有關(guān)圖形的性質(zhì)得不等式.(6)利用方程有解的條件得不等式二、常用策略——轉(zhuǎn)移法.如果欲求范圍的變量m的不等式(組)不易直接得到,題中常常隱含有m與另一變量n間的等量關(guān)系F(m,n)＝０及n的取值范圍.解題的一般思路是求出F(m,n)=0及n的范圍,再設(shè)法利用F(m,n)＝０求出m的范圍.這種求變量范圍的方法就是轉(zhuǎn)移法.由于F(m,n)＝０的情況不同，轉(zhuǎn)移法常有如下三種類型：(1)不等式型

如果由F(m,n)＝０能夠解出n=f(m)，則利用n的范圍容易得到m的不等式，即可求其范圍.(2)函數(shù)值域型

如果F(m,n)＝０能夠解出m=f(n)，則在n的范圍內(nèi)去求m=f(n)的值域即可.(3)方程根的分布型

如果F(m,n)=0比較復(fù)雜，常?？梢宰冃螢殛P(guān)于n的一個一元二次方程，這時可以通過討論方程在n的范圍內(nèi)有解的條件得出m的不等式.1.客觀題訓(xùn)練1.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是()A． B． C． D．2.已知函數(shù)若，，互不相等，且，則的取值范圍是A． B． C． D．3.已知方程有一負(fù)根且無正根，則實數(shù)a的取值范圍是 A．a(chǎn)>-1 B．a(chǎn)=1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)≤17.若，，則的取值范圍是18.已知①；②，求：的取值范圍．19.已知，求各自的取值范圍．21.已知，若恒成立，則的最大值為。22.已知集合(其中為正常數(shù)).⑴設(shè)，求的取值范圍；⑵求證：當(dāng)時不等式對任意恒成立；⑶求使不等式對任意恒成立的的范圍.2.解答題練習(xí)1.已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0時＞0(1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)；(2)解不等式f(x+)＜f()；(3)若f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求實數(shù)t的取值范圍2設(shè)不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實數(shù)a的取值范圍3.設(shè)函數(shù)f(x)=ax滿足條件當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)＞1；當(dāng)x∈(0，1時，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍4.已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，。求證：如果；判斷（1）中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論；解不等式。奇函數(shù)上是增函數(shù)，當(dāng)時，是否存在實數(shù)m，使對所有的均成立？若存在，求出適合條件的所有實數(shù)m；若不存在，說明理由。6.設(shè)使,，求證：(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個實根.7.已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:證明:（Ⅰ）;(Ⅱ).8.過點作直線交正半軸于兩點.(1)若取到最小值,求直線的方程(2)若的面積取到最小值,求直線的方程9.設(shè)函數(shù)正實數(shù)滿足，且（1）求證：;（2）求證：10.已知實數(shù)a,b,c滿足條件：，其中m是正數(shù)，對于f(x)=ax2+bx+c(1)如果，證明：(2)如果，證明：方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有解。11.已知函數(shù)滿足下列條件：對任意的實數(shù)x1，x2都有和，其中是大于0的常數(shù).設(shè)實數(shù)a0，a，b滿足和(Ⅰ)證明，并且不存在，使得；(Ⅱ)證明；(Ⅲ)證明.12.己知，（1）（2），證明：對任意，的充要條件是；（3）討論：對任意，的充要條件。13.設(shè)不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實數(shù)a的取值范圍.14.解關(guān)于x的不等式：．15.解關(guān)于的不等式：16.設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)時，解不等式；（2）求的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)．17.已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0時＞0.(1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)；(2)解不等式：f(x+)＜f()；(3)若f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.專題四、均值定理：一正二定三相等，和定積最大，積定和最?、偃簦瑒t（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）②若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）③若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）④若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）⑤1.設(shè)，則的最小值是（）A．2B．4C．D．52.若為的三個內(nèi)角，則的最小值為．3.設(shè)，則（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值4.已知：（其中表示正實數(shù)），求證：5.設(shè)，求證：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，進(jìn)一步證明：，當(dāng)且僅當(dāng)時各等號成立．6.若，則的最小值是_________．7.設(shè)、，則，則的最小值是_________．8.已知不等式對任意正實數(shù)恒成立，則正實數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．專題六、不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題1).恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上2).能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.如已知不等式在實數(shù)集上的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍____3).恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價于不等式的解集為；若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價于不等式的解集為.1.關(guān)于的不等式的解集為空集，則實數(shù)的取值范圍是_．2.若不等式對一切非零實數(shù)均成立，則實數(shù)的最大值是_________．3.設(shè)函數(shù)，對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．4.若不等式的解集為，則的范圍是（）A．B．C．D．5.已知不等式對于一切大于的自然數(shù)都成立，試求實數(shù)的取值范圍.6.若不等式對恒成立，則的取值范圍是______．7.若對于，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．8.不等式對一切成立，則的最小值為（）A．B．C．D．9.不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．對任意，函數(shù)的值恒大于零，則的取值為．11、設(shè)實數(shù)滿足，當(dāng)時，的取值范圍是______12、不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍_____13、若不等式對滿足的所有都成立，則的取值范圍_____14、若不等式對于任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____15、若不等式對的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍.專題七、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：如（1）已知，求證：；(2)已知，求證：；（3）已知，且，求證：；(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：；（5）已知，求證：；(6)若，求證：；(7)已知，求證：；（8）求證：。專題八、簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如（1）解不等式。（2）不等式的解集是____（3）設(shè)函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為______（4）要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個的值至少滿足不等式中的一個，則實數(shù)的取值范圍是______.專題九、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母。如（1）解不等式（2）關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為____________.專題十、絕對值不等式的解法：（1）分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式（2）利用絕對值的定義；（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式（4）兩邊平方：如若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______。專題十一、含參不等式