材料力學-劉鴻文 第二章 2-4

1.拉伸與壓縮靜不定問題概念

所有的未知力均能由靜力平衡方程確定的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。

而僅僅用平衡方程不能求得所有的未知力的結(jié)構(gòu)稱為靜不定結(jié)構(gòu)或超靜定結(jié)構(gòu)。靜定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)PP123§2－10拉壓超靜定問題（1）靜力平衡方程——力學——原有基礎(chǔ)2、超靜定問題的解法（2）變形協(xié)調(diào)方程——幾何——靈活思考（3）材料本構(gòu)方程——物理——構(gòu)筑橋梁

（4）方程聯(lián)立求解——代數(shù)——綜合把握變形幾何關(guān)系（變形協(xié)調(diào)方程）變形內(nèi)力關(guān)系（物理方程）補充方程PPA未知力3個；平衡方程只有2個。P例1兩等直桿與三等直桿的受力分析這個問題就是一次靜不定問題。平衡方程:例2求圖示兩端固定等直桿的約束反力PabBAP解：幾何方程:物理方程:代入平衡方程解得:平衡方程:解除約束,以已知方向約束反力代替為得到變形協(xié)調(diào)方程,解除多余約束，分別考慮外力和多余約束反力產(chǎn)生的位移疊加設(shè)B為多余約束，此處的實際位移必須為0PBAΔlPBAΔlR解得:設(shè)桿的B段有初始間隙δ，求約束反力解：幾何方程:設(shè)外力在B處的位移大于初始間隙δB處的實際位移為初始間隙δPBAΔlPBAΔlRPabBAδ物理方程:解得:…例3木制短柱的四角用四個40404的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應(yīng)力分別為[]1=160MPa和[]2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa和E2=10GPa；求許可載荷P。幾何方程物理方程及補充方程：解：平衡方程:P1mPN

24N

1PyPy4N1N2250250解平衡方程和補充方程，得:求結(jié)構(gòu)的許可載荷：

方法:角鋼面積由型鋼表查得:A1=3.086cm2P1mP250250P1mP250250超靜定結(jié)構(gòu)的第一個特點：超靜定結(jié)構(gòu)中桿件的內(nèi)力按照桿件的剛度占總剛度的比例分配。即：桿的剛度越大，桿件承受的內(nèi)力越大。例4：圖示懸吊結(jié)構(gòu)ABC梁剛性，各桿EA相同，求各桿內(nèi)力解：1.平衡方程2.幾何方程PACBaal12lN2N1ABCP3.物理方程補充方程與平衡方程聯(lián)立解得:例5：已知：AE桿為剛性桿，CD桿和BF桿的橫截面面積為A，彈性模量為E,求CD桿、BF桿的內(nèi)力。解：(1)平衡方程(2)變形幾何方程(3)補充方程,基本原則：在小變形條件下，C發(fā)生垂直位移到C`點；夾角α不變。PaaABDCaEFlCC'ααPABCENCNBC'(4)物理方程PABCENCNBPaaABDCaEFlCC'ααC'P123解：列平衡方程PA(一次靜不定)找變形協(xié)調(diào)關(guān)系（幾何方程）例6：圖示結(jié)構(gòu)，三根桿的材料及橫截面積為試求三桿的軸力。123AA,DL3DL2aa物理方程：補充方程：將物理方程代入幾和方程得補充方程補充方程與平衡方程聯(lián)立求解得P123PA找變形協(xié)調(diào)關(guān)系（幾何方程）

這個例題雖然是一個具體問題，但是其求解方法具有一般性，由此可歸納出：求解靜不定問題的一般方法2.根據(jù)結(jié)構(gòu)的約束條件畫變形圖,找變形協(xié)調(diào)關(guān)系,列幾何方程;3.由力與變形(或溫度與變形)的物理關(guān)系,列物理方程;4.聯(lián)立幾何方程與物理方程建立補充方程;1.畫受力圖,列平衡方程,判斷靜不定次數(shù);5.補充方程與平衡方程聯(lián)立解全部未知力.平衡方程幾何方程物理方程補充方程aaaABCDP1.先解靜不定2PaaaABCD2PPRARD平衡方程幾何方程物理方程聯(lián)立以上4式得:例7：等截面剛桿，已知：橫截面積A=200mm2，P=20kN。許用應(yīng)力=160MPa，彈性模量E=200GPa。試校核桿的強度。aaaABCD2PPRARD2.校核桿的強度畫桿的軸力圖DyN(kN)26.76.733.3最大軸力相對誤差:結(jié)論:桿安全!超靜定結(jié)構(gòu)的第二個特點：§2－11溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力1、靜定問題無裝配應(yīng)力。制造誤差引起的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力(misfitsorstressesduetoassembling)。超靜定結(jié)構(gòu)在制造誤差等變形因素的影響下會引起應(yīng)力。2、靜定問題無溫度應(yīng)力(Thermalstresses)變化外界因素的影響下會引起應(yīng)力。一、溫度應(yīng)力

在超靜定結(jié)構(gòu)中，由于各個桿件的變形受到相互的制約，當溫度改變時，必然要在桿內(nèi)引起附加應(yīng)力，由于溫度改變而在桿內(nèi)引起的應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力。

式中：——為材料的線膨脹系數(shù)。

對于無約束的桿件，當溫度變化為時，桿件的變形為：

例8圖例8

圖示結(jié)構(gòu)，桿①、桿②均相同，當桿①溫度升高度時，兩桿的內(nèi)力和應(yīng)力為多少？

解（一）繪受力圖如圖示（設(shè)二桿均受壓）列平衡方程受力圖（二）繪變形幾何關(guān)系圖如圖示即

化簡后得

由圖可列出變形幾何關(guān)系方程

（三）求解內(nèi)力和應(yīng)力聯(lián)立（1）、（2）可解得：RARBDLTRBDLR解：1.平衡方程(共線力系)(一次靜不定)2.幾何方程例10：輸熱管道AB長為L，橫截面積A，材料的彈性摸量E，熱膨脹系數(shù)為α，試求：當溫度升高?T(oC)時管內(nèi)的應(yīng)力。ABLDLTRBDLR3.物理方程4.補充方程補充方程與平衡方程聯(lián)立解得:5.溫度應(yīng)力兩個概念溫度變形;再次變形2.幾何方程例11：圖示懸吊結(jié)構(gòu)AB梁剛性，各桿EA相同，桿3短求各桿裝配應(yīng)力aal123ABN1N2N3AB解：1.平衡方程2.幾何方程在加工構(gòu)件時，由于尺寸上的一些微小誤差，對超靜定結(jié)構(gòu)則會在構(gòu)件內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。二、裝配應(yīng)力3.物理方程4.補充方程補充方程與平衡方程聯(lián)立解得:aal123ABN1N2N3AB

例12兩桿EA相同，水平桿為剛性桿。桿②比設(shè)計長度l短了，求安裝后兩桿的內(nèi)力和應(yīng)力。例6圖

解：（一）繪受力圖，列平衡方程，根據(jù)實際情況，桿②在C點安裝后，桿②受拉，桿①受壓，受力圖如圖示。受力圖一根據(jù)平衡條件得：（二）繪變形幾何關(guān)系圖如圖示即：

根據(jù)圖可得變形幾何關(guān)系方程為變形幾何關(guān)系圖一（三）求解內(nèi)力和應(yīng)力聯(lián)立(a)、(b)可得：

PPPPPP應(yīng)力集中：理論應(yīng)力集中系數(shù)彈性力學計算實驗測試（光彈性實驗）§2－12應(yīng)力集中概念由于結(jié)構(gòu)或功能上的需要，使構(gòu)件截面尺寸或形狀發(fā)生突變引起的應(yīng)力急劇增加的現(xiàn)象。對彈性體某一局部區(qū)域的外力系，若用靜力等效的力系來代替；則力的作用點附近區(qū)域的應(yīng)力分布將有顯著改變，而對略遠處其影響可忽略不計。圣文南(Saint-Venant)原理:如右圖所示，根據(jù)現(xiàn)代力學分析方法（有限元計算方法或光彈性測試方法）的研究結(jié)果顯示：由于在桿端外力作用的方式不同，將會對桿端附近處各截面的應(yīng)力分布產(chǎn)生影響（應(yīng)力非均勻分布），而對遠離桿端的各個截面，影響甚小或根本沒有影響。

A．σb；B．σe；C．σp；D．σs選擇題：1、危險截面是______所在的截面。A.最大面積；B．最小面積；C．最大應(yīng)力；D．最大內(nèi)力2、低碳鋼整個拉伸過程中，材料只發(fā)生彈性變形的應(yīng)力范圍是σ不超過______。B.名義屈服極限σ0.23、沒有明顯屈服平臺的塑性材料，其破壞應(yīng)力取材料的

。A.比例極限σp4、桿件的剛度是指

。B.桿件的承載能力D.桿件對彈性變形的抵抗能力C.桿件對彎曲變形的抵抗能力C.強度極限σbD.根據(jù)需要確定A.桿件的軟硬程度；CBBD5、用截面法時必須保留桿件______。A.位于截面左邊的部分；B.位于截面右邊的部分；C.位于截面左、右兩邊哪一部分都可以；D.統(tǒng)一的某一部分。D．σs6、低碳鋼整個拉伸過程中，材料______不變化。A．μ；B．E；C．σp；7、由均勻、連續(xù)性假設(shè)，可以認為

。A、構(gòu)件內(nèi)各點應(yīng)力、內(nèi)力均相等；B、構(gòu)件內(nèi)各點變形、位移均相等；D、材料的強度在各點都相等E、材料的彈性模量在各點是相同的C、構(gòu)件內(nèi)的應(yīng)力、變形和位移可用點坐標的連續(xù)函數(shù)來表示CBC、D、E8、各向同性