第二章 物體承受的不同載荷形式及其應(yīng)力分析(2014上課用)

第二章物體承受的不同載荷形式

及其應(yīng)力分析主講教師：鐘磊廣西民族大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院桿件變形的基本形式拉伸和壓縮

由大小相等、方向相反、作用線與桿件軸線重合的一對(duì)力所引起，表現(xiàn)為桿件長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)或縮短。如托架的拉桿和壓桿受力后的變形。剪切由大小相等、方向相反、相互平行且非?？拷囊粚?duì)力所引起，表現(xiàn)為受剪桿件的兩部分沿外力作用方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。如連接件中的螺栓和銷釘受力后的變形。扭轉(zhuǎn)

由大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面都垂直于桿軸的一對(duì)力偶所引起，表現(xiàn)為桿件的任意兩個(gè)橫截面發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。如機(jī)器中的傳動(dòng)軸受力后的變形。彎曲由垂直于桿件軸線的橫向力，或由作用于包含桿軸的縱向平面內(nèi)的一對(duì)大小相等、方向相反的力偶所引起的，表現(xiàn)為桿件軸線由直線變?yōu)槭芰ζ矫鎯?nèi)的曲線。如單梁吊車的橫梁受力后的變形。拉壓時(shí)的內(nèi)力計(jì)算

如圖所示受軸向拉力P的桿件上作任一橫截面m-m，取左段部分，并以內(nèi)力的合力代替右段對(duì)左段的作用力。由平衡條件得

。N－P＝0由于P>0（拉力），則

N=P>0當(dāng)外力沿著桿件的軸線作用時(shí)，桿件截面上只有一個(gè)與軸線重合的內(nèi)力分量，該內(nèi)力（分量）稱為軸力，一般用N表示。

知P－N＝0得N=P>0取右端該如何分析？材料力學(xué)中軸力的符號(hào)是由桿件的變形決定，而不是由所設(shè)坐標(biāo)或內(nèi)力方向決定的。習(xí)慣上將軸力N的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：拉伸時(shí)，軸力N為正；壓縮時(shí)，軸力N為負(fù)。

軸向拉壓時(shí)的應(yīng)力只根據(jù)內(nèi)力并不能判斷桿件是否有足夠的強(qiáng)度，必須用橫截面上的應(yīng)力來度量桿件的受力程度。根據(jù)平面假設(shè)得知,橫截面ab、cd變形后相應(yīng)平移到a’b’、c’d’，橫截面上各點(diǎn)沿軸向的正應(yīng)變相同，由此可推知橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力也相同，即等于常量。拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。

剪切應(yīng)力計(jì)算

假定受剪面上各點(diǎn)處與剪力相平行的剪應(yīng)力相等，于是受剪面上的剪應(yīng)力為

式中：Q-剪力；A-剪切面積

擠壓與擠壓面

聯(lián)接和被聯(lián)接件接觸面相互壓緊的現(xiàn)象稱“擠壓”。剪切與擠壓往往同時(shí)發(fā)生，計(jì)算時(shí)要學(xué)會(huì)區(qū)分?jǐn)D壓面與剪切面。擠壓面的分析如下圖所示。擠壓面積扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的計(jì)算傳遞軸外力偶矩的計(jì)算：截面法求扭矩：其中：P—功率，千瓦（kW）n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）mmmT

扭矩的符號(hào)規(guī)定：“T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負(fù)。x例題：

已知一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪輸入P1=500kW，從動(dòng)輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4解：①計(jì)算外力偶矩nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）③繪制扭矩圖，BC段為危險(xiǎn)截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––扭矩應(yīng)力的分析與計(jì)算剪切胡克定律若在彈性范圍內(nèi)加載，即剪應(yīng)力小于某一極限值時(shí)，對(duì)于大多數(shù)各向同性材料，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在線性關(guān)系

此即為剪切胡克定律（Hookelawinshearing），式中G為比例常數(shù)，稱為剪切彈性模量或切變模量(shearingmodulus)。扭轉(zhuǎn)時(shí)剪應(yīng)力的分布特點(diǎn)橫截面上某點(diǎn)的剪應(yīng)力的方向與扭矩方向相同，并垂直于該點(diǎn)與圓心的連線；剪應(yīng)力的大小與其和圓心的距離成正比。Mnττ

如果橫截面是空心圓，剪應(yīng)力分布規(guī)律一樣適用，但是，空心部分沒有應(yīng)力存在。τmaxτmaxMtMt說明：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面上任意點(diǎn)處的剪應(yīng)變與該點(diǎn)至截面中心之間的距離成正比。結(jié)合剪切胡克定律可得以上結(jié)論。例題：由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別為G1和G2，且G1=2G2。圓軸尺寸如圖所示。圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無相對(duì)滑動(dòng)。關(guān)于橫截面上的切應(yīng)力分布，有圖中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四種結(jié)論，請(qǐng)判斷哪一種是正確的。(A)(B)(C)(D)解：圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無相對(duì)滑動(dòng)，這表明二者形成一個(gè)整體，同時(shí)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。根據(jù)平面假定，二者組成的組合截面，在軸受扭后依然保持平面，即其直徑保持為直線，但要相當(dāng)于原來的位置轉(zhuǎn)過一角度。因此，在里、外層交界處二者具有相同的切應(yīng)變。由于內(nèi)層（實(shí)心軸）材料的剪切彈性模量大于外層（圓環(huán)截面）的剪切彈性模量（G1=2G2），所以內(nèi)層在二者交界處的切應(yīng)力一定大于外層在二者交界處的切應(yīng)力。據(jù)此，答案（A）和（B）都是不正確的。在答案（D）中，外層在二者交界處的切應(yīng)力等于零，這也是不正確的，因?yàn)橥鈱釉诙呓唤缣幍那袘?yīng)變不為零，根據(jù)剪切胡克定律，切應(yīng)力也不可能等于零。

根據(jù)以上分析，正確答案是（C）最大切應(yīng)力計(jì)算Wp扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)發(fā)生在橫截面邊緣上的各點(diǎn)對(duì)于等截面軸，扭轉(zhuǎn)軸內(nèi)最大剪應(yīng)力發(fā)生在扭矩最大的截面的圓周上

截面的極慣性矩與扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)=d/D

對(duì)于直徑為d的實(shí)心圓截面對(duì)于內(nèi)、外直徑分別為d和D圓環(huán)截面已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切應(yīng)力不得超過40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比=0.5。二軸長(zhǎng)度相同。例題

求:實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。彎曲內(nèi)力的分析與計(jì)算梁的3種簡(jiǎn)化類型簡(jiǎn)支梁一端固定鉸支座一端活動(dòng)鉸支座一端固定一端自由外伸梁一端固定鉸支座活動(dòng)鉸支座位于梁中某個(gè)位置懸臂梁梁的剪力和彎矩的求解例題：懸臂梁在B、C二處分別承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl作用。梁的全長(zhǎng)為2l。

試寫出：梁的剪力方程和彎矩方程。

FPllABCMO=2FPlBA解：1．確定控制面和分段

本例將通過考察截開截面的右邊部分平衡建立剪力方程和彎矩方程，因此可以不必確定左端的約束力。

2．建立Oxy坐標(biāo)系以梁的左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立Oxy坐標(biāo)系，

由于梁在固定端A處作用有約束力、自由端B處作用有集中力、中點(diǎn)C處作用有集中力偶，所以，截面A、B、C均為控制面。因此，需要分為AC和CB兩段建立剪力和彎矩方程。

FPllABMO=2FPlCOyxBA解：3．建立剪力方程和彎矩方程FPllABMO=2FPlOyxCx1x2在AC和CB兩段分別以坐標(biāo)為x1和x2的橫截面將截開，并在截開的橫截面上，假設(shè)剪力FQ(x1)、FQ(x2)和彎矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截開的右邊部分梁的平衡，由平衡方程即可確定所需要的剪力方程和彎矩方程。

解：3．建立剪力方程和彎矩方程FQ(x)M(x)對(duì)于AC段梁的剪力和彎矩方程，在x1處截開后，考察右邊部分的平衡。FPllABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l－x1CB

根據(jù)平衡方程

x1考察右邊部分的平衡解：3．建立剪力方程和彎矩方程得到AC段的剪力方程與彎矩方程：

FQ(x1)M(x1)FPMO=2FPll2l－x1CBFQ(x2)M(x2)解：3．建立剪力方程和彎矩方程得到CB段的剪力方程與彎矩方程：

FPllABMO=2FPlOyxCFP2l－x2B對(duì)于CB段梁的剪力和彎矩方程，在x2處截開后，考察右邊部分的平衡。根據(jù)平衡方程x2彎曲應(yīng)力的分析與計(jì)算中性層與中性軸

中性層對(duì)整個(gè)梁而言中性軸對(duì)梁的某個(gè)截面而言中性軸兩側(cè)(上下)分別承受拉壓,而中性軸上各點(diǎn)不受力彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律Galileo(1564-1642)Mariotte(1620-1684)Coulomb(1736-1806)Navier(1785-1836)AAM

與中性軸距離相等的點(diǎn)，正應(yīng)力相等；

正應(yīng)力大小與其到中性軸距離成正比；

彎矩為正時(shí)，正應(yīng)力以中性軸為界下拉上壓；

彎矩為負(fù)時(shí)，正應(yīng)力上拉下壓；M

中性軸上，正應(yīng)力等于零最大彎曲正應(yīng)力公式

工程上最感興趣的是橫截面上的最大正應(yīng)力，也就是橫截面上到中性軸最遠(yuǎn)處點(diǎn)上的正應(yīng)力。這些點(diǎn)的y坐標(biāo)值最大，即y=ymax。將y=ymax代入正應(yīng)力公式得到稱為橫截面對(duì)z軸的彎曲截面系數(shù)，單位是m3。

任一點(diǎn)彎曲正應(yīng)力公式：yzbhzyd彎曲截面模量

zydD例題

矩形截面簡(jiǎn)支梁承受均布載荷作用。已知：矩形的寬度b=20mm，高度h＝30mm；均布載荷集度q＝10kN/m；梁的長(zhǎng)度l＝450mm。求：梁最大彎矩截面上1、2兩點(diǎn)處的正應(yīng)力。

解：1.確定彎矩最大截面以及最大彎矩?cái)?shù)值

根據(jù)靜力學(xué)平衡方程

MA＝0和MB＝0，可以求得支座A和B處的約束力分別為

FRAFRB

解：1.確定彎矩最大截面以及最大彎矩?cái)?shù)值FRAFRB梁的中點(diǎn)處橫截面上彎矩最大，數(shù)值為

解：2.計(jì)算慣性矩FRAFRB

根據(jù)矩形截面慣性矩的公式,本例題中，矩形截面對(duì)z軸的慣性矩

解：3．求彎矩最大截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力FRAFRB

均布載荷作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因此橫截面的水平對(duì)稱軸(z)就是中性軸。根據(jù)彎矩最大截面上彎矩的方向，可以判斷：1點(diǎn)受拉應(yīng)力，2點(diǎn)受壓應(yīng)力。1、2兩點(diǎn)到中性軸的距離分別為

解：3．求彎矩最大截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力

FRAFRB于是彎矩最大截面上，1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力分別為

壓拉應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度準(zhǔn)則應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力一點(diǎn)的最大剪應(yīng)力四個(gè)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則

無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)力達(dá)到了一個(gè)共同