第二章構件與產品的靜力分析

產品設計機械基礎李江Li_jiang@.c一篇工程力學基礎工程力學的基本概念（2學時）產品與構件的靜力分析（2學時）產品與構件的強度與剛度分析（2學時）第二章構件與產品的靜力分析平面力系的簡化與合成平面力系平衡問題的求解空間力系簡介超靜定的概念物體的重心和平面圖形的形心摩擦與摩擦力問題功與功率第一節(jié)平面力系的簡化與合成

產品常受到由多個力和力偶組成的力系的作用。須在作用

效果不變的前提下，將力系加以簡化，以便于問題的求解。

一、力的投影合力投影定理圖2-1力的投影

注意，力的投影Fx

、Fy

等不是矢量，是代數量，有正負，應使用白體字母。

確定正負的規(guī)則是：從a

到b

的指向與x軸的正向一致，則

Fx

取正值；

Fy

的正負規(guī)則類同。

若力F的數值大小為

F，與x軸正向所夾的銳角為α

，則

（2-1）

1.力在坐標軸上的投影第一節(jié)平面力系的簡化與合成例2-1求圖2-2中各力在x、y

軸上的投影。已知F1=F2=100kN；F3=F4=200kN。圖2-2例2-1圖

解由式（2-1）可得：

F1x

＝－F1cos45°＝－100kN×0.707＝－70.7kN

F1y

＝

F1

sin45°＝100kN×0.707＝70.7kN由圖判定F2

與x

軸形成的銳角是α＝30°，因此有：F2x＝－F2cos30°＝－100kN×0.866＝－86.6kN

F2y＝－F2

sin30°＝－100kN×0.500＝－50.0kN

F3X

＝F3

cos30°＝200kN×0.866kN＝173.2kN

F3y

＝－F3sin30°＝－200kN×0.500＝－100kN

F4x＝F4cos90°＝0

F4y＝F4

sin90°＝200kN×1.00＝200kN

已知力

F在坐標軸上的投影Fx和Fy，可由式（2-2）求出力F的大小和方向：

（2-2）力F的指向根據FX和Fy的正負加以確定。第一節(jié)平面力系的簡化與合成圖2-3合力投影定理

剛體受

F1

、F2

、…Fn

等n個力的匯交力系的作用，若該力系的合力為R

，即

R

＝

F1＋F2

＋…＋Fn

，則有

（2-3）

式（2-3）表示：合力在任意坐標軸上的投影等于諸分力在同一坐標軸上投影的代數和，這就是合力投影定理。

二、平面匯交力系的合成F1、F2、…Fn

等n個力組成平面匯交力系，合力R的大小和方向由式（2-4）求出：（2-4）式中，R為合力R的大小，θ為合力R與x軸所夾的銳角。圖2-4例2-2圖

例2-2平面匯交力系作用于吊環(huán)螺栓如圖2-4示，求四力合力的大小和方向。

解1）各力在圖示x軸和y軸上的投影

F1x＝－360N×cos（90°－60°）＝－312N

F2x＝550N×cos90°＝0

F3x＝380N×cos（90°－30°）＝190N

F4x＝300N×cos（90°－30°－40°）＝282NF1y＝360N×sin（90°－60°）＝180N

F2y＝550N×sin90°＝550N

F3y＝380N×sin（90°－30°）＝329N

F4y＝300N×sin（90°－30°－40°）＝103N2）各力投影的代數和

Rx＝ΣFx＝F1x＋F2x＋F3x＋F4x＝160N

Ry＝ΣFy＝F1y＋F2y＋F3y＋F4y＝1162N3）由式（2-4），合力R的大小

R與x軸所夾銳角由于Rx＞0，Ry＞0，可知合力R指向右上方。第一節(jié)平面力系的簡化與合成第一節(jié)平面力系的簡化與合成三、力對點之矩合力矩定理1.力對點之矩力F對O點之矩，簡稱力矩。

轉動中O點稱為矩心。

矩心到力作用線的垂直距離d稱

為力臂。力F對O點之矩用MO（F）表示，

符號“Mo”中的下標“O”表示矩心點。圖2-5力對點之矩

力對點之矩是一個代數量：力矩使物體繞矩心逆時針轉動時，取正號；反之，取負號。力矩的單位為牛米（N·m），或千牛米（kN·m）：1kN·m＝1000N·m。2.合力矩定理合力對平面內任意一點之矩，等于所有分力對同一點之矩的代數和，即：若R＝F1＋F2＋…＋Fn，

則Mo（R）＝Mo（F1）＋Mo（F2）＋…＋Mo

（Fn）＝∑Mo（F）（2-6）即Mo（F）＝F×d

（2-5）第一節(jié)平面力系的簡化與合成

例2-3齒輪在齒廓的P點受到法向力

Fn＝100N作用,P點處直徑d＝80mm，

α＝20°，求力Fn對輪心O點之矩。圖2-6

例2-3圖

解⑴由式（2-5）

⑵力Fn

可以分解為徑向分力Fr和切向分力Ft；前者通過輪心O點，對O不產生力矩。因此力由式（2-6）

（結果為負值，表明力矩將使齒輪順時針轉動。）第一節(jié)平面力系的簡化與合成

例2-4T形構件受力如

圖2-7所示，P

＝250N,求

力P對C點之矩Mc（P）。圖2-7例2-4圖

解將力P分解為Px、Py如圖2-7b示，用式（2-6）進行求解。分力的數值Px＝Pcos30°，Py＝Psin30°Mc

（P）＝Mc

（Px）＋Mc（Py）＝Px×0.5m＋Py×0.4m

＝－Pcos30°×0.5m＋Psin30°×0.4m

＝－250N×0.866×0.5m＋250N×0.5×0.4m＝－58.25N·m

力矩值為負數，此力矩為順時針方向。第一節(jié)平面力系的簡化與合成四、力偶力偶系的合成1.力偶及力偶矩圖2-8力偶示例

力偶臂：力偶中兩力作用線間的垂直距離d。

力偶作用面：力偶中兩個力所在的平面

大小相等、方向相反、不共線的兩個平行力F、F′組成力偶，用符號（F、F′

）表示。力偶只能使物體發(fā)生轉動。

乘積F×d為度量力偶轉動效應的物理量，稱為力偶矩，用符號M表示，即圖2-9力偶臂

圖2-10力偶矩

的正負號規(guī)則

M＝F×d（2-7）力偶使物體逆時針轉動，則力偶矩取正號；反之，取負號。

力偶矩的單位是牛米（N·m）或千牛米（kN·m）。第一節(jié)平面力系的簡化與合成2.力偶的性質（1）力偶無合力。力偶和力是組成力系的兩個并列的基本物理量。

力偶三要素是：力偶矩的大小、轉動方向和力偶作用面。（2）力偶兩力對面內任一點力矩的代數和等于力偶矩，與矩心位置無關。（3）力偶的等效性及其推論圖2-11力偶的投影為零

推論：

力偶可以在其作用面內任意移動而

不改變它對剛體的轉動效應。即力偶對剛體的轉動效應與力偶在作用面內的位置無關。圖2-12

力偶的

等效性

第一節(jié)平面力系的簡化與合成3.平面力偶系的合成

M合＋M1＋M2＋…＋Mn＝∑M

（2-8）圖2-13例2-5圖

例2-5物體受3個力偶作用，F1＝240N、

d1＝100mm、F2＝160N、d2＝40mm、

M3＝－24N·m，求合力偶矩。

解由式（2-7）：M1＝－F1×d1＝－240N×0.100m＝－24N·mM2

＝F2×d2

＝160N×0.04m＝6.4N·m由式（2-8）：M合＝M1＋M2

＋M3＝（－24＋6.4－24）N·m＝－41.6N·m合力偶矩為負值，它使物體順時針轉動。平面力偶系合成的結果為一合力偶，

合力偶矩等于各分力偶矩的代數和。即：第一節(jié)平面力系的簡化與合成五、力的平移定理圖2-14力的平移引起效應改變

圖2-15力的平移定理

若將作用在剛體某點的力平移到剛體上任意另外一點，而不改變原力的

作用效應，則必須附加一力偶，其力偶矩等于原力對新作用點之矩。六、平面任意力系的簡化

由任意多個力和任意多個力偶組成的平面力系，可以簡化為作用于面內

任意點的一個力，和一個附加力偶。這個力，稱為原力系的主矢量，簡稱主矢。

這個附加力偶的力偶矩，稱為原力系的主矩。

選定的“任意點”，稱為簡化中心。第一節(jié)平面力系的簡化與合成圖2-16平面

任意力系的簡化

主矢量R′的大小和方向（角）：

Ry′＝Ｆ1y′＋Ｆ2y′＋…＋Ｆy′＝Ｆ1y＋Ｆ2y＋…＋Ｆny＝∑Fy

（2-11）(2-10)

式中Rx′＝Ｆ1x′＋Ｆ2x′＋…＋Ｆnx′＝Ｆ1x＋Ｆ2x＋…＋Ｆx＝∑Fx由式（2-6）求得主矩MO′的數值：由式（2-4）得到Mo′＝M1＋M2＋…＋Mn

＝Mo（F1）＋Mo（F2）＋…＋Mo（Fn）＝∑Mo（F）（2-12）主矢量R′之值與簡化中心的位置無關。主矩的大小是與簡化中心的位置無關的。(2-9)第一節(jié)平面力系的簡化與合成七、平面力系簡化結果的分析平面任意力系簡化的結果，不外乎以下4種情況：1.主矢量R′和主矩MO′都等于零，表示原力系是一個平衡力系。2.主矢量R′≠0，主矩MO′＝0，表示原力系可合成為一個合力，

此合力就是作用在簡化中心的主矢量。3.主矢量R′＝0，主矩MO′≠0，表示原力系可合成為一個力偶，

此力偶的力偶矩就是主矩。4.主矢量R′≠0，主矩MO′≠0，表示力系能使物體移動、也能使物體轉動。

主矢量R′和力偶矩為MO′的合力偶還可以合成為一個合力R，其大小和方向

與R′相同，簡化中心到合力R作用線的垂直距離d為：

。

第二節(jié)平面力系平衡問題的求解一、平面匯交力系的平衡問題平面匯交力系的平衡方程如下：（2-13）

平面匯交力系平衡的充分必要條件是：

力系中各力在任選直角坐標系兩個坐標軸上投影的代數和均為零。

式（2-13）包含兩個獨立的方程，可用以求解兩個未知量。圖2-17例2-6圖

例2-6水平力F將吊住的重物G右推距離x，G＝80N，l＝600mm，x＝240mm，

求推力F和繩索的拉力T。

解1）取重物為研究對象，畫出受力圖。2）列出平衡方程求解：∑Fx＝0，F－Tsinα＝０（1）∑Fy＝0，Tcosα－G＝0（2）由圖，sinα＝（x／l）＝（240／600）＝0.4，

cosα＝0.917，

代入數據，求得：F＝35N，T＝87.2N。

第二節(jié)平面力系平衡問題的求解二、平面力偶系的平衡問題

平面力偶系平衡的充分必要條件是其合力偶矩為零。M合＝∑M＝0（2-14）推廣：若作用在剛體上的所有力偶都在互相平行的平面內，

則剛體平衡的充分必要條件為所有力偶的合力偶矩為零。圖2-19例2-8圖

例2-8三個鉆頭對工件作用的三個力偶矩為：

M1＝6N·m，M2＝8N·m，M3＝12N·m；固定工件

的螺栓A和B的間距l(xiāng)＝100mm。求兩螺栓的受力。

解：取工件為研究對象。

螺栓A、B對工件一對反力形成反向的力偶

（NA

，NB

），與3個主動力偶組成平衡力偶系，即

∑M＝0，（NA×l）－M1－M2－M3＝0

，且NB

＝NA＝280N。

提示圖中NA、NB是螺栓A、B對工件的反力；本題要求的是工件給螺栓的作用力。

因兩者互為作用力與反作用力，等值、反向。求出了前者，“默認”為后者也已求出。

代入數值，得到第二節(jié)平面力系平衡問題的求解三、平面任意力系的平衡問題

平面任意力系平衡的充分必要條件是：力系中各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數和分別等于零，各力對力系作用面內任一點之矩的代數和也等于零。基本平衡方程如下∑Fx＝0∑Fy＝0（2-15）∑MO（F）＝0“兩矩一影式”平衡方程為∑MA（F）＝0∑MB（F）＝0（2-16）∑Fx＝0式（2-16）的使用條件是：所選的投影軸x軸不垂直于A、B兩點的連線?！叭厥健逼胶夥匠虨椤芃A（F）＝0∑MB（F）＝0（2-17）∑MC（F）＝0式（2-17）的使用條件是：A、B、C三點不在一條直線上。式（2-15）～（2-17）各包含3個獨立的方程，各可用來求解3個未知量。

第二節(jié)平面力系平衡問題的求解四、物體系統（物系）的平衡問題圖2-24例2-13圖

物系受力平衡時，系內各個部分也受力平衡。求解從未知外力、或各個部之間的內力開始。

例2-13G＝720N的男子立于梯上K點，

AB＝AC＝3m，AD＝AE＝2m，AK＝1m，

α＝40。求B、C兩點及鉸鏈A處的反力、繩子DE的拉力。

解⑴求反力NB、NC

∑M

B（F）＝0

代入數據G＝720N，α＝40°，得到：NC＝480N

∑Fx＝0，NB＋NC－G＝0代入數據得到：NB＝240N⑵求物系的內力拉力T和鉸鏈A的反力，取AB為研究對象

∑MA（F）＝0，

（1）

∑Fx＝0，T＋RAX＝0（2）∑Fy＝0，NB＋RAY＝0（3）算得：T＝131N，RAX＝－131N，RAY＝－240NRAX、RAY為負值，表明兩力的實際指向與圖2-24上所標示的指向相反。

第二章構件與產品的靜力分析平面力系的簡化與合成平面力系平衡問題的求解空間力系簡介超靜定的概念物體的重心和平面圖形的形心摩擦與摩擦力問題功與功率第五節(jié)摩擦與摩擦力一、摩擦與摩擦力的概念若問題中摩擦力影響大，或問題由摩擦力所決定，摩擦力即為分析計算之要素。

實例：車輪與地面之間膠帶傳輸機帶傳動機構摩擦離合器制動器螺釘、螺栓的聯接緊固等本節(jié)只初步介紹古典摩擦理論中“干摩擦”問題的基本結論。二、滑動摩擦滑動摩擦沿接觸面的切線方向，指向與相對滑動方向相反。

按物體間是否存在相對滑動，有靜滑動摩擦力和動滑動摩擦力之分。1.靜滑動摩擦力圖2-39靜摩擦力實驗

靜摩擦力F之值隨主動力而變化，但不能超過最大靜摩擦力Fmax，即：0≤F≤Fmax

（2-26）2.動滑動摩擦力

兩物體滑動接觸面間阻礙滑動的摩擦力，稱為

動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力，以F′表示。第五節(jié)摩擦與摩擦力3.滑動摩擦定律最大靜摩擦力Fmax的大小與物體間的正壓力（即法向反力）N成正比，即：Fmax＝μsN

（2-27）μs稱為靜滑動摩擦因數，簡稱靜摩擦因數。與材料和表面狀況有關，與面積無關。動滑動摩擦定律動摩擦力F′的大小也與物體間的正壓力N

成正比

F′＝μN

（2-28）μ稱為動滑動摩擦因數，簡稱動摩擦因數。與材料，表面狀況以及速度有關。動摩擦因數μ略小于靜摩擦因數μs

。小結：摩擦力的數值并非固定不變，分以下3種不同情況：①物體受力產生滑動趨勢而仍靜止未動，則靜摩擦力F取值范圍為：

0≤F≤Fmax，其值隨外力變化，可根據該狀況下的平衡條件計算確定。②物體處于臨界平衡狀態(tài)，靜摩擦力具有最大值，即F＝Fmax＝μsN。③物體處于勻速滑動中，動摩擦力值F′為：F′＝μN。第五節(jié)摩擦與摩擦力三、考慮摩擦時的物體平衡問題①受力圖上，摩擦力按實際方向、即與滑動（或滑動趨勢）相反的方向畫上；②平衡方程中的摩擦力值，按實際問題由式（2-26）、（2-27）或（2-28）確定；③由于靜摩擦力值有一個變動范圍，因此問題的解答也有可能有一個取值范圍。圖2-44例2-24圖

例2-24夾角2β的楔形滑塊A置導槽B中，受鉛垂力Q（含滑塊自重）作用，求能推動滑塊的力P。摩擦副的摩擦因數為μs。

解⑴取楔形滑塊研究結構對稱，兩斜面上的正壓力等值：N1＝N2＝N。列平衡方程：∑Fy＝0，2Nsinβ－Q＝0，則⑵P力克服兩側接觸面上的摩擦力才能使滑塊移動。討論：摩擦因數為μS、正壓力為Q的平面接觸滑塊，最大靜摩擦力為μsQ。

本例題表明：若滑塊為楔角為2β的塊槽配合，則最大靜摩擦力將變成(μsQ／sinβ)，由于sinβ＜1，所以(μsQ／sinβ)＞μsQ。說明楔形塊槽結構可以增加滑動摩擦力；且楔角β越小，摩擦力增大越多。這種“楔槽增壓”方法，在工業(yè)產品中常有應用。例如V帶傳動，帶輪楔角為2β＝38°時，因sinβ≈0.33，（1/sinβ）≈3，所以在徑向壓力相同的條件下，V帶的傳動能力能提高到平帶傳動能力的大約3倍。第五節(jié)摩擦與摩擦力四、摩擦角與自鎖圖2-45簡單的自鎖

圖2-46摩擦角

簡單直觀的自鎖現象：圖2-451.摩擦角和摩擦錐R：全約束反力，簡稱全反力Φm稱為摩擦角（圖2-46）

摩擦角的正切等于摩擦因數（2-29）圖2-47

摩擦錐

摩擦錐：頂角為2Φm的圓錐。（圖2-47）2.自鎖現象及應用實例

自鎖現象如物體所受主動力合力的作用線在摩擦

錐以內，無論主動力多大，物體都保持靜止不動。圖2-48斜面自鎖和摩擦因數的測定

Gsinα≤Fmax＝μs（Gcosα），

圖2-48a中，物品斜面間正壓力Gcosα；下滑力Gsinα，最大摩擦力Fmax＝μS（Gcosα）。

斜面自鎖條件：即：

，

即斜面自鎖條件為：

斜面傾角小于等于摩擦角。第五節(jié)摩擦與摩擦力圖2-49自鎖現象的應用實例

第二章構件與產品的靜力分析平面力系的簡化與合成平面力系平衡問題的求解空間力系簡介超靜定的概念物體的重心和平面圖形的形心摩擦與摩擦力問題功與功率第六節(jié)功與功率一、功

功表征力在一段作用路程中產生的積累效應。圖2-51常力在直線運動中的功

1.常力在直線運動中的功

物體在常力F作用下運動，力與運動方向夾

角α，力作用點位移s。將F分解成Fn與Fr：后

者與物體運動方向一致，使物體位移，力值為：Fr＝Fcosα

（2-30）

力F在物體運動方向上的投影與位移s的乘積稱為力F在位移s中做的功，

以字母W表示，即W＝Fcosα×s＝Frs

（2-31）功是代數量，有大小、正負，而沒有方向。功的單位是焦耳和千焦耳，用J和kJ表示：

1焦耳＝1牛頓×1米，1千焦耳＝1千?！?米或1J＝1N·m，1kJ＝1kN·m。即1焦耳是1牛頓的力沿力的方向移動1米距離所做的功。第六節(jié)功與功率2.力矩在物體繞軸轉動中的功圖2-52力矩在物體轉動中的功

在常力矩M作用下，物體發(fā)生繞軸線O的轉動角

為φ，則力矩在物體這段轉動中所做的功W為W＝Mφ

（2-32）轉角φ的單位為弧度（rad）1rad＝（180°/π）＝57.3°

當力矩為常量時，力矩對轉動體所做的功

等于力矩（轉矩）M與轉角φ的乘積。力矩與剛體轉向相同時，力矩做正功；反之，力矩做負功。圖2-53例2-26圖

例2-26帶輪直徑D＝0.4m，緊邊拉力T1＝300N松邊，

拉力T2＝160N，求轉矩M在輪子轉過5圈中所做的功。解帶輪所受的轉矩為：此轉矩由緊邊拉力確定，與輪子轉向一致，做功為正值：W＝Mφ＝M（5×2π）＝28N·m×5×2×3.14＝880N·m＝880J。第六節(jié)功與功率二、功率1.功率單位時間內所完成的功稱為功率，用P表示：

（2-33）式中t是完成功W的時間。其中速度v

＝s/